第一部分
专题五数
列
第26练
等差数列及其前n项和
[小题·精讲精练]
[解析]法1：设等差数列{am}的公差为d,由
S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,
[例题讲坛]
1
【例1】
数列{an}满足a1=4,a=
am-1十2n-2
所以d=一
841<0.设此数列的前n项和最大，
n-1
am≥0，
(m≥2)，则2+1+1+…+1
则
)
am+10,
41a2a3
2024
2021
A.2025
1012
B.2025
C.1012
D.
023
a,=a1+(n-1(-3)a≥0，
4048
048
即
[思路引导]
a+1=a1十n…(-日)a1≤0
由等差数列的定义可判断”}是以=4为首
交
解得9即8≤n≤9，又m∈N”,所以当m=8
项，2为公差的等差数列，即可利用裂项求和
1n≥8，
求解.
作
或n=9时，Sm有最大值。
[解析]
将份-+2”2化商为
法2：由S5=S12,得a6十a7十a8十a9十a10十a11
业
n-1
-1
=2,
十a12=0,即7ag=0,ag=0,由a1>0可知d<0,
故当n=8或n=9时S最大.
时
所以数列
}是以=4为首项，2为公差的等
法3：由S5=S12,可得a1=一8d,所以Sm=
可
差数列
所以2”=4十2(n-1)=2n十2，即
1
8d+"》4=a-°-2a.
沿
=2n(m+1
由n∈N并结合Sm对应的二次函数的图象知，
1/1
此
)小所以
当n=8或n=9时Sm最大
[答案]8或9
线
42
2
【规律归纳】求等差数列前项和的最值，常用的
[1-)+(合-)+…+（分）】
方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转
折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得
21-)2n2
和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前
所以1十1+1
1
20241012
n项和Sm=An2十Bn(A,B为常数，A≠0)为二
42
42024
40502025
次函数，通过二次函数的性质求最值.
故选B.
[答案]
[小题·分层分练]
【规律归纳】
判定一个数列是等差数列还常用到
[一层·打基础]
的结论：
(1)通项公式：an=n十q(p,q为常数)台{an}是
知识点一等差数列的基本运算
等差数列
1.已知S,是等差数列{an}的前n项和，若a1十a3十
(2)前n项和公式：Sm=An2+Bn(A,B为常数)
a5=27,S1o=115,则数列{an}的公差为()
台{am}是等差数列.问题的最终判定还是利用
D.1
定义.
A
B.2
c
【例2】等差数列{am}中，a1>0,S5=S12,则当Sm
2.在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7=a8
有最大值时，n的值为
+5,则S11的值是
(
[思路引导]求等差数列前n项和的最值的
A.55
B.11
C.50
D.60
方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方
知识点二等差数列的性质及应用
法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N”,
3.已知Sn为等差数列{am}的前n项和，若a2=5,
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定
a5=2,则S6=
n的值，使Sm取得最值.
A.9
B.21
C.39
D.51
55参考答案
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
