第一部分
专题五数列
第28练
数列求和及数列的综合应用
[小题·精讲精练]
所以{an}的前20项和S0=1+（一17)×10十
2
[例题讲坛]
1+(-35)×10=-250.
【例1】已知数列(a满足上=，1-1，且41=1，则
2
an4a十1
故答案为：一250.
,数列(6.}满足6，=2”，则数
[答案]-250
a
【规律归纳】分组转化求和法的应用条件和解题
列{bn}的前n项和Sn=
步骤
[思路引导]由一个等差数列{am}和一个等比
(1)应用条件
数列{bm}相应项的积构成的数列{anb}前n项
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等
和时用错位相减法求和.
比数列或可求和的数列的通项公式相加组成，
(2)解题步骤
交
[解析]
由1=1-1可得1-1=1，
anan+1
an+1 an
<分组
分析通项公式或对通项公式站当变形，
分为可求和数列相的形式
作
所以}为等差教列，公差、首项都为1，
an
由等差数列的通项公式可得
求和
分别对分红后的数列求前项利
业
1一1，at=,
-=nX2"=6n,
an
和n
相州得原数列的前项利
时
Sm=1X2十2X22+…+nX2",
可
2Sm=1×22+…+(n-1)×2"+n×2"+1
[小题·分层分练]
相减得S=一(2十22+…十2")十nX2n+1=
[一层·打基础]
沿
2(1-2m2+n×2+1=(n-1)×2+1+2.
1-2
知识点一分组转化法或并项法求和
1.数列{an}的通项公式是am=(一1)"(2n一1)，则
此
[答案]
,(n-1)·2n+1+2(n∈N*)
该数列的前100项之和
(
A.-200
B.-100
C.200
D.100
线
【规律归纳】错位相减法的适用条件及注意事项
若数列{am}为等差数列，数列{bn}为等比数列，
2.已知数列6，)的通项公式为bn=mc0s3,Tn
由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为
{anbm},当求该数列的前n项和时，常常采用将
是数列{bm}的前n项和，则T3n=
{anbn}的各项乘公比q,并向后错位一项与
知识点二裂项相消法求和
{anbm}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列
3.已知数列{am}的前n项和为Sm,且Sm=n2+3n,
的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.
若首项为2的数列6》满足。1，一是
b
=a,则数
若公比为字母，则需对其进行分类讨论：
【例2】已知数列{an}满足（一1）+1an+2十（一
列{b}的前2024项和为
(
)
1)"am=3(-1)”十1(n∈N*),若a1=a2=1,则
A8器
8器
c8器
D,2024
·2025
{an}的前20项和S20=
[思路引导]
4.已知数列{an)的前n项和Sn=
(n+2)an
3
根据给定条件，按奇偶讨论求出a2m-1,a2m,再分
组求的即得.
(n∈N*)且a1=1,若+1+…+
1∠m
an
[解析]数列{an}满足：（一1）n+1am十2十(-1)”
(,n∈N“)恒成立，则m的最小值为
am=3(-1)m+1,
当n为正奇数时，a十2一an=一2，即数列
知识点三数学归纳法
{a2m-1}是以a1=1为首项，一2为公差的等差
数列，
5数列1…
2n
，…的前n项之和
于是a2m-1=1+(n-1)·(-2)=-21+3,
为Sn,则S,的值等于
当n为正偶数时，一a+2十an=4,即a+2一an=
A.3-n+1_1
1-7
B.3-0+1_1
一4，则数列{a2m}是以a2=1为首项，一4为公差
2”
2n-120-2
的等差数列，于是a2m=1十(n-1)·(-4)=
C.3-n+1_1
1
一4n+5,
2n
21-2
D.3-”
2n2n-2
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
