3.1 匀变速直线运动的规律 学案 (8)

第1节　匀变速直线运动的规律
一、匀变速直线运动的基本规律
1．匀变速直线运动的特点：加速度a恒定且轨迹为直线。
2．匀变速直线运动的基本公式
(1)速度—时间公式：vt＝v0＋at。
(2)位移—时间公式：s＝v0t＋at2。
(3)位移—速度—加速度公式2as＝v－v。
你知道上述公式是怎样推得的吗？
答案：由a＝＝得vt＝v0＋at
由s＝t＝·t得s＝v0t＋at2
或由v－t图象推导，由图象与横轴所构成面积求得
s梯形＝s＝v0t＋at2
将速度中的t代入位移公式得2as＝v－v。
3．匀变速直线运动的图象描述
如图所示甲图中甲、乙的加速度有何关系？丙一直做匀变速运动吗？
答案：甲、乙的加速度相等，因为图象平行，图象的斜率表示加速度，所以甲、乙加速度相同；同理丙一直做匀变速直线运动，t1时刻前a＜0，v0＞0，做匀减速直线运动，t1时刻后a＜0，v＜0，做反方向匀加速直线运动。
【例1】如图所示，小球以6
m/s的速度由足够长的斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2
m/s2，则小球的速度大小何时达到3
m/s？(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不改变)
解析：小球先沿斜面向上做匀减速直线运动，速度由6
m/s逐渐减小到零，然后又反向做匀加速直线运动。取沿斜面向上的方向为正方向，则v0＝6
m/s，a＝－2
m/s2，小球的速度大小为3
m/s有两种情况：向上滑时v1＝3
m/s，向下滑时v2＝－3
m/s。由公式v＝v0＋at得t＝，所以t1＝＝
s＝1.5
s，t2＝＝
s＝4.5
s。
答案：1.5
s或4.5
s
在审题时，应格外关注以下词语：“速度大小达到3
m/s”，说明只确定了大小，没确定方向，方向分两种情况讨论。
1－1某物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4
m/s，2
s后速度的大小变为8
m/s，在这2
s内物体的(　　)
A．加速度方向与初速度方向相同
B．加速度方向与末速度方向相同
C．加速度的大小可能小于2
m/s2
D．加速度的大小可能大于4
m/s2
1－2(2012·山东东营质检)下列图象能表示匀变速直线运动的是(　　)
二、匀变速直线运动的几个重要推论
1．平均速度等于速度平均，等于中间时刻的速度，即＝＝v。
2．中间位置的速度：＝
3．逐差相等：s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2
设在任意连续相等时间间隔T内的位移分别为s1、s2、s3、…，则
s1＝v0T＋aT2
s2＝(v0＋aT)T＋aT2
s3＝(v0＋aT＋aT)T＋aT2

sn＝[v0＋(n－1)aT]T＋aT2
于是有s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2，即Δs＝aT2，任意相邻两个连续相等的时间里的位移之差是一个恒量。该结论常作为判断一个运动是否是匀变速直线运动的依据。
【例2】某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40
km/h，有一辆车遇到紧急情况而刹车(刹车后该车做匀减速运动)，经1.5
s停止，量得路面刹车的痕迹长为s＝9
m，问这辆车是否违章？
解析：本题隐含了末速度为零的条件，因此只需求出初速度就可以判定。
由于汽车刹车后做匀减速运动，则平均速度＝，又因为位移s＝t，所以s＝t，解得v0＝＝12
m/s＝43.2
km/h＞40
km/h。
因此该辆车违章行驶。
答案：该辆车违章行驶。
2－1某物体做匀变速直线运动，其在第3
s内发生15
m的位移，在第9
s内发生9
m的位移，问其加速度为多大？
2－2做匀变速直线运动的物体先后通过A、B两点，通过A、B点的瞬时速度分别为vA和vB.若物体通过A、B连线中点C的瞬时速度为v1，通过A到B所用时间中间时刻的瞬时速度为v2，关于v1、v2的大小，下列说法正确的是(　　)
A．若做匀加速直线运动，则v1＞v2
B．若做匀减速直线运动，则v1＞v2
C．若做匀加速直线运动，则v1＜v2
D．若做匀减速直线运动，则v1＜v2
4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系(T为单位时间)。
(1)1T末、2T末、3T末…的速度之比：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内…的位移之比：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶22∶33∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)。
(4)通过连续相等的位移所用的时间之比：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
(5)通过前1
s、前2
s、前3
s…的位移所用的时间之比：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶∶∶…∶。
5．末速度为零的匀减速直线运动
对于末速度为零的匀减速直线运动，可以按逆过程分析，视为初速度为零的匀加速直线运动，运用前面的比例关系，使运算大为简化。
【例3】一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4
s末的速度为4
m/s。求：
(1)第6
s末的速度；
(2)前6
s内的位移；
(3)第6
s内的位移。
解析：由v1＝at1，得a＝＝＝1
m/s2
所以第1
s内的位移s1＝a×12
m＝0.5
m。
(1)由于第4
s末与第6
s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3，
故第6
s末的速度v2＝v1＝6
m/s。
(2)第1
s内与前6
s内的位移之比s1∶s6＝12∶62
故前6
s内小球的位移s6＝36s1＝18
m。
(3)第1
s内与第6
s内的位移之比
sⅠ∶sⅥ＝1∶(2×6－1)，
故第6
s内的位移sⅥ＝11sⅠ＝5.5
m。
答案：(1)6
m/s　(2)18
m　(3)5.5
m
求例题中的小球
(1)在前6
s内的平均速度(采用多种求法)；
(2)在第6
s内的平均速度(采用多种求法)。
答案：(1)3
m/s　(2)5.5
m/s
3－1物体由静止开始做匀加速直线运动，前三个连续时间段的时间之比为1∶2∶3，该三段位移之比为多少？平均速度之比为多少？
三、刹车类交通工具的匀减速直线运动的处理
1．特点：对于汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等这类交通工具的匀减速直线运动，当速度减到零后，加速度也为零，不可能倒过来做反向的运动，所以其运动的最长时间t＝。
2．处理方法：首先计算速度减到零所需时间，然后再与题中所给的时间比较，看在所给的时间内是否早已停止，如果是，则不能用题目所给的时间计算，这就是所谓的“时间过量”问题；如果没有停止，则可以应用题目所给的时间直接求解。
【例4】(2012·江西南昌检测)一辆汽车以36
km/s的速度行驶在城市的街道上，因为前方路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，刹车后的加速度大小为5
m/s2，求：
(1)刹车1
s后汽车的速度；
(2)刹车多长时间后汽车停下；
(3)刹车4
s后汽车的速度。
解析：汽车刹车后做匀减速直线运动，加速度方向和初速度方向相反，速度取正值时，加速度取负值。
且知：v0＝36
km/h＝10
m/s，a＝－5
m/s2
(1)t1＝1
s时，v1＝v0＋at1＝10
m/s－5×1
m/s＝5
m/s
(2)由v＝v0＋at知t＝＝
s＝2
s
(3)因刹车2
s后汽车就已经停下，所以4
s时速度为0。
答案：(1)5
m/s　(2)2
s　(3)0
生活中的现象告诉我们汽车刹车停下时不再运动，所以对于刹车及类似刹车问题，为防止因盲目套用公式出错，应先计算刹车时间，根据给出时间与刹车时间的关系，确定计算的方法。
4－1磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6
m/s2，2
min后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432
km/h，如果以0.8
m/s2的加速度减速进站，求减速160
s时速度为多大？
答案：
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1－1　D　解析：因题中只给出初、末时刻速度的大小，这就隐含着初、末速度方向可能相同也可能相反的两种情况，故需讨论。若初、末速度方向相同，物体做匀加速直线运动，加速度a1＝
m/s2＝2
m/s2；若初、末速度方向相反，物体做匀减速直线运动，加速度a2＝
m/s2＝－6
m/s2，负号表示加速度的方向与v0方向相反。
1－2　AC　解析：v－t图象的斜率表示加速度，故A正确，D不正确；s－t图象的斜率表示速度，故B不正确；匀变速直线运动，加速度恒定，故C正确。
2－1　解析：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，
即＝＝
2.5
s时刻的速度为v1：
v1＝第3秒内＝15
m/s
8.5
s时刻的速度为v2：
v2＝第9秒内＝9
m/s
加速度a＝＝
m/s2＝－1
m/s2。
答案：－1
m/s2
2－2　AB　解析：若做匀加速直线运动，则由v－t图象知v1＞v2
若做匀减速直线运动的v－t图象如下图所示，由图象知v1＞v2。
3－1　解析：由题意可将运动时间分割成6等份，每份为t，根据初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移之比s1∶s2∶s3∶s4∶s5∶s6＝1∶3∶5∶7∶9∶11可知st∶s2t∶s3t＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27。由＝得t∶2t∶3t＝∶∶＝∶∶＝1∶4∶9。
速度之比也可以通过以下方法求得：
第1个t末的速度v1＝a·t
第3个t末的速度v2＝a·3t
第6个t末的速度v3＝a·6t
故三段平均速度之比为vt∶v2t∶v3t
＝∶∶＝1∶4∶9。
答案：1∶8∶27　1∶4∶9
4－1　解析：取列车运动方向为正方向。
v＝v10＋a1t1＝(0＋0.6×120)m/s＝72
m/s＝259
km/h。
列车减速进站时a2＝－0.8
m/s2
v20＝432
km/h＝120
m/s
刹车到速度为0的时间t0＝＝
s＝150
s
所以160
s时列车已经停止运动，速度为0。
答案：259
km/h　0