第一部分专题六立体几何与空间向量
第33练
利用空间向量求空间角
A
[小题·精讲精练]
正四棱柱ABCD一A1B1CD1的底面边长为a,
(a>0),则DD1=3a,
[例题讲坛]
所以B(a,a,0),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),
【例1】四边形ABCD是直角梯
则A1B=(0,a,-3a),DB=(aa,0),A1C
形，∠ABC=90°，SA⊥平面AB
=(一a,a,0),
CD,SA=AB-BC=2,AD=1.
---C
设平面DA1B与平面A1BC1的法向量分别为n
在如图所示的坐标系Axy之中，
=(x1y1,21）,m=(x2,y2,22）,
则平面SCD和平面SAB的一个
n·A1B=ay1-3az1=0
法向量分别是
和
则
令x1=3,则n
[思路引导]在图中分别找出平面SCD和平面
n·DB=ax1+ay=0
SAB的垂线，求出垂线的方向向量
=(3,-3,-1),
[解析]AD⊥平面SAB,AD=(1,0,0)是
m·A1B=ay2-3az2=0
交
平面SAB的一个法向量.设平面SCD的法向量
m;AC=-ar2+ay2=0令2=1，则m=
作
为n=(1,y,2),
(3,3,1),
则n·DC=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,
n·1m
业
y=-
2又n…D5=12)(-10,2)
设向量n,m的夹角为0，则co80=n·m
1
时
3X3一3X3一1二一1g’
-1+2x=0,2=
n=(1,-)即为平
√19X√19
所以平面DA1B与平面A1BC1夹角的余弦值
可
面SCD的一个法向量.
[答案]n=(1,-2号)Ai=1.00)
为9
沿
1
【规律归纳】求平面法向量的步骤
故答案为：9
此
(1)设法向量n=(x,y,);
(2)在已知平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,
[答案]
1
19
线
a3),b=(b1,b2,b3):
【规律归纳】向量法求空间角的一般步骤
(3)建立方程组
n·a=a1x十a2y十a32=0,
(1)向量表示
n·b=b1x+b2y+b3之=0；
法1：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知
法2：建立适当的坐标系进行坐标表示.求出直线
量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊
a、b的方向向量a、b,平面a、3的法向量m、n.
值，从而得到平面的一个法向量
(2)向量运算
【例2】已知正四棱柱ABCD-A1B1CD,的底面
①求直线a、b所成的角，计算cos(a,b);
边长与侧棱长之比为1：3，则平面DA1B与平面
②求直线a与平面a所成的角，计算cos(a,m》:
A1BC夹角的余弦值为
③求两个平面的夹角的大小，计算cos(m,n〉.
[思路引导]
建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法
[小题·分层分练]
求解.
[一层·打基础]
[解析]如图，以，点D为原点，以DA,DC,DD
知识点一利用空间向量证明平行、垂直问题
为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，
1.(1)已知向量a=(2,3,5),b=(3,x,y)分别是直
线11，l2的方向向量，若1∥12则
A=名y=15
B.x=3,y=15
2
C.x=3,y=15
215
Dx=9
2
(2)若直线1的方向向量a=(2,2,一1)，平面a
的法向量4=（一6,8,4），则直线1与平面a的位
置关系是
(3)设平面a的法向量为(1,2，一2)，平面3的法
向量为（一2，一4，k),若a∥3，则=
71参考答案
回发 国扫码领取
★配套答案
参考答案
★专解析
★学习工具
第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
