第一章 三角形 单元测试（培优卷）（含答案）初中数学鲁教版（五四制）（2024）七年级上册
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| 名称 | 第一章 三角形 单元测试（培优卷）（含答案）初中数学鲁教版（五四制）（2024）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 876.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-07 09:47:10 | ||
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文档简介
三角形单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（AB）18°（即∠A＝18°），飞到了C地，经B地的导航站测得∠ABC＝10°．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地．则这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为（ ）
A．38° B．28° C．18° D．8°
3．如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB上，若∠B＝78°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．34° C．27° D．24°
4．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝DC，如果要证得△ABC与△CDA全等，那么可以添加的条件是（ ）
A．AD∥BC B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°
5．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（ ）
A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm
6．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△BEF+S△CDG＝12，则S△ABC＝（ ）
A．24 B．26 C．30 D．36
7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，AC平分∠BAD，添加一个条件后，不能证明△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠B＝∠D D．AB＝AD
8．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为21的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AH、BF、CF，若正方形EFGH的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
9．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（ ）
A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C
10．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°；
结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．若∠B＝65°，∠C＝41°，则∠DAE的度数为 °．
12．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于D，∠F＝40°，∠C＝30°，则∠ABF＝ ．
13．如图，在△ABC中，点M在BC上，且MC＝2MB，连接AM，N为AM边上的中点，连接CN并延长交AB于点D，G为CN上一点，且NC＝3GC，已知△AND的面积为2，则△MNG的面积为 ．
14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝42°，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠BAE＝ °．
15．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
三．解答题（共7小题）
16．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
17．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF，求证：△ABE≌△DCF．
18．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且AD＝BC，点E为△ABC外一点，且AE＝AC，连接DE．当AE∥BC时，判断AB与DE的数量关系，并说明理由．
19．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
（1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ ．
（2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值．
20．如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．
21．如图，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边H1、H2、H3、于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为多少？
22．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠AHB；（用含α的式子表示）
（3）求证：HC平分∠AHE．
三角形单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵△BFD≌△CED，
∴S△BFD＝S△CED＝2，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝5，
∵△BFD≌△CED，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝5，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BFD＝7．
故选：C．
2．解：∵∠BCD是△ABC的外角，
∴根据三角形外角的性质，∠BCD＝∠A+∠B＝18°+10°＝28°．
∴这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为28°．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
3．解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠CEB＝∠B＝78°，∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝180°﹣78°﹣78°＝24°，
∴∠ACD＝24°．
故选：D．
4．解：对于选项A，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴△ABC和△CDA均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
故选D符合题意，
故选：D．
5．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠BDC＝∠CEA＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
在△BDC和△CEA中，
，
∴△BDC≌△CEA（AAS）；
由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm．
∴DE＝DC+CE＝24cm，
故选：A．
6．解：如图，连接DE．
设S△BEF＝S1，S△CDG＝S2，则S△BEF+S△CDG＝S1+S2＝12，
∵F为AE中点，
∴S△ABF＝S△BEF＝S1，
∵EG：GC＝1：2，
∴S△DEGS△CDGS2，
∴S△CDE＝S△DEG+S△CDGS2+S2S2，
∵AD：DC＝1：3，
∴S△ADES△CDES2，
∴S△ABC＝S1+S1S2S2+S2＝2（S1+S2）＝2×12＝24．
故选：A．
7．解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴当添加BC＝CD时，不能判定△ABC≌△ADC，所以A选项符合题意；
当添加∠BCA＝∠DCA时，△ABC≌△ADC（ASA），所以B选项不符合题意；
当添加∠B＝∠D时，△ABC≌△ADC（AAS），所以C选项不符合题意；
当添加AB＝AD时，判定△ABC≌△ADC（SAS），所以D选项不符合题意．
故选：A．
8．解：∵四边形ABMN是面积为21的正方形，
∴AN＝BM＝AB＝MN，
∵四边形EFGH是面积为3的正方形，
∴EH＝FG＝EF＝HG，
∴AD＝BC，DH+CG，
∴S阴影AD DHBC CGAD DHAD CGAD （DH+CG）（）（）（21﹣3）＝9．
故选：D．
9．解：由于AB＝DB，∠A＝∠D，
A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意；
B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
D、添加条件∠E＝∠C，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°，
∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°，
∵BC 平分∠OBA，
∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意；
结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下：
∵∠BAD＝∠C+∠ABC，
∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC，
∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO，
∴，∠ABC∠ABO．
∴∠C∠MAB∠ABO，
又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO，
∴∠C∠MAB∠ABO
（∠MAB﹣∠ABO）
90°＝45°．
∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝41°，
∴根据三角形内角和定理可得，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣41°＝74°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣25°＝12°．
即∠DAE的度数为12°．
故答案为：12．
12．解：∵CE⊥AF，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵∠F＝40°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠F＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故答案为：80°．
13．解：连接DM，如图所示：
∵NC＝3GC，
∴NG：GC＝2：1，
∵△NGM和△GCM以M为顶点向CN作高，是相等的，
∴S△GCM：S△NGM＝1：2，
设S△GCM＝a，则S△NGM＝2a，
∴S△NCM＝a+2a＝3a，
∵N为AM边上的中点，
∴AN＝MN，
∵△ANC和△MNC以C为顶点向AM作高，是相等的，
∴S△ANC：S△NMC＝1：1，则S△ANC＝S△NCM＝3a，且S△AND：S△NMD＝1：1，
∵△AND的面积为2，
∴S△AND＝S△NMD＝2，
∵S△AMC＝6a，
又∵MC＝2MB，
∴BM：CM＝1：2，
∵△BMA和△CMA以A为顶点向BC作高，是相等的，
∴S△BMA：S△MCA＝1：2，则，
∵△BMD和△CMD以D为顶点向BC作高，是相等的，
∴S△BMD：S△MCD＝1：2，则S△BMA：S△AMC＝1：2，
∴；S△BMD＝SBMA﹣4＝3a﹣4；
则，
解得，
∴，
故答案为：．
14．解：∵∠B＝42°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝108°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝108°﹣50°＝58°，
故答案为：58．
15．解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
三．解答题（共7小题）
16．解：AC⊥DE．
∵∠B＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），
∴∠BCA＝∠CDE，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠CDE＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥DE．
17．证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
18．解：AB与DE的数量关系是：AB＝DE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠C，
在△ADE和△ABC中，
，
△ADE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AB，
即AB＝DE．
19．解：（1）∵AC＝6，
∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒），
∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒，
∵AB＝10，BD＝8，
∴BD+AB＝18，
∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6，
故答案为：6；
（2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt，
∵∠CAB＝∠DBA＝α，
∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
由AC＝BP，得：6＝16﹣2t，
解得：t＝5，
由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt，
∵t＝5，
∴2×5﹣6＝8﹣5x，
解得：x＝0.8；
②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，
由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t，
解得：t，
由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt，
∵t，
∴，
解得：x，
综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或．
20．（1）证明：∵∠1＝∠2，∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，
∴∠BDE＝∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS），
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴ED＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠1＝45°，
∴，
∴∠BDE＝67.5°．
21．解：设△BPF的面积为x，△APE的面积为y，
由等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，得：
S△BDP：S△ABP＝S△CDP：S△ACP，S△CEP：S△CBP＝S△APE：S△ABP，
∴根据题意列方程得，40：（84+x）＝30：（35+y），
即30（84+x）＝40（35+y），
即4y＝3x+112①，
35：（30+40）＝y：（84+x），
即70y＝35（84+x），即x＝2y﹣84②，
两式联立解得：x＝56，y＝70，
∴84+70+35+40+30+56＝315，
即△ABC的面积为315．
22．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠CAD+∠AOC＝∠CBE+∠BOH，
∴∠AHB＝∠ACB＝α；
（3）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∴CM＝CN，
∴HC平分∠AHE．
第2页（共2页）
一．选择题（共10小题）
1．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（AB）18°（即∠A＝18°），飞到了C地，经B地的导航站测得∠ABC＝10°．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地．则这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为（ ）
A．38° B．28° C．18° D．8°
3．如图，已知△ABC≌△DEC，点E在AB上，若∠B＝78°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．34° C．27° D．24°
4．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝DC，如果要证得△ABC与△CDA全等，那么可以添加的条件是（ ）
A．AD∥BC B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°
5．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（ ）
A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm
6．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△BEF+S△CDG＝12，则S△ABC＝（ ）
A．24 B．26 C．30 D．36
7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，AC平分∠BAD，添加一个条件后，不能证明△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠B＝∠D D．AB＝AD
8．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为21的正方形，点M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AH、BF、CF，若正方形EFGH的面积为3，则图中阴影部分的总面积为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
9．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（ ）
A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C
10．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°；
结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．若∠B＝65°，∠C＝41°，则∠DAE的度数为 °．
12．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于D，∠F＝40°，∠C＝30°，则∠ABF＝ ．
13．如图，在△ABC中，点M在BC上，且MC＝2MB，连接AM，N为AM边上的中点，连接CN并延长交AB于点D，G为CN上一点，且NC＝3GC，已知△AND的面积为2，则△MNG的面积为 ．
14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝42°，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠BAE＝ °．
15．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
三．解答题（共7小题）
16．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F．判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
17．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝DC，BE＝CF，求证：△ABE≌△DCF．
18．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且AD＝BC，点E为△ABC外一点，且AE＝AC，连接DE．当AE∥BC时，判断AB与DE的数量关系，并说明理由．
19．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
（1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ ．
（2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值．
20．如图，点D在AC边上，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝45°，求∠BDE的度数．
21．如图，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边H1、H2、H3、于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为多少？
22．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连CH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠AHB；（用含α的式子表示）
（3）求证：HC平分∠AHE．
三角形单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵△BFD≌△CED，
∴S△BFD＝S△CED＝2，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝5，
∵△BFD≌△CED，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝5，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BFD＝7．
故选：C．
2．解：∵∠BCD是△ABC的外角，
∴根据三角形外角的性质，∠BCD＝∠A+∠B＝18°+10°＝28°．
∴这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为28°．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
3．解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠CEB＝∠B＝78°，∠ACD＝∠BCE，
∵∠BCE＝180°﹣78°﹣78°＝24°，
∴∠ACD＝24°．
故选：D．
4．解：对于选项A，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴△ABC和△CDA均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
故选D符合题意，
故选：D．
5．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠BDC＝∠CEA＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
在△BDC和△CEA中，
，
∴△BDC≌△CEA（AAS）；
由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm．
∴DE＝DC+CE＝24cm，
故选：A．
6．解：如图，连接DE．
设S△BEF＝S1，S△CDG＝S2，则S△BEF+S△CDG＝S1+S2＝12，
∵F为AE中点，
∴S△ABF＝S△BEF＝S1，
∵EG：GC＝1：2，
∴S△DEGS△CDGS2，
∴S△CDE＝S△DEG+S△CDGS2+S2S2，
∵AD：DC＝1：3，
∴S△ADES△CDES2，
∴S△ABC＝S1+S1S2S2+S2＝2（S1+S2）＝2×12＝24．
故选：A．
7．解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴当添加BC＝CD时，不能判定△ABC≌△ADC，所以A选项符合题意；
当添加∠BCA＝∠DCA时，△ABC≌△ADC（ASA），所以B选项不符合题意；
当添加∠B＝∠D时，△ABC≌△ADC（AAS），所以C选项不符合题意；
当添加AB＝AD时，判定△ABC≌△ADC（SAS），所以D选项不符合题意．
故选：A．
8．解：∵四边形ABMN是面积为21的正方形，
∴AN＝BM＝AB＝MN，
∵四边形EFGH是面积为3的正方形，
∴EH＝FG＝EF＝HG，
∴AD＝BC，DH+CG，
∴S阴影AD DHBC CGAD DHAD CGAD （DH+CG）（）（）（21﹣3）＝9．
故选：D．
9．解：由于AB＝DB，∠A＝∠D，
A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意；
B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
D、添加条件∠E＝∠C，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°，
∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°，
∵BC 平分∠OBA，
∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意；
结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下：
∵∠BAD＝∠C+∠ABC，
∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC，
∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO，
∴，∠ABC∠ABO．
∴∠C∠MAB∠ABO，
又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO，
∴∠C∠MAB∠ABO
（∠MAB﹣∠ABO）
90°＝45°．
∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝41°，
∴根据三角形内角和定理可得，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣41°＝74°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣25°＝12°．
即∠DAE的度数为12°．
故答案为：12．
12．解：∵CE⊥AF，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵∠F＝40°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠F＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故答案为：80°．
13．解：连接DM，如图所示：
∵NC＝3GC，
∴NG：GC＝2：1，
∵△NGM和△GCM以M为顶点向CN作高，是相等的，
∴S△GCM：S△NGM＝1：2，
设S△GCM＝a，则S△NGM＝2a，
∴S△NCM＝a+2a＝3a，
∵N为AM边上的中点，
∴AN＝MN，
∵△ANC和△MNC以C为顶点向AM作高，是相等的，
∴S△ANC：S△NMC＝1：1，则S△ANC＝S△NCM＝3a，且S△AND：S△NMD＝1：1，
∵△AND的面积为2，
∴S△AND＝S△NMD＝2，
∵S△AMC＝6a，
又∵MC＝2MB，
∴BM：CM＝1：2，
∵△BMA和△CMA以A为顶点向BC作高，是相等的，
∴S△BMA：S△MCA＝1：2，则，
∵△BMD和△CMD以D为顶点向BC作高，是相等的，
∴S△BMD：S△MCD＝1：2，则S△BMA：S△AMC＝1：2，
∴；S△BMD＝SBMA﹣4＝3a﹣4；
则，
解得，
∴，
故答案为：．
14．解：∵∠B＝42°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝108°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝108°﹣50°＝58°，
故答案为：58．
15．解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
三．解答题（共7小题）
16．解：AC⊥DE．
∵∠B＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL），
∴∠BCA＝∠CDE，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠CDE＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥DE．
17．证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
18．解：AB与DE的数量关系是：AB＝DE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠C，
在△ADE和△ABC中，
，
△ADE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AB，
即AB＝DE．
19．解：（1）∵AC＝6，
∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒），
∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒，
∵AB＝10，BD＝8，
∴BD+AB＝18，
∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6，
故答案为：6；
（2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝x t，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt，
∵∠CAB＝∠DBA＝α，
∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
由AC＝BP，得：6＝16﹣2t，
解得：t＝5，
由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt，
∵t＝5，
∴2×5﹣6＝8﹣5x，
解得：x＝0.8；
②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，
由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t，
解得：t，
由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt，
∵t，
∴，
解得：x，
综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或．
20．（1）证明：∵∠1＝∠2，∠2+∠BDE＝∠ADE＝∠1+∠C，
∴∠BDE＝∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS），
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴ED＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠1＝45°，
∴，
∴∠BDE＝67.5°．
21．解：设△BPF的面积为x，△APE的面积为y，
由等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，得：
S△BDP：S△ABP＝S△CDP：S△ACP，S△CEP：S△CBP＝S△APE：S△ABP，
∴根据题意列方程得，40：（84+x）＝30：（35+y），
即30（84+x）＝40（35+y），
即4y＝3x+112①，
35：（30+40）＝y：（84+x），
即70y＝35（84+x），即x＝2y﹣84②，
两式联立解得：x＝56，y＝70，
∴84+70+35+40+30+56＝315，
即△ABC的面积为315．
22．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠CAD+∠AOC＝∠CBE+∠BOH，
∴∠AHB＝∠ACB＝α；
（3）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∴CM＝CN，
∴HC平分∠AHE．
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