第一部分
专题六立体几何与空间向量
专题六立体几何与空间向量
第29练
空间几何体的结构及其表面积、体积
[小题·精讲精练]
[思路引导]
作出辅助线，求出原△ABC的底和高，求出
[例题讲坛]
面积.
【例1】如图所示，这是古希腊数
[解析]
过点C作C'M'∥y'轴，且交x'轴于
学家阿基米德最引以为自豪的发
点M',
现：圆柱容球定理.圆柱内有一个
过点C作C'D'⊥x'轴，且交x'轴于点D',
内切球，这个球的直径恰好与圆
则CD'=
柱的高相等，在当时并不知道球
2a,所以∠C'M'D'=45°，
的面积和体积公式的情况下，阿
基米德用穷竭法解决面积问题，
则CM'=
2a,
用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发
所以原三角形的高CM=√6a,底边长为a,
交
现，圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体
积与球体积之比为
2
作
A号9
B55
44
c
37
y
业
D.26
[思路引导]
时
设球的半径为R,利用球和圆柱的表面积、体积
公式求解即可·
可
[解析]设球的半径为R,则圆柱的底面圆半径
为R,圆柱的高为2R,
沿
所以图柱的表面积S1=2·πR2十2πR·2R=
A')
D
6πR2,体积V1=πR2·2R=2πR3,
故答案为：S
此
球的表面积S=4R,依积V:=青xR,
=6πR2
[答案]
所以圆柱的表面积与球的表面积之比】
4πR2
【规律归纳】斜二测画法的位置特征与度量特征
3
V1-2R
简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变，
,圆柱体积与球体积之比2
3
由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在
3元R3
直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观
故选C
图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边
[答案]C
形的直观图中的计算需注意两点.
【规律归纳】空间几何体表面积、体积的求法
(1)直观图中任何一点距x'轴的距离都为原图形
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的
中相应点距x轴距离的2sin45°=倍.
应用
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合
(2)S直观图=
体的表面积注意衔接部分的处理，
5
(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结
求解
论的转换，
【例2】如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的
[小题·分层分练]
直观图是边长为a的正三角形，原△ABC的面
积为
[一层·打基础]
知识点一空间几何体的结构特征
1.下列命题中正确的是
()
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的
几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平
A
行四边形
0)
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
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