福建省泉州市惠安县螺城中学华东师大版八年级上册数学培优材料13.3 等腰三角形练习（含解析）

13.3
等腰三角形
1．
如图，△ABC中，AB=BC=AC
( http: / / www.21cnjy.com )=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，解得：x=12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，
可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C
( http: / / www.21cnjy.com )处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，∵AC＝AB
∠C＝∠B
∠AMC＝∠ANB，
∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边
的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒
2．如图，点O是等边△ABC内一点，△BOC绕点C顺时针旋转后到达△ADC的位置，连结OD.
（1）△BOC旋转了
度；
（2）试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）若∠AOB＝110 ，∠BOC＝，试探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△COD为一等边三角形，
∴∠COD=60°
假设OD=OA，则α+
( http: / / www.21cnjy.com )110°+60°+∠AOD=360°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∵△COD为一等边三角形，
∴∠ADO=α-60°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=α-60°，
∴∠AOD=180°-2（α-60°），解得α=100°；
当OD=AD时，α+110°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=，解得α=140°；
当OA=AD时，α+110°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=α-60°，解得，α=135°
八年级培优材料