第三章三角函数真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

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第三章三角函数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 宁乡市期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
2．（2024秋 张家界期末）已知，则sin（x+y）＝（　　）
A． B． C． D．1
3．（2024秋 河西区期末）将弧度化成角度为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2025春 余干县期末）计算cos（﹣600°）的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 潞州区校级期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 北京校级期中）不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025春 镇安县校级期中）设f（x）＝asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β∈R，若f（2019）＝5，则f（2020）等于（　　）
A．4 B．3 C．﹣5 D．5
8．（2025 扬州模拟）已知，则tanα﹣tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 沈阳校级月考）下列计算或化简结果正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
（多选）10．（2024秋 龙华区校级期末）若，且sin2α+cos2α，则下列各式中正确的是（　　）
A．tan2α B．tan2α C．tanα D．tanα
（多选）11．（2025 黄石模拟）已知函数，则（　　）
A．函数为偶函数
B．曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f（x）在区间单调递增
D．f（x）的最小值为﹣2
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期末）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 　 　 ．
13．（2025 河北模拟）在△ABC中，若，则∠C　 　 ．
14．（2025春 红桥区校级期中）某地一天0～24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数y＝6sin（t）+20（t∈[0，24]），则这一天的最低气温是　 　 ℃．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 盱眙县校级期中）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ．
（1）求sinθcosθ的值；
（2）求sinθ﹣cosθ的值；
（3）求tanθ的值．
16．（2025春 合肥期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
17．（2024秋 随州期末）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
18．（2025 未央区校级二模）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求使f（x）≤1成立的x的取值集合．
19．（2025 汉中开学）设函数f（x）＝sin（ωx）+sin（ωx），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间[，]上的最小值．
第三章三角函数真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C D A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AD AC
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 宁乡市期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y＝cos
【解答】解：对于A：y＝|sinx|，将y＝sinx的图象x轴翻折到上方，可知周期T＝π，在区间（，π）上单调递减，所以A对；
对于B：y＝cosx的周期T＝2π，所以B不对．
对于C：y＝tanx的周期T＝π，在定义域内都是单调递增，所以C不对；
对于D：y＝cos的周期T，所以D不对．
故选：A．
2．（2024秋 张家界期末）已知，则sin（x+y）＝（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：因为，，
所以，
所以sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsiny．
故选：C．
3．（2024秋 河西区期末）将弧度化成角度为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：∵π rad＝180°，即1 rad，
∴ rad120°．
故选：C．
4．（2025春 余干县期末）计算cos（﹣600°）的结果是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：cos（﹣600°）＝cos（﹣600°+2×360°）＝cos120°
故选：C．
5．（2025春 潞州区校级期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以sin[（2α）]＝cos2（α）＝1﹣2sin2（α）＝1﹣2×（）2．
故选：D．
6．（2025春 北京校级期中）不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为，
当时，，，
且y＝tanx单调递增，
所以，
因为y＝tanx的周期为π，
所以不等式的解集为．
故选：A．
7．（2025春 镇安县校级期中）设f（x）＝asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β∈R，若f（2019）＝5，则f（2020）等于（　　）
A．4 B．3 C．﹣5 D．5
【解答】解：∵f（2019）＝5，
∴f（2019）＝asin（2019π+α）+bcos（2019π+β）＝asin（π+α）+bcos（π+β）＝﹣asinα﹣bcosβ＝5，
即asinα+bcosβ＝﹣5，
则f（2020）＝asin（2020π+α）+bcos（2020π+β）＝asinα+bcosβ＝﹣5，
故选：C．
8．（2025 扬州模拟）已知，则tanα﹣tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以cos（α﹣β）＝2cos（α+β），
所以cosαcosβ+sinαsinβ＝4（cosαcosβ﹣sinαsinβ），
即3cosαcosβ＝5sinαsinβ，
即tanαtanβ，
因为tan（α﹣β），
则tanα﹣tanβ．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 沈阳校级月考）下列计算或化简结果正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
【解答】解：A，，故正确；
B，，故正确；
C，，故不正确；
D，∵α为第一象限角，∴sinα＞0，cosα＞0，
∴原式 ，故正确；
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 龙华区校级期末）若，且sin2α+cos2α，则下列各式中正确的是（　　）
A．tan2α B．tan2α C．tanα D．tanα
【解答】解：因为sin2α+cos2α＝sin2α+cos2α﹣sin2α＝cos2α，
又，
所以cosα，sinα，tanα，故C错误，D正确；
可得tan2α，故A正确，B错误．
故选：AD．
（多选）11．（2025 黄石模拟）已知函数，则（　　）
A．函数为偶函数
B．曲线y＝f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f（x）在区间单调递增
D．f（x）的最小值为﹣2
【解答】解：
，
即，
对于A，，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，由的对称轴方程，故B错误；
对于C，，y＝sin2x单调递减，则单调递增，故C正确；
对于D，，则sin2x∈[﹣1，1]，所以，故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 普陀区校级期末）半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 　　 ．
【解答】解：S，
故答案为：．
13．（2025 河北模拟）在△ABC中，若，则∠C　60°　 ．
【解答】解：由可得
tan（A+B）
因为A，B，C是三角形内角，所以A+B＝120°，所以C＝60°
故答案为：60°
14．（2025春 红桥区校级期中）某地一天0～24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数y＝6sin（t）+20（t∈[0，24]），则这一天的最低气温是　14　 ℃．
【解答】解：由t∈[0，24]，可得t∈[，]，﹣1≤sin（t）≤1，
故当sin（t）＝﹣1时，函数y取得最小值为 14，
故答案为：14．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 盱眙县校级期中）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ．
（1）求sinθcosθ的值；
（2）求sinθ﹣cosθ的值；
（3）求tanθ的值．
【解答】解：（1）因为sinθ+cosθ，
所以（sinθ+cosθ）2，
所以1+2sinθcosθ，
所以sinθcosθ．
（2）因为θ∈（0，π），sinθcosθ，
所以sinθ＞0，cosθ＜0，所以sinθ﹣cosθ＞0．
所以（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ＝1，
所以sinθ﹣cosθ．
（3）因为sinθ+cosθ，sinθ﹣cosθ，
所以sinθ，cosθ，
所以tanθ．
16．（2025春 合肥期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的值域．
【解答】解：（1）∵函数
sin2xcos2x＝sin（2x），
∴函数f（x）的最小正周期为π．
令2kπ2x2kπ，k∈Z，求得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）在区间上，2x∈[，]，sin（2x）∈[﹣1，]，
即函数f（x）在区间上的值域为[﹣1，]．
17．（2024秋 随州期末）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【解答】解：（1）l＝10（cm）．
（2）由已知得：l+2R＝20，
所以SlR（20﹣2R）R＝﹣（R﹣5）2+25．
所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad．
（3）设弓形面积为S弓，由题知lcm，
S弓＝S扇﹣S△222×sin （cm2）．
18．（2025 未央区校级二模）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求使f（x）≤1成立的x的取值集合．
【解答】解：（1）表中数据补充完整为：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
f（x）＝2sin（3x）．
（2）由2sin（3x）≤1，可得sin（3x），
所以2kπ3x2kπ，解得kπxkπ，k∈Z，
所以使f（x）≤l成立的取值集合为．
19．（2025 汉中开学）设函数f（x）＝sin（ωx）+sin（ωx），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间[，]上的最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（ωx）+sin（ωx）
＝sinωxcoscosωxsinsin（ωx）
sinωxcosωx
sin（ωx），
又f（）sin（ω）＝0，
∴ωkπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2，f（x）的最小正周期Tπ；
（2）由（1）知，f（x）sin（2x），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x）的图象，
∴函数y＝g（x）sin（x）；
当x∈[，]时，x∈[，]，
∴sin（x）∈[，1]，
∴当x时，g（x）取得最小值是．
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