第一部分专题一
集合与简易逻辑
第3练
不等关系与不等式
A
[小题·精讲精练]
[思路引导]利用基本不等式解决实际问题的
思路
[例题讲坛]
利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模
【例1】已知x为正实数，y为非负实数，且x十2y
型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关
二2，则x2十1+2的最小值为
的关系建立关系式，在解题过程中尽量向模型
(
ax+6≥2Vab(a>0,b>0,x>0)上章找.
x
N.4
[解析]如图所示，
c
D号
连接OC,设OB=x(0变形式子2+1+2y
则BC√OC-OB=√16-x2,
[思路引导]
y千，再利用基
AB=20B=2x,
本不等式“1”的妙用求出最小值
所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为
作
[解析]由x为正实数，y为非负实数，得x>0,
S=AB·BC=2.x·V16-x2=2√/(16-x2)x2≤
y十1≥1，由x+2y=2,得x十2(y十1)=4，
业
时
+=x++2y+1D0y1)+2
(16-x2)+x2=16,当且仅当16-x2=x2时，即
于是2+1+2y=
y+1
x=2√2时，等号成立.
=x+2y-2+1+2
[答案]16
可
y+1
【规律归纳】通过拼凑法利用基本不等式求最值
=1+2=1
x干y+14x+2(y+1)门（十y≠7）
的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、
此
5+2v+1D+2
=
凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下
y+1
几个方面的问题：
号[5+2、
·系=当且仪当
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的
变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
y千，即x=y十1=号时取等号，
2(y+1)=2x
3
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为
4
1
目标.
所以当x=
，士。十—，又子爱，、
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的
值是改选B
前提.
[答案]B
[小题·分层分练]
【规律归纳】求最值的解题思路
[一层·打基础]
(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用基本不等
知识点一比较大小与不等式的性质
式求相应的最值.
1.已知a,b,c∈R,则下列命题为假命题的是()
(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，
A.若a>b,则a十c>b十c
代入后利用基本不等式求值.
B.若a>b>0,则a0.4>b0.4
(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母
时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达
C若>6，则（》<（）
到利用基本不等式求最值的目的.
【例2】如图，在半径为4（单
D.若a>6>0,c>0,则66+c
aa十c
位：cm)的半圆形(O为圆心)
2.若a=20202023×20232020,b=20202020×
铁皮上截取一块矩形材料
20232023,则a
(用“>，<”填空)
ABCD,其顶点A,B在直径
上，顶点C,D在圆周上，则矩形ABCD面积的最
ea+7m=e8+1
3.设m=e3+1
e43+行，则m
n(用“>，
大值为
(单位：cm2).
<”填空参考答案
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
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