2026年高考数学一轮复习 列与组合（含解析）

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高考数学一轮复习 列与组合
一．选择题（共9小题）
1．（2025春 扬州校级期末）若，则n＝（　　）
A．2 B．3 C．2或4 D．3或4
2．（2025春 沙县区校级期末）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（　　）
A．10个 B．8个 C．7个 D．6个
3．（2025春 固始县期中）2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《 重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 湖北模拟）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（　　）
A．30 B．20 C．10 D．6
5．（2025 黑龙江校级模拟）10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（　　）
A．63 B．252 C．420 D．1260
6．（2025春 湖南月考）已知全集U＝{0，1，2，3}，，则 UB＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{2，3}
7．（2025春 沙坪坝区校级月考）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2023层，底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 福州模拟）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（　　）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
9．（2025春 建邺区校级月考）将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有（　　）
A．种 B．种 C．58种 D．85种
二．多选题（共3小题）
（多选）10．（2025春 枣强县校级期末）从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（　　）
A．共有210种不同的安排方法
B．若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法
C．若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法
D．若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法
（多选）11．（2024秋 临夏州期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法
B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法
D．教师不站在两边，有72种排法
（多选）12．（2025春 武安市校级月考）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（　　）
A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法
B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 普陀区校级期末）在（1﹣x3）（1+x）5的展开式中，x4的系数是 　 　 （结果用数字表示）．
14．（2025 甘肃校级模拟）近两年，智能网联汽车逐步进入大众视野，调研数据显示，中国消费者关注度最高的前6名智能网联车技术分别为V2X（车与人、车、路、云平台）的信息交互技术、车联网通信技术、环境感知技术、云计算技术、整车通项技术、物联网技术，某科技自媒体博主准备连续6天分别对这6项技术进行科普，每天只科普一项技术，每项技术只科普1天，则车联网通信技术与云计算技术在相邻两天进行科普，且信息交互技术不在最后一天科普的安排方法种数为 　 　 ．（用数字作答）
15．（2025春 扬州校级期末）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 　 　 种．（用数字作答）
16．（2025 和林格尔县校级一模）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生．若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 　 　 种．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 东莞市校级月考）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示）
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
（5）若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
18．（2025春 山西月考）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
（1）每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
（2）若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
19．（2025春 武安市校级月考）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
（1）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（3）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？（注：过程详细，结果用数字表示）
20．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
高考数学一轮复习 列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2025春 扬州校级期末）若，则n＝（　　）
A．2 B．3 C．2或4 D．3或4
【考点】组合数的化简计算及证明．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】由组合数的性质即可求解．
【解答】解：由，
所以n＝3或n＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题．
2．（2025春 沙县区校级期末）有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（　　）
A．10个 B．8个 C．7个 D．6个
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由三角形的性质，逐一列举即可得解．
【解答】解：从5根长度分别为2，3，4，5，6的木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的共有{2，3，4}，{2，4，5}，{2，5，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{4，5，6}7个，
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了三角形的性质，属基础题．
3．（2025春 固始县期中）2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《 重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】解：根据题意，4名同学去观看五部电影中的一部，
则每位同学都有5种选择，则四位同学一共有5×5×5×5＝54种方案，
若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影，
分2种情况讨论：
①有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，
②只有小罗看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案，
则符合题意的观看方案有种，
故要求概率．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
4．（2025 湖北模拟）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（　　）
A．30 B．20 C．10 D．6
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】应用题；排列组合．
【答案】D
【分析】取出的是偶数，有3种，取出的是奇数，有3种，即可得出结论．
【解答】解：取出的是偶数，有3种，取出的是奇数，有3种，
故共有6种取法．
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（2025 黑龙江校级模拟）10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（　　）
A．63 B．252 C．420 D．1260
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．
【答案】C
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，从后排7人中抽2人站前排，②，将选出2人安排在前排，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，从后排7人中抽2人站前排，有C72＝21种选种方法，
②，将选出2人安排在前排，前排3人，第一个人有4种安排方法，第二个人有5种安排方法，有4×5＝20种情况，
则有21×20＝420种调整方法；
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6．（2025春 湖南月考）已知全集U＝{0，1，2，3}，，则 UB＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{2，3}
【考点】排列及排列数公式；求集合的补集．
【专题】集合思想；定义法；集合；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】先根据排列数公式求出集合B，再根据补集的定义求出 UB．
【解答】解：由n（n﹣1）≤6，即n2﹣n﹣6≤0，解得﹣2≤n≤3，
∵n∈N*，且n≥2，∴n＝2，3，则{2，3}．
已知全集U＝{0，1，2，3}，可得 UB＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查排列数公式的应用，考查补集运算，是基础题．
7．（2025春 沙坪坝区校级月考）在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2023层，底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果．
【解答】解：由杨辉三角中观察得可得，
即；
故所求总个数为．
故选：B．
【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题．
8．（2025 福州模拟）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（　　）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲只安排一项任务，则有种；
②若甲只安排两项任务，则有种；
故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有70+60＝130种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9．（2025春 建邺区校级月考）将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有（　　）
A．种 B．种 C．58种 D．85种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得每个球有8种不同的放法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，
每个球可以放入任意的盒子，即有8种不同的放法，则5个球有8×8×8×8×8＝85种不同的放法；
故选：D．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的不同，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）10．（2025春 枣强县校级期末）从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（　　）
A．共有210种不同的安排方法
B．若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法
C．若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法
D．若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法
【考点】排列组合的综合应用．
【答案】AC
【分析】对于A，将4名男生和3名女生安排3个人参加A，B，C活动，则有即可判断，对于B，先安排甲，再安排剩下的，利用分步计数原理即可求解，对于C，既有男生又有女生则有，再安排参加3项活动，根据分步计数原理即可判断，对于D，先安排小红，再安排剩下即可计算．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在7人中选出3个人参加A，B，C活动，则有，故A正确；
对于B，若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有种排法，
再从剩下6人中选出2人参加其余2项活动，有种情况，则共有种排法，故B错误；
对于C，若3人中必须既有男生又有女生，则有，故C正确；
对于D，小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加B，C活动中选一项有种排法，
剩下2项活动安排给剩下6个人，则有种安排方法，所以共有种排法，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题，
（多选）11．（2024秋 临夏州期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法
B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法
D．教师不站在两边，有72种排法
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】整体思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D．
【解答】解：任意站成一排，有种排法，A正确；
先排老师，然后插空，即种排法，B错误；
教师相邻用捆绑，即种排法，C正确；
教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列的应用，属于基础题．
（多选）12．（2025春 武安市校级月考）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（　　）
A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法
B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，依次分析选项中分配种数是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，有6本不同的书，分给甲、乙两人，每人3本，先取3本分给甲，剩下3本分给乙，有C20种分法，A正确；
对于B，分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，先取4本分给甲，剩下2本分给乙，有C15种分法，B错误；
对于C，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，先取2本分给甲，2本分给乙，1本分给丙，最后1本给丁，有180种分法，C正确；
对于D，先将6本书分为2﹣2﹣1﹣1的四组，再将4组分为甲、乙、丙、丁四人，有1080种分法，D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 普陀区校级期末）在（1﹣x3）（1+x）5的展开式中，x4的系数是 　0　 （结果用数字表示）．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】0．
【分析】根据多项式乘法展开式的原理及分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解．
【解答】解：x4有以下几种方法得到：
①从（1﹣x）3的3个括号中选0个﹣x，（1+x）5的5个括号中选4个x；
②从（1﹣x）3的3个括号中选1个﹣x，（1+x）5的5个括号中选3个x；
③从（1﹣x）3的3个括号中选2个﹣x，（1+x）5的5个括号中选2个x；
④从（1﹣x）3的3个括号中选3个﹣x，（1+x）5的5个括号中选1个x；
∴x4的系数为：．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了分步计数原理及分类加法计数原理的应用，属于基础题．
14．（2025 甘肃校级模拟）近两年，智能网联汽车逐步进入大众视野，调研数据显示，中国消费者关注度最高的前6名智能网联车技术分别为V2X（车与人、车、路、云平台）的信息交互技术、车联网通信技术、环境感知技术、云计算技术、整车通项技术、物联网技术，某科技自媒体博主准备连续6天分别对这6项技术进行科普，每天只科普一项技术，每项技术只科普1天，则车联网通信技术与云计算技术在相邻两天进行科普，且信息交互技术不在最后一天科普的安排方法种数为 　192　 ．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】192．
【分析】采用捆绑法和特殊元素优先法，结合排列组合公式来求解安排方法的种数．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①将车联网通信技术与云计算技术“捆绑”在一起，看作一个元素，两者之间的排列顺序有种，
②由于信息交互技术不在最后一天科普，那么信息交互技术可安排在前4天中的任意一天，所以信息交互技术的安排方法有种．
③将车联网通信技术与云计算技术看作一个整体后，除信息交互技术外，还剩下3项技术以及这个整体，共4个元素．
对这4个元素进行全排列，有种排法，
故满足条件的安排方法种数为种．
故答案为：192．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15．（2025春 扬州校级期末）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 　96　 种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用；计数原理的应用．
【专题】应用题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】96．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：发根据题意，分4步进行分析：
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域4，有2种方法；
第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．
所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种．
故答案为：96．
【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．属于基础题．
16．（2025 和林格尔县校级一模）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生．若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 　90　 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】90．
【分析】根据题意，先把五位同学分为人数为2、2、1的3组，再分配给3位专家即可，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先把五位同学分为人数为2、2、1的3组，再分配给3位专家即可，
则不同的安排方法共有90种．
故答案为：90．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 东莞市校级月考）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示）
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
（5）若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，由组合数公式计算可得答案；
（2）根据题意，从剩下7人人选2人即可，由组合数公式计算可得答案；
（3）采用间接法，计算出“男生甲和女生乙都不在内”的选法有多少种，然后用总的种数去减去反面的种数即可得到结果；
（4）采用间接法，计算出“只有男生”和“只有女生”的选法数目，然后用总的种数去减去反面的种数即可得到结果；
（5）分析可得甲在乙的左边和甲在乙的右边的排法相同，利用倍分法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，如果4人中男生女生各选2人，则有60种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么从剩下7人人选2人即可，有21种选法；
（3）根据题意，从9人中人选4人，共有126种，
而男生甲和女生乙都不在内，共有35种，
所以男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有126﹣35＝91种；
（4）根据题意，从9人中人选4人，共有126种，
只有男生的选法有5种，只有女生的选法有1种，
则既有男生又有女生的选法有126﹣5﹣1＝120种；
（5）根据题意，9名学生排成一列，其中甲在乙的左边和甲在乙的右边的排法相同，
则甲在乙的左边有181440种排法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
18．（2025春 山西月考）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
（1）每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
（2）若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）625；
（2）24．
【分析】（1）根据题意，分析可得每个窗格有5种放法，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先分析“甲、乙两类书放在同一窗格”的情况，再分析“丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内”的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，每个窗格从五类书中选一类放入，
则第一个窗格有5种情况，
同理：第2个、3个、4个、5个窗格都有5种情况，
则一共有5×5×5×5×5＝625种放法；
（2）根据题意，甲、乙两类书必须放在同一窗格，有4种情况，
丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，有3×2×1＝6种情况，
则有4×6＝24种不同的放法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19．（2025春 武安市校级月考）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
（1）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（3）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？（注：过程详细，结果用数字表示）
【考点】排列组合的综合应用；简单组合问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）21；
（2）91；
（3）121．
【分析】（1）分析可知，需在除甲、乙以外的7人中任选2人，结合组合计数原理可得结果；
（2）分情况讨论，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人，利用组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果；
（3）利用间接法求解．
【解答】解：（1）根据题意，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，
则需要在剩下的7人中任选2人，有种选法．
（2）根据题意，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，
包含两种情况，
①甲和乙都在内，其选法有种，
②甲乙中选1人，有种选法，
则共有21+70＝91种选法；
（3）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，
去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解；
（2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解．
【解答】解（1）根据题意，先排丙、丁、戊，有种站法，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有6×12＝72种．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若乙站在排头或排尾，则有种站法；
若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法；
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12+24＝36种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
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