第一部分
专题九计数原理
专题九计数原理
第43练
计数原理、排列与组合
[小题·精讲精练]
【例2】假如北京大学给中山市某三所重点中学7
个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一
[例题讲坛]
个名额的方法数为
r
【例1】甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列
A.30
B.21
C.10
D.15
说法正确的是
[思路引导]由于名颜之间没有差别，只需将
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不
10个名额分成三部分即可.
同的排法有24种
[解析]用“隔板法”.在7个名颜中间的6个空
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不
位上选2个位置加2个隔板，有C=15(种)分配
同的排法共有42种
方法.
C.甲乙不相邻的排法种数为82种
[答案]D
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【规律归纳】1.分组、分配问题的求解策略
[思路引导]对于A,根据甲，乙必须相邻且乙
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题
在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B,分最
有三种
左端排甲，和最左端排乙两类求解判断：对于C,
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
业
根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D,
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有组均
根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求
匀，最后必须除以n!;
时
解判断.
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象
[解析]对于A,如果甲，乙必须相邻且乙在甲
(2)分配问题属于“排列”问题.
可
的右边，那么不同的排法有A=24种，A正确；
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再
对于B,最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
分配.
沿
若最左端排甲，有A=24种排法；若最左端排
2.相同元素分配问题的建模思想
乙，有CA=18种排法，合计不同的排法共有
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一
此
42种，B正确；
行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入
对于C,甲乙不相邻的排法种数有AA号=72
了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每
线
种，C不正确：
种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种
对于D,甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有
方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同
A=20种，D正确
元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的元素
故选ABD
(n≥m),有Cm种方法.可描述为n一1个空中
[答案]ABD
插入m一1块板.
【规律归纳】求解排列应用问题的六种常用方法
[小题·分层分练]
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
[一层·打基础]
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
知识点一两个原理的综合应用
1.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图
相隔问题把相邻元素看作一个整体
是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构
捆绑法
与其他元素一起排列，同时注意捆
成.玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部
绑元素的内部排列
填人单元格，每个单元格填一个数字，要求每一
行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填
对不相邻问题，先者虑不受限制的
法有
()
插空法
元素的排列，再将不相邻的元素插
A.12种
B.24种C.72种D.216种
在前面元素排列的空当中
2.2024年3月，甲、乙两人计划去贵州旅游，现有
梵净山、黄果树大瀑布、西江千户苗寨、荔波小
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限
七孔、青岩古镇、肇兴侗寨六个景区供他们选
除法处理
制，排列后，再除以定序元素的全
择，甲去两个景区，乙去三个景区，且甲不去梵
排列
净山，乙要去青岩古镇，则这两人的旅游景区的
间接法
正难则反、等价转化的方法
选择共有
()
A.60种
B.100种
C.80种
D.120种
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
