2026年高考数学一轮复习 抛物线（含解析）

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高考数学一轮复习 抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海淀区校级三模）点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（　　）
A．x2y B．x2y或x2y
C．x2y D．x2＝12或x2＝﹣36y
2．（2025春 闵行区期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2025 环县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且2，则|AB|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2025 延安模拟）已知点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，其中F点的坐标为，则|y0|＝（　　）
A．2 B． C．2 D．3
5．（2025春 廊坊月考）已知点P和点Q是曲线y＝x2+ax+b上的不同两点，割线PQ的斜率为3，点P的横坐标为2，点Q的横坐标为4，则a＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
6．（2025 沧县校级模拟）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到直线y＝x﹣1的距离为，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025 江西模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8，点D（3，y0）在C上，则|DF|＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025 河南校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 宣城期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为θ的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（　　）
A．当θ＝90°时，|AB|＝4
B．当θ＝60°时，|AF|＝2|BF|
C．三角形ABC面积的最小值为4
D．|AA1|+2|BB1|的最小值为
（多选）10．（2025 喀什市模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　）
A．抛物线C的准线方程为x＝2
B．F的坐标为（1，0）
C．若y0＝2，则|PF|＝2
D．|PF|≥2
（多选）11．（2025 嘉峪关校级模拟）将抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得的三条曲线与C围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于10π
（多选）12．（2025春 随州月考）顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 杨浦区校级月考）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，则p＝ 　 　 ．
14．（2025 云南模拟）已知点A（1，4）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为　 　 ．
15．（2025 惠城区校级模拟）若直线y＝k（x+2）与抛物线y2＝4x相切于第一象限点P，则k＝ 　 　 ．
16．（2025 龙文区校级模拟）过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 普陀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程．
18．（2025 甘肃模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线的距离为4，过点F作直线l1，l2，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，记O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是钝角三角形；
（2）若以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，且，求直线l1的斜率；
（3）若l1⊥l2，求的最小值．
19．（2025 黄浦区校级三模）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
20．（2025 达州校级模拟）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4，已知点P（0，﹣2），Q（4，2），设过点P的直线l与抛物线C交于点A，B，且直线QA交抛物线C于点M（点M与点A不重合）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MB交以PQ为直径的圆于点D，E，求|DE|的最小值．
高考数学一轮复习 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 海淀区校级三模）点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（　　）
A．x2y B．x2y或x2y
C．x2y D．x2＝12或x2＝﹣36y
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】D
【分析】抛物线y＝ax2的标准方程为：x2y，其准线方程为：y，若点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，则36，或3＝6，解得答案．
【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程为：x2y，
其准线方程为：y，
∵点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，
∴36，或3＝6，
解得：a，或a，
故抛物线的标准方程是x2＝12y或x2＝﹣36y，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，分类讨论思想，难度中档．
2．（2025春 闵行区期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，则|PF|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线上的所有点中顶点到焦点的距离最小得答案．
【解答】解：由抛物线y2＝4x，得F（1，0），
又点P是抛物线上任意一点，
则当P为坐标原点时，|PF|取得最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，是基础题．
3．（2025 环县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且2，则|AB|＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】利用2，求解AB坐标，利用两点间距离公式求得|AB|．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）和准线l：x＝﹣1，
设A（﹣1，a），B（m，n），
∵2，可得|FA|：|AB|＝2：3，|FD|：|BC|＝2：3，|BC|＝3，
∴m＝2，n2＝4×2，n＝2，a＝﹣4，AB9，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（2025 延安模拟）已知点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，其中F点的坐标为，则|y0|＝（　　）
A．2 B． C．2 D．3
【考点】抛物线的弦及弦长．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由抛物线的焦半径公式求解p，可得抛物线方程，再把点P代入抛物线方程求解即可．
【解答】解：由点P（2，y0）在曲线C：y2＝2px（p＞0）上，|PF|＝3，
得23，则p＝2，可得抛物线方程为y2＝4x，
把P（2，y0）代入抛物线方程，可得，则|y0|＝2．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，是基础题．
5．（2025春 廊坊月考）已知点P和点Q是曲线y＝x2+ax+b上的不同两点，割线PQ的斜率为3，点P的横坐标为2，点Q的横坐标为4，则a＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】求出点P、Q的坐标，利用斜率公式可求得割线PQ的斜率，构造等式求解即可．
【解答】解：当x＝2时，y＝22+a×2+b＝4+2a+b，
即点P（2，4+2a+b），
当x＝4时，y＝42+4a+b＝16+4a+b，
即点Q（4，16+4a+b），
因为割线PQ的斜率为3，
所以3，
解得a＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查斜率公式的应用，属于基础题．
6．（2025 沧县校级模拟）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到直线y＝x﹣1的距离为，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的弦及弦长．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】利用抛物线标准方程形式得焦点坐标为，再结合题设条件，即可求解．
【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到直线y＝x﹣1的距离为，
所以，
即|1|＝2，
又p＞0，
解得p＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
7．（2025 江西模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝8，点D（3，y0）在C上，则|DF|＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知先求出点A，B的坐标，由|AB|＝8即可求得p，利用抛物线的定义即可求解．
【解答】解：因为过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，
将代入抛物线的方程中，
解得y＝±p，
即，
所以|AB|＝2p＝8，
解得p＝4，
又D（3，y0），
所以．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
8．（2025 河南校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据点差法，即可求解．
【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x﹣y﹣3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，
两式相减可得，
又线段AB中点的横坐标为7，且中点在直线l：x﹣y﹣3＝0上，
所以线段AB中点的纵坐标为4，所以y1+y2＝8，
所以，所以p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 宣城期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为θ的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（　　）
A．当θ＝90°时，|AB|＝4
B．当θ＝60°时，|AF|＝2|BF|
C．三角形ABC面积的最小值为4
D．|AA1|+2|BB1|的最小值为
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】ACD
【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D．
【解答】解：如图，
由y2＝4x可得p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
对于A，当θ＝90°时，可得A（1，2），B（1，﹣2），|AB|＝2﹣（﹣2）＝4，故A正确；
对于B，当θ＝60°时，直线l的方程为，联立抛物线方程y2＝4x与直线l方程，
，得3x2﹣10x+3＝0，解得xA＝3或，
所以|AF|＝xA+1＝4，，所以|AF|＝3|BF|，故B错误；
对于C，设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以
4（1+m2），
又点C到直线l的距离，
所以，
当且仅当m＝0时，等号成立，所以当m＝0时，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确；
对于D，由抛物线的定义，得|AA1|+2|BB1|＝|AF|+2|BF|＝x1+1+2（x2+1）
，当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抛物线与直线的综合，
（多选）10．（2025 喀什市模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　）
A．抛物线C的准线方程为x＝2
B．F的坐标为（1，0）
C．若y0＝2，则|PF|＝2
D．|PF|≥2
【考点】抛物线的定义；求抛物线的准线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义、性质，即可求解．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，
则2p＝4，解得p＝2，
则抛物线C的准线方程为x＝﹣1，F的坐标为（1，0），故A错误，B正确；
若y0＝2，
则x0＝1，
故|PF|，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查抛物线的应用，属于基础题．
（多选）11．（2025 嘉峪关校级模拟）将抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得的三条曲线与C围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），A、B为C与其中两条曲线的交点，若p＝2，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于10π
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】BCD
【分析】由题意可得C：y2＝4x，可求得逆时针旋转90°的抛物线方程判断A；联立交点抛物线方程解出交点坐标再由两点间距离公式可判断B；分别求出抛物线x2＝4y与抛物线y2＝4x斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；求出抛物线在点A（4，4）处的切线，再求出与OA平行且与抛物线相切的直线方程，分别求出两三角形的面积，再结合对称性即可推理得到D正确．
【解答】解：因为p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，
所以可得抛物线方程为x2＝4y，所以A选项错误；
从而可得其余抛物线方程为y2＝﹣4x，x2＝﹣4y，
由，解得或，则A（4，4），由对称性可得B（4，﹣4），
所以，所以B选项正确；
设直线y＝x+m1与抛物线C：y2＝4x相切于点M，
联立，得y2﹣4y+4m1＝0，由Δ＝16﹣16m1＝0，
得m1＝1，y＝2，切点M（1，2），
设直线y＝x+m2与抛物线x2＝4y相切于点N，
由，消去x得x2﹣4x﹣4m2＝0，由Δ′＝16+16m2＝0，
得m1＝﹣1，x＝2，切点N（2，1），
直线MN的斜率为，即直线MN与直线x+y＝t平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，所以C选项正确；
对抛物线，求导得，
则抛物线在点A（4，4）处的切线斜率为，
抛物线在点A（4，4）处的切线方程为y﹣4＝2（x﹣4），即y＝2x﹣4，
该切线交x轴于点E（2，0），因此，
作FG∥OA且与相切，设切点为（x1，y1），
因为切线的斜率为1，
所以，代入曲线可得y1＝1，
所以切点为（2，1），切线方程为y﹣1＝x﹣2，
所以其与横轴的交点为F（1，0），与AE交于点G，
由面积比为相似比的平方可得小三角形EFG的面积为1，
所以四边形OAGF面积为S△AOFE﹣S△EFG＝4﹣1＝3，
所以四叶图的面积小于3×8＝24＜31＜10π，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属难题．
（多选）12．（2025春 随州月考）顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
【考点】根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解．
【解答】解：因为点P（﹣2，3）在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况，
若抛物线开口向上，设抛物线方程为x2＝2py，P（﹣2，3）代入抛物线方程，
有4＝6p，解得，所以抛物线方程为，所以C正确；
若抛物线开口向左，设抛物线方程为y2＝﹣2px，P（﹣2，3）代入抛物线方程，
有9＝4p，解得，所以抛物线方程为，所以A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查抛物线的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 杨浦区校级月考）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，则p＝ 　4　 ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】4．
【分析】结合抛物线的性质求解即可．
【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为2，
则，
则p＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题．
14．（2025 云南模拟）已知点A（1，4）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的焦点的距离为　5　 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据点在抛物线上得出p＝8，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离．
【解答】解：因为点A（1，4）在抛物线上，所以16＝2p，即p＝8，
所以A到C的焦点的距离为1+4＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
15．（2025 惠城区校级模拟）若直线y＝k（x+2）与抛物线y2＝4x相切于第一象限点P，则k＝ 　　 ．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】联立直线与抛物线，根据判别式可得解．
【解答】解：联立，消去x并整理得ky2﹣4y+8k＝0，
此时Δ＝（﹣4）2﹣4 k 8k＝0，
解得，
因为切点P位于第一象限，
所以，k＞0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
16．（2025 龙文区校级模拟）过点P（2，1）作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 　4．　 ．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据题目所给信息，利用点差法求解即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点P（2，1）是线段AB的中点，
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，
因为A，B为抛物线y2＝8x上的点，
所以，，
两式相减得（y1﹣y2）（y1+y2）＝8（x1﹣x2），
所以，
可得kAB＝2，
则直线AB的斜率为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 普陀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线C焦点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程．
【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得出p的值，由此可得出抛物线的标准方程；
（2）设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1）、B（x2，y2），将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可得出m的值，即可得出直线l的方程．
【解答】解：（1）由已知可得椭圆的焦点坐标为（±1，0），
∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）开口向右，∴焦点坐标为（1，0），∴，即p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x；
（2）
易知直线l不与x轴重合，又直线l过焦点（1，0），
设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4＝0，则Δ＝16m2+16＞0，
∴y1+y2＝4m，∴，
∴，解得m＝±1，
∴直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，焦点弦，属于基础题．
18．（2025 甘肃模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线的距离为4，过点F作直线l1，l2，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，记O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是钝角三角形；
（2）若以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，且，求直线l1的斜率；
（3）若l1⊥l2，求的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）±2；
（3）．
【分析】（1）由已知得出E：y2＝8x，F（2，0），设x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得出x1x2，y1y2，根据向量数量积的坐标运算得出，即可证明；
（2）设AB中点为D（x0，y0），结合（1）得出圆的方程，再分别表示出|MN|，|AB|，根据列出方程即可求解；
（3）结合（2）及基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为抛物线E的焦点F到准线的距离为4，
所以p＝4，
此时抛物线E的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），
已知直线l1的斜率不为0，
设直线l1的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得y2﹣8my﹣16＝0，
由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，
此时4，
此时，
即，
则△AOB是钝角三角形；
（2）设AB中点为D（x0，y0），
此时，，
又，
，
所以以AB为直径的圆的半径，
所以圆D方程为，
令x＝0，
解得，
取，
此时，
因为，
所以，
设t＝m2≥0，
此时，
整理得64t2+28t﹣11＝0，
解得或（舍去），
即m2，
解得m＝±，
则直线l1的斜率为±2；
（3）由（2）得，|AB|＝8m2+8，
因为l1⊥l2，
设直线l2方程，
此时，
所以，
当且仅当，即时．等号成立．
所以的最小值为．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2025 黄浦区校级三模）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a＞0）．
（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；
（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；
（3）直线l：x＝﹣3，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】数形结合；方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）（0，2]．
【分析】（1）先求出点A的横坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）先通过中点在抛物线上求出点B的坐标，进一步求出直线AB方程，利用点到直线距离公式求解即可；
（3）设，联立方程求出点Q的坐标，根据|HQ|＞4恒成立，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，
由于A到抛物线Γ准线的距离为3，
则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），
解得；
（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），
设B（b，0），则AB的中点为，
因为AB的中点在抛物线Γ上，所以，解得b＝﹣2，
所以B（﹣2，0），则，
所以直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，
所以原点O到直线AB的距离为；
（3）如图，设，
则，
故直线AP的方程为，
令x＝﹣3，可得，即，
则，
又，
依题意，恒成立，
则最小值为，
即，即，
则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，
又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，
而a≠t，所以恒成立，
即当a＝2时，也符合题意．
故实数a的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了数形结合思想及方程思想，属于难题．
20．（2025 达州校级模拟）过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4，已知点P（0，﹣2），Q（4，2），设过点P的直线l与抛物线C交于点A，B，且直线QA交抛物线C于点M（点M与点A不重合）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MB交以PQ为直径的圆于点D，E，求|DE|的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x2＝4y；
（2）4．
【分析】（1）写出焦点坐标即可求出过焦点且平行于x轴的直线与抛物线交点的横坐标，数形结合利用弦长列方程求解；
（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），与抛物线方程联立，结合根与系数的关系及斜率公式设出直线QA的方程并与抛物线联立，利用韦达定理可得2（x2+x3）＝8+x2x3，写出直线MB的方程并利用点在抛物线上进行化简，即可求出直线MB的定点N，数形结合知当且仅当O1N⊥DE时（此时点A，B重合）|DE|最小，代入相应数值结算即可．
【解答】解：（1）易知抛物线C的焦点为，
将代入抛物线C的方程中，
解得x＝±p，
则2p＝4，
故抛物线C的方程为x2＝4y；
（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），
联立，消去y并整理得x2﹣4kx+8＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得x1+x2＝4k，x1x2＝8，
因为x1≠4，
所以直线，
联立，消去y并整理得，
由韦达定理得，
所以，
所以，
则2（x2+x3）＝8+x2x3，
直线，
因为，，
所以4y＝（x2+x3）x﹣x2x3，
又2（x2+x3）＝8+x2x3，
所以4y＝（x2+x3）（x﹣2）+8，
所以直线MB恒过定点N（2，2）．
以PQ为直径的圆的方程是（x﹣2）2+y2＝8，该圆的圆心为O1（2，0），
当且仅当O1N⊥DE时（此时点A，B重合）|DE|最小，
此时，
故|DE|最小值为4．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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