第一部分专题六立体几何与空间向量
第31练
直线、平面平行与垂直的判定与性质
[小题·精讲精练]
[思路引导]求点到平面的距
离，按照定义需要找到这点到
[例题讲坛]
平面的垂线段，一殼不好找垂
【例1】在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6
足，可以利用等体积法转化为
的正三角形，SA=SB=SC=15,平面DEFH分
方程问题求解.
别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分
[解析]取CD的中点O,连
别是AB,BC的中点，如果直线SB∥平面
接OB,OM,
DEFH,那么四边形DEFH的面积为
则OB=OM=√3，OB⊥CD,MO⊥CD.
[思路引导]由直线SB∥平面DEFH,联想到
又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD,
利用线面平行的性质，判定四边形DEFH的形
所以MO∥AB,MO∥平面ABC,
状，进而得到其面积.
所以点M,O到平面ABC的距离相等，
[解析]取AC的中点G,连接
作OH⊥BC于点H,连接MH,则MH⊥BC
交
SG.BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,
求得0H=0C·cos30°=
21
作
SG∩BG=G,
故AC⊥平面SGB,
MH=
业
+(
5
21
所以AC⊥SB.
设点A到平面MBC的距离为d,由VA-MBC=
时
因为SB∥平面DEFH,SBC平面
SAB,平面SAB∩平面DEFH=
VM-ABC得号·SAMC·d=号·SAAIC·OH,
可
HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.
又D,E分别为AB,BC的中点，
即×号×2×1=××2x2v×
沿
则H,F也为AS,SC的中点，
此
从而得HF∥2AC/DE,
解得d=号15.
[答案]
丽
线
且HF-AC-DE,
【规律归纳】(1)判定面面垂直的方法：
所以四边形DEFH为平行四边形.
①定义法：证明两平面形成的二面角是直角
又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,
②判定定理法：a⊥B,aCa→a⊥3.
所以DE⊥HD,
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行
所以四边形DEFH为矩形，
转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面
共面积S=HF·HD=(合AC)·(2SB)=号
垂直，然后进一步转化为线线垂直.
[答案]
45
[小题·分层分练]
工一层·打基础]
【规律归纳】1，利用判定定理判定直线与平面平
知识点一直线、平面平行的基本问题
行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可
1.如图，P为平行四边形AB
P
先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出
CD所在平面外一点，Q为
该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的
PA的中点，O为AC与
对边或过已知直线作一平面找其交线】
BD的交点，下面说法错误
2.判断或证明线面平行的常用方法
的是
)
(1)利用线面平行的定义（无公共点）.
A.OQ∥平面PCD
B.PC∥平面BDQ
(2)利用线面平行的判定定理(a庄a,bCa,a∥b
C.AQ∥平面PCD
D.CD∥平面PAB
→a∥a).
知识点二直线、平面垂直关系的基本问题
(3)利用面面平行的性质(a∥B,aCa→a∥3：
2.已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面a,B,Y
a∥B,at3,a∥a→a∥B).
是三个不同的平面，下列命题正确的是(
【例2】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的
A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b
正三角形，平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面
B.若a∥b,a∥a,则b∥a
BCD,AB=2√3.则点A到平面MBC的距离
C.若a∥a,b∥a,c⊥a,且c⊥b,则c⊥a
D.若B⊥a,Y⊥a,且3∩y=a,则a⊥a
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
