第十章概率真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第二册

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第十章概率真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 衡水月考）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人接到球之后都等可能地把球传给另外两个人中的一个人，从甲开始传球，则球第三次传递给乙的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 庐阳区校级期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026 杭州校级开学）一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（　　）
A．m+n＝10 B．m+n＝5 C．m＝n＝10 D．m＝2，n＝3
4．（2025 河北模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 碑林区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1
D．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B相互对立
6．（2025春 镇原县期末）甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 杭州校级学业考试）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 吉林期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 湖北月考）已知事件A，B满足P（A）＝0.7，P（B）＝0.1，则（　　）
A．若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.8
B．若B A，则P（A∪B）＝0.7，
C．若事件C满足P（A∪B∪C）＝1，则P（C）＝0.2
D．若A与B相互独立，则
（多选）10．（2025春 驻马店月考）某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
（多选）11．（2025春 长沙校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件
B．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样．如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9
C．数据4，3，4，6，8，7，8，9的60%分位数是8
D．数据a1，a2，a3， ，an的方差为s2，则数据3a1，3a2，3a3， ，3an的方差为9s2
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 界首市校级月考）小李在网上买了一本书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为，衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为 　 　 ．
13．（2025春 辽宁月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，．已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为 　 　 ．
14．（2025春 庐山市 月考）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．若第一个人发送信号0和1给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为0和1的概率为 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 临夏州期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件B．
（1）求事件A发生的概率P（A）；
（2）求事件A和事件B同时发生的概率P（AB）；
（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
16．（2025春 福建校级期中）一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：一次性无放回．
（1）按方式一，求摸出是同一种颜色球的概率；
（2）按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，求摸出2黑1白的概率；
（3）若按方式一、二等可能，抽签决定，求最终摸出2黑1白的概率．
17．（2025 福建校级模拟）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案．方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
18．（2024秋 蚌埠期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖．
（1）请以标号（x，y）写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
（2）求两种规则下获得二等奖的概率；
（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由．
19．（2025春 宁乡市期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为．甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动．乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰．甲、乙每道题是否答对相互独立．
（1）求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求乙通过第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率．
第十章概率真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B A C B A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 衡水月考）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人接到球之后都等可能地把球传给另外两个人中的一个人，从甲开始传球，则球第三次传递给乙的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设事件An＝“第n次球在甲手中”，Bn＝“第n次球在乙手中”， n＝“第n次球在丙手中”，
由题意可知：，又P（An）+P（Bn）+P（ n）＝1，
所以，构造等比数列，
因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即P（A0）＝1所以是以为首项，公比为的等比数列，
故，
因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称，
即P（Bn）＝P（ n），所以经过三次传球后，球恰在乙手中的概率为．
故选：B．
2．（2025春 庐阳区校级期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：若采取有放回抽样，则样本空间共有4×4＝16种结果，抽到一男一女的情况有2×2×2＝8种，
故概率P1；
若采取不放回抽样，则样本空间共有4×3＝12种结果，抽到一男一女的情况有2×2×2＝8种，
故概率P2．
故选：D．
3．（2026 杭州校级开学）一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（　　）
A．m+n＝10 B．m+n＝5 C．m＝n＝10 D．m＝2，n＝3
【解答】解：根据题意，一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，
从中任取一个球，取得是白球的概率为，则不是白球的概率为，
则有，变形可得m+n＝10．
故选：A．
4．（2025 河北模拟）抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：抛掷两枚质地均匀的骰子共有6×6＝36种不同的结果，
向上的点数之和为4的倍数有：（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），共9种情况，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为P．
故选：B．
5．（2025春 碑林区校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）
C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1
D．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B相互对立
【解答】解：对于A，若事件A与B互斥，则A与B不一定相互对立，
但A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A正确，
对于B，若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），故B错误，
对于C，若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记A＝“向上的点数为1”，B＝“向上的点数为2”，C＝“向上的点数为3”，
事件A，B，C两两互斥，但．故C错误，
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足P（A）+P（B）＝1，但是A与B不对立，故D错误．
故选：A．
6．（2025春 镇原县期末）甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设A＝“甲荣获一等奖”，B＝“乙荣获一等奖”，C＝“丙荣获一等奖”，E＝“三人中仅有两人获得一等奖”，
则EBC+AC+AB，
故P（E）＝P（BC+AC+AB）＝（1）（1）（1）．
故选：C．
7．（2025 杭州校级学业考试）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲独立攻克该难题”，事件B＝“乙独立攻克该难题”，
则，设P（B）＝p，
甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，即P（B+A）（1﹣p）p，
变形可得p，
故P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）．
故选：B．
8．（2025春 吉林期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，
所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 湖北月考）已知事件A，B满足P（A）＝0.7，P（B）＝0.1，则（　　）
A．若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.8
B．若B A，则P（A∪B）＝0.7，
C．若事件C满足P（A∪B∪C）＝1，则P（C）＝0.2
D．若A与B相互独立，则
【解答】解：事件A，B满足P（A）＝0.7，P（B）＝0.1，
对于A，由A与B互斥，得P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.8，故A正确；
对于B，由B A，得P（AB）＝P（B）＝0.1，P（B|A），
P（A∪B）＝P（A）＝0.7，故B正确；
对于C，当事件A，B，C两两互斥时，
P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C），
由P（A）＝0.7，P（B）＝0.1，P（A∪B∪C）＝1，
得P（C）＝1﹣0.7﹣0.1＝0.2．
当事件A，B，C不满足两两互斥时，选项C不成立，举例如下：
设一个盒子里有编号为1到20的20个小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，
记事件A＝“球的编号不大于14”，事件B＝“球的编号不大于2”，
事件C＝“球的编号大于2”，
满足P（A∪B∪C）＝1，且P（A），P（B），
但，故C错误；
对于D，由A与B相互独立，得相互独立，
则A与B相互独立，则P（）＝P（）P（）＝（1﹣0.7）（1﹣0.1）＝0.27，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 驻马店月考）某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　）
A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
【解答】解：∵某同学参加3次不同测试，
用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，
则J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；
∵J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，
∴表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；
J1∩J2∩J3表示J1、J2、J3同时发生，
即表示三次测试成绩均及格，故C正确；
表示测试成绩均不及格，
∴表示三次测试成绩均不及格，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025春 长沙校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件
B．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样．如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9
C．数据4，3，4，6，8，7，8，9的60%分位数是8
D．数据a1，a2，a3， ，an的方差为s2，则数据3a1，3a2，3a3， ，3an的方差为9s2
【解答】解：对于A，由“掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确；
对于B，设抽取的丙个体数为n，由，解得n＝9，B正确；
对于C，数据4，3，4，6，8，7，8，9从小到大排列为：3，4，4，6，7，8，8，9，
由8×60%＝4.8，得该组数据的60%分位数是7，C错误；
对于D，数据a1，a2，a3，…，an的方差为s2，则数据3a1，3a2，3a3，…，3an的方差为9s2，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 界首市校级月考）小李在网上买了一本书和一件衣服，由于强降雨天气影响了快递运输，书按时送达的概率为，衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为 　　 ．
【解答】解：根据题意，小明买的书按时送达的概率为，小明买的衣服按时送达的概率为，且书和衣服的快递运输互不影响，
则小明买的书和衣服都能按时送达的概率为．
故答案为：．
13．（2025春 辽宁月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，．已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为 　　 ．
【解答】解：根据题意，某同学随意选取一箱，设A＝“选中的是1号箱”，B＝“选中的是2号箱”，C＝“选中的是3号箱”，
D＝“取出的球为黑球”，
易得P（A）＝P（B）＝P（C），
则P（D），
故P（C|D）．
故答案为：．
14．（2025春 庐山市 月考）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．若第一个人发送信号0和1给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为0和1的概率为 　　 ．
【解答】解：设第i个人收到0和0为事件Ai，收到0和1为事件Bi，收到1和0为事件 i，收到1和1为事件Di，
则，
，
即，两式相减得：，
且P（B1）﹣P（C1）＝1，故{P（Bi）﹣P（ i）}是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，
则
，
故是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，P（B6）．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 临夏州期末）科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件B．
（1）求事件A发生的概率P（A）；
（2）求事件A和事件B同时发生的概率P（AB）；
（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
【解答】解：（1）根据题意，若事件A发生，即小明只回答2道题就结束面试，则小明前两题都答对或都答错，
所以；
（2）根据题意，若事件B发生，即小华3道题都回答且通过面试，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，
则，
又由事件A，B相互独立，则．
（3）记小明没有通过面试为事件C，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为，
可得小明通过面试的概率为．
记小华通过面试的事件为D，由（2）得，
由题意可知，事件C，D相互独立，
记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为E，
则．
16．（2025春 福建校级期中）一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：一次性无放回．
（1）按方式一，求摸出是同一种颜色球的概率；
（2）按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，求摸出2黑1白的概率；
（3）若按方式一、二等可能，抽签决定，求最终摸出2黑1白的概率．
【解答】解：（1）根据题意，因为是有放回抽样，则每次摸到红球的概率是，每次摸到白球的概率是，每次摸到黑球的概率是，
所以按照方式一，摸出是同一种颜色球的概率P；
（2）根据题意，设A＝“摸出两种不同颜色的球”，B＝“摸出2黑1白”，
一次性无放回摸出三个球的组合数为，
则，．
又由B A，则P（AB）＝P（B），
故；
（3）根据题意，因为按方式一、二等可能抽签决定，则抽到方式一、二的概率都是，
按方式一摸出2黑1白的概率为．
按方式二摸出2黑1白的概率为．
所以根据全概率公式，最终摸出2黑1白的概率为．
17．（2025 福建校级模拟）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案．方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
【解答】解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2，
所以，
所以首次试验结束的概率为；
（2）（i）因为B1，B2是对立事件，
所以，
所以，
所以在首次试验摸出白球的条件下，选到的袋子为甲袋的概率为；
（ii）由（i）得，
所以方案①中取到红球的概率为：，
方案②中取到红球的概率为：，
因为，
所以方案②中取到红球的概率更大，即方案②第二次试验结束的概率更大．
18．（2024秋 蚌埠期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖．
（1）请以标号（x，y）写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
（2）求两种规则下获得二等奖的概率；
（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由．
【解答】解：（1）两次抽取小球的所有可能结果为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（2）记规则一中获得二等奖为事件A2，记规则二中获得二等奖为事件B2，
事件A2包含（3，3），（3，5），（4，4），（5，3），（5，5）五个样本点，
故，
事件B2包含（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，5）五个样本点，
故．
（3）规则二获奖概率大．
理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件A1，A2，A3，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件B1，B2，B3，
事件B1包含（1，2），（2，1）两个样本点，∴；
事件B3包含（3，3），（3，5），（4，2），（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），
（2，4），（3，1），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），
共13个样本点，
∴．
所以规则二获奖的概率P（B1+B2+B3）＝P（B1）+P（B2）+P（B3），
事件A1包含（1，1），（2，2）两个样本点，∴．
事件A3包含（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4）十二个样本点，
∴．
则规则一获奖的概率P（A1+A2+A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3），
∵，
∴规则二获奖的概率大．
19．（2025春 宁乡市期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为．甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动．乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰．甲、乙每道题是否答对相互独立．
（1）求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求乙通过第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率．
【解答】解：（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
甲通过第一轮挑战赛的概率为．
（2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
乙通过第一轮挑战赛的概率为．
（3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为．
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