第一部分专题四
平面向量与复数
第24练
复
数
A
[小题·精讲精练]
[思路引导]涉及复数模的最值问题以及点的轨
迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式
例题讲坛]
1
入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
[解析]设复数一i,i,一1一i在
【例1】若复数x=sin0-
+(os0-青)i(0e
复平面内对应的点分别为Z1,
R)是纯虚数，则cos0+icos20的共轭复数在复
Z2,Z3
平面内对应的点位于
(
因为x+i+|之-i=2,Z1Z2
=2,所以点Z的集合为线
A.第一象限
B.第二象限
段Z1Z2
C.第三象限
D.第四象限
问题转化为：动点Z在线段
[思路引导]本题复数中含有三角函数问题求
Z1乙2上移动，求|ZZ3|的最小值，
解时用到了同角三角函数的基本关系，二倍角
因为Z1Z3=1.所以|2十i十1mim=1.
交
公式
[答案]A
作
[解析]
因为复数x=sin-+(cos0-号)月
【规律归纳】关于复数的几何意义
3
(1)复数之=a十i(a,b∈R)一-对应
z(a,6)
业
sing-
=0.
(0∈R)是纯虚数，所以
二一对应0立，充分利用三者之间的对应关系相
时
leos0-号f0
互进行转化.
(2)川之一1|=r的几何意义是复数之，1对应的
可
即sin0=
5
,c0s0=-
5(0为第二象限角).
点的距离为，若复数之对应的点为动点，1对
应的点为定点，则复数之对应的点的轨迹是以1
沿
则020-1-2sm9-1-2x(倍}°-8
对应的点为圆心，”为半径的圆.
此
所以c0s0十ic0s20的共轭复数的实部小于0，虚
[小题·分层分练]
部小于0，在复平面内对应的点位于第三象限.
[一层·打基础]
线
[答案]C
知识点一复数的概念
【规律归纳】1，复数加、减运算的法则
1.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1一i)=i,则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实
z的虚部为
(
部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作
为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的
A-
c
D.2
实部与虚部，
2.已知i是虚数单位，若复数z=(m-i)·(3十i)
(2)复数的运算可以类比多项式的运算（类似于
是纯虚数，则实数m的值是
(
合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可
A.-3
B.3
c.-3
以从左到右依次进行计算，
2.两个复数代数形式乘法的一般方法
3.已知复数z=i+2i2+33+…十20232o23,则z的
虚部为
(1)首先按多项式的乘法展开；
知识点二复数的几何意义
(2)再将2换成-1
4.复平面内表示复数之=m十(m十1)i(m∈R)的
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的
点在直线y=2x上，则m=
代数形式.
A.1
B.-1
C.2
D.-2
3.两个复数代数形式的除法运算步骤
5.若复数z满足2z十i·z=4十5i,则z在复平面中
(1)首先将除式写为分式：
对应的点在
(
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
A.第一象限
B.第二象限
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其
C.第三象限
D.第四象限
化为复数的代数形式.
【例2】如果复数z满足|之十i十|z一训=2，那么
6在复平面内表示复数的点位于第二象限，则
|x+i十1|的最小值是
实数m的取值范围是
A.(-1,1)
B.(0,1)
A.1
R合
C.2
D.√5
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
