2026年高考数学一轮复习 平面向量及其应用（含解析）

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高考数学一轮复面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 青白江区校级期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（　　）
A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D
2．（2025春 丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝2，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2025春 丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若，且2S＝cosB+bcosA，则B＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 嘉定区校级期末）向量在上的投影为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 浙江期末）已知向量，满足，则（　　）
A．2 B． C． D．6
6．（2025春 安徽期末）已知向量（﹣2，2），（m+1，2m），（2，﹣1），（2）∥，则实数m＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（2025春 红桥区校级月考）已知向量，，若，则y的值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
8．（2025 鞍山模拟）已知向量（1，2），（1，0），（0，1），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 庐江县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知，，则在上的投影向量的坐标是（0，﹣3）
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形
（多选）10．（2025春 丹阳市期末）下列选项中正确的是（　　）
A．若向量，，，满足且，则
B．若点G为△ABC中线的交点，则
C．已知非零向量，，若，则与同向且共线
D．已知向量，，与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
（多选）11．（2025春 南京校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则x＝﹣4
（多选）12．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 嘉定区校级期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影数量是　 　 ．
14．（2025春 云南期末）已知单位向量满足，则 　 　 ， 　 　 ．
15．（2025春 杨浦区校级期末）已知向量，则在上的投影向量为 　 　 ．（用坐标形式表示）
16．（2025春 浦东新区校级期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为　 　
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 广西期末）已知向量（2，5），（1，x）．
（1）若x＝2，求（） 的值；
（2）若，的夹角为锐角，求x的取值范围．
18．（2025春 重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量，，．
（1）求满足的λ和μ的值；
（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足，求点P的坐标．
19．（2025春 新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
（1）若，求AP的长；
（2）设，，，，
①用向量表示向量；
②求y﹣x的值．
20．（2025春 嘉定区校级期末）已知向量，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数k的值．
高考数学一轮复面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 青白江区校级期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（　　）
A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可．
【解答】解：，，
则，故A，B，D三点共线，A对；
因为，，故，不一定共线，B错；
因为，，所以，不一定共线，C错；
因为，，则，不一定共线，D错．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的共线定理，属于基础题．
2．（2025春 丽水期末）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，a＝2，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】应用正弦定理求角的大小即可．
【解答】解：因为，a＝2，，
所以由正弦定理，得，
所以，
又因为a＞b，所以，
所以A或．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
3．（2025春 丹阳市期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．若，且2S＝cosB+bcosA，则B＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果．
【解答】解：因为a＝1，，且2S＝cosB+bcosA＝acosB+bcosA，
即absinC＝acosB+bcosA，
由正弦定理得：asinB×sinC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B），
又因为三角形中sinC＝sin（A+B），sinC≠0，
，
因为B∈（0，π），所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
4．（2025春 嘉定区校级期末）向量在上的投影为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影的定义，即可求解．
【解答】解：因为，，
所以，，
所以向量在上的投影为．
故选：D．
【点评】本题考查投影的求法，向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2025春 浙江期末）已知向量，满足，则（　　）
A．2 B． C． D．6
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】将两边同时平方可得，求得的值即可求解．
【解答】解：∵||＝2，∴2 4，
∵ 1，∴6，
∴，即．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
6．（2025春 安徽期末）已知向量（﹣2，2），（m+1，2m），（2，﹣1），（2）∥，则实数m＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量（﹣2，2），（m+1，2m），则，
（2，﹣1），（2）∥，
则2（4+2m）＝﹣（﹣3+m），解得m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题．
7．（2025春 红桥区校级月考）已知向量，，若，则y的值为（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可．
【解答】解：向量，，，
则1×y＝2×（﹣1），解得y＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．
8．（2025 鞍山模拟）已知向量（1，2），（1，0），（0，1），若⊥（λ），则λ＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解．
【解答】解：由，，
得，由，
所以，．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 庐江县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底
B．已知，，则在上的投影向量的坐标是（0，﹣3）
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，2），C（4，0），则△ABC为锐角三角形
【考点】平面向量的投影向量；平面向量的基本定理；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由，同时平方可得，故可判断C正确；由A（1，1），B（3，2），C（4，0）可得，，进而可得，即，故D错误．
【解答】解：因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误；
，，
则在上的投影向量的坐标为，故B正确；
对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确；
对于D，因为A（1，1），B（3，2），C（4，0），所以，，
所以，所以，所以△ABC不是锐角三角形，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）10．（2025春 丹阳市期末）下列选项中正确的是（　　）
A．若向量，，，满足且，则
B．若点G为△ABC中线的交点，则
C．已知非零向量，，若，则与同向且共线
D．已知向量，，与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用重心的性质即可得到结果；对于C：利用向量共线的充要条件即可得到；对于D：利用夹角为锐角排除夹角为0的情况即可．
【解答】解：对于选项A：当向量都与垂直时，满足，但与不一定相等，故A错误；
对于选项B：若点G为△ABC中线的交点，则点G为△ABC的重心，
延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点，所以，
因为，所以得到，故B正确；
对于选项C：设与的夹角为θ，因为，两边同时平方得：
，
所以，所以与同向且共线，故C正确；
对于选项D：因为向量，，得 ，与的夹角为锐角，
所以，解得：且λ≠0，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查向量的基本概念，向量的线性运算，数量积的坐标运算，属于基础题．
（多选）11．（2025春 南京校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则x＝﹣4
【考点】平面向量的相等与共线；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误．
【解答】解：与向量方向相同的单位向量为，故A正确；
向量在向量上的投影向量为，故B错误；
向量不满足交换律，故C错误；
由与共线，则，解得x＝﹣4，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量坐标的运算，属于基础题．
（多选）12．（2025春 南阳期末）已知向量，，下列命题中正确的有（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果．
【解答】解：对于A，向量，，故A正确；
对于B，，，
因为1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，故B错误；
对于C，，，
因为，所以，故C正确；
对于D，，，
，，，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 嘉定区校级期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影数量是　﹣3　 ．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】﹣3
【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解．
【解答】解：，，且，
故向量在向量方向上的投影数量．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查向量投影的计算公式，属于基础题．
14．（2025春 云南期末）已知单位向量满足，则 　　 ， 　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】；．
【分析】根据单位向量的定义及数量积公式求出，再根据公式模长公式计算即可．
【解答】解：∵||＝||＝1，||，
∴2 ，解得 ，
∴2 1﹣21，
∴||．
故答案为：；．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
15．（2025春 杨浦区校级期末）已知向量，则在上的投影向量为 　（，）　 ．（用坐标形式表示）
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量．
【解答】解：由已知得，在上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
16．（2025春 浦东新区校级期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为　　
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案．
【解答】解：因为，
所以，，
所欲在方向上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的求解，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 广西期末）已知向量（2，5），（1，x）．
（1）若x＝2，求（） 的值；
（2）若，的夹角为锐角，求x的取值范围．
【考点】平面向量数量积的坐标运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）7；
（2）．
【分析】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可；
（2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可．
【解答】解：因为（2，5），（1，x），
（1）若x＝2，则，，所以
所以．
（2）向量，，
若，的夹角为锐角，则且，不共线，
故，所以x的取值范围为．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
18．（2025春 重庆校级月考）在平面直角坐标系xOy中，设向量，，．
（1）求满足的λ和μ的值；
（2）若点P（x，y）在直线BC上，且满足，求点P的坐标．
【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算；平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）λ＝﹣1，μ＝0；
（2）或（3，2）．
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，列式求解．
（2）求出的坐标，利用共线向量定理及向量模的关系求解．
【解答】解：（1）由，，得，而，
又，则，所以λ＝﹣1，μ＝0．
（2），．P（x，y）
则，，
由点P（x，y）在直线BC上，设，，
由，得，整理得2|λ﹣1|＝|λ|，
解得或λ＝2，而，当时，；当λ＝2时，，
所以点P的坐标为或（3，2）．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
19．（2025春 新泰市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
（1）若，求AP的长；
（2）设，，，，
①用向量表示向量；
②求y﹣x的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；用平面向量的基底表示平面向量；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）2；
（2），．
【分析】（1）利用线性运算将转化为，然后根据和得到，然后求AP即可；
（2）①根据向量的减法结合线性关系计算即可；
②根据B，P，O三点共线得到x+2y＝1，根据数量积公式得到，，即可得到y＝3x，然后解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，
则，
则，变形可得，
故AP长为2．
（2）①根据题意，，
②根据题意，xy，而O为AC的中点，则，
又由B，P，O三点共线，必有x+2y＝1，
又，
则，
由AP⊥BD，则，
展开，
变形可得：y＝3x，
又由x+2y＝1，解可得：x，y，
故y﹣x．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
20．（2025春 嘉定区校级期末）已知向量，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数k的值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）π﹣arccos；
（2）k．
【分析】（1）根据题意，由向量、的坐标可得||、||和 的值，结合向量夹角公式计算可得答案；
（2）求出（32）、（k）的坐标，由向量数量积的计算公式可得（32） （k）＝0，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，向量，．
则||，||＝1， 1，
则cos，
又由0π，则π﹣arccos；
（2）根据题意，32（5，6），k（k﹣1，2k），
若，则有（32） （k）＝5（k﹣1）+12k＝0，
解可得：k．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算以及向量垂直的判断方法，属于基础题．
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