第三章函数的概念与性质真题演练卷（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

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第三章函数的概念与性质真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 门头沟区校级期中）下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是（　　）
A．y＝x|x| B．y＝ex C． D．y＝3x2
2．（2025春 高新区月考）已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（　　）
A．[，0] B．[，3] C．[0，1] D．[，1]
3．（2024秋 沧州期末）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1）
4．（2024秋 沧州期末）下列函数中，与函数y＝x+1是相等函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 西湖区校级期中）已知函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[0，2] B．（0，2）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
6．（2024秋 环县校级期中）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1的图像关于原点对称，则满足（a+1）m＞（3﹣2a）m成立的实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 北辰区三模）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 合江县校级月考）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣2，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．[0，4]
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 城区校级模拟）已知函数（x∈R，其中[x]表示不大于x的最大整数），则（　　）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）在[0，2）上单调递增
D．f（x）的值域为{0，1}
（多选）10．（2024 芝罘区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（　　）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有五个零点
C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）
D．对 x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立
（多选）11．（2024秋 白城校级期末）已知函数f（x），则下列判断中错误的是（　　）
A．f（x）的值域为（0，+∞）
B．f（x）的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x）是单调函数
D．f（x）是偶函数
三．填空题（共3小题）
12．（2025 包头二模）若函数f（x）＝ln（ex+1）+ax为偶函数，则实数a＝　 　 ．
13．（2023秋 丰城市校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3+x+1，则f（x）在R上的解析式为 　 　 ．
14．（2024秋 虹口区校级期中）已知函数f（x）若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），则f（）＝　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 泽普县校级期末）已知函数f（x），且f（1）＝2．
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．
16．（2024秋 端州区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣x﹣3，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求方程f（x）＝x的解集．
17．（2024秋 锦州期中）给定函数f（x）＝﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R．
（1）画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，请分别用图象法和解析法表示函数m（x）．
18．（2024秋 江西月考）已知幂函数y＝f（x），其中m∈{x|﹣2＜m＜2，m∈Z}，满足：
（1）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0．求同时满足（1），（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
19．（2022秋 遂川县校级期末）已知幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随着x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）若满足（a+1）2m＜（3﹣2a）2m，求实数a的取值范围．
第三章函数的概念与性质真题演练卷-高中数学人教A版（2019）必修第一册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B C D A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD AD ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 门头沟区校级期中）下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是（　　）
A．y＝x|x| B．y＝ex C． D．y＝3x2
【解答】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，
据此分析选项：
对于A，y＝x|x|，是增函数且是奇函数，符合题意；
对于B，y＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，y，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于D，y＝3x2，是二次函数不是奇函数，不符合题意；
故选：A．
2．（2025春 高新区月考）已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（　　）
A．[，0] B．[，3] C．[0，1] D．[，1]
【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，
所以﹣2≤x﹣1≤1，
则y＝f（1﹣3x）中，﹣2≤1﹣3x≤1，
解得0≤x≤1，
故y＝f（1﹣3x）的定义域为[0，1]．
故选：C．
3．（2024秋 沧州期末）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1）
【解答】解：幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，
所以a2+a﹣1＝1且a2﹣2a﹣3＜0，
解得，a＝1．
故选：A．
4．（2024秋 沧州期末）下列函数中，与函数y＝x+1是相等函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A，函数y＝（）2＝x+1的定义域为{x|x≥﹣1}，和y＝x+1（∈R）的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数y1＝x+1的定义域为R，和y＝x+1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；
对于C，函数y1＝x+1的定义域为{x|x≠0}，和y＝x+1的定义域不同，不是同一函数；
对于D，函数y1＝|x|+1的定义域为R，和y＝x+1的对应法则不相同，不是同一函数．
故选：B．
5．（2024秋 西湖区校级期中）已知函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[0，2] B．（0，2）
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解答】解：因为函数y＝x2﹣mx﹣3的图象对称轴为，开口向上，
所以函数在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
又因为函数y＝x2﹣mx﹣3在区间[0，1]上是单调函数，
所以或，解得m≤0或m≥2，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
故选：C．
6．（2024秋 环县校级期中）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1的图像关于原点对称，则满足（a+1）m＞（3﹣2a）m成立的实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：m2﹣3m+3＝1，得m＝1或m＝2．
当m＝1时，f（x）＝x2图像关于y轴对称，不成立；
当m＝2时，f（x）＝x3是奇函数，成立；
所以不等式转化为（a+1）2＞（3﹣2a）2，
解得，
∴满足（a+1）m＞（3﹣﹣2a）m成立的实数a的取值范围为（，4）．
故选：D．
7．（2024 北辰区三模）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，
有，所以f（x）为奇函数，排除C、D．
当x＞0时，2x﹣2﹣x＞0，所以f（x）＞0，排除B．
故选：A．
8．（2024秋 合江县校级月考）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣2，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．[0，4]
【解答】解：易知f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，
则 ，
解得0≤a≤4．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 城区校级模拟）已知函数（x∈R，其中[x]表示不大于x的最大整数），则（　　）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）在[0，2）上单调递增
D．f（x）的值域为{0，1}
【解答】解：由题意，[x]表示不大于x的最大整数，则[x+1]＝[x]+1，
所以，
则函数f（x）是以3为周期的函数，
当x∈[0，2）时，；
当x∈[2，3）时，，
又f（x）是以3为周期的函数，则f（x）的值域为{0，1}，B和D均正确；
f（﹣1）＝f（2）＝1，f（1）＝0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），故f（x）不是奇函数，A错误；
当x∈[0，2）时，f（x）＝0，故f（x）在[0，2）上无单调性，C错误．
故选：BD．
（多选）10．（2024 芝罘区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（　　）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有五个零点
C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）
D．对 x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立
【解答】解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），
依次分析选项：
对于A，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝ex（﹣x﹣1），整理得f（x）＝﹣f（﹣x）＝ex（x+1），A正确；
对于B，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），此时有1个零点x＝1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，
f（x）有3个零点，B错误；
对于C，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝e﹣x（2﹣x），
在区间（0，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
则在区间（0，+∞）上有极大值f（2）＝e﹣2，而x→0，f（x）→﹣1，则在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤e﹣2，
又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，由﹣e﹣2≤f（x）＜1，
综合可得：f（x）的值域为（﹣1，1），
若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，C错误；
对于D，当x＜0时，f′（x）＝ex（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，
所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，
所以f（x）＜f（0）＝1，
即﹣e﹣2＜f（x）＜1，
当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），
所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，
所以f（x）＞f（0）＝﹣1，
所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，
所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．
故 x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确；
故选：AD．
（多选）11．（2024秋 白城校级期末）已知函数f（x），则下列判断中错误的是（　　）
A．f（x）的值域为（0，+∞）
B．f（x）的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x）是单调函数
D．f（x）是偶函数
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
由图可知，f（x）的值域为[0，+∞），故A错误；
f（x）的图象与直线y＝2有两个交点，故B正确；
f（x）的图象不关于原点中心对称，也不关于y轴轴对称，为非奇非偶函数且不单调，
故C与D错误．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 包头二模）若函数f（x）＝ln（ex+1）+ax为偶函数，则实数a＝　　 ．
【解答】解：若函数f（x）＝ln（ex+1）+ax为偶函数，即
f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）﹣ax＝f（x），
可得ln（ex+1）+ax﹣（ln（e﹣x+1）﹣ax）＝0，对任意实数x恒成立
∴ln（）+2ax＝0对任意实数x恒成立，
而ex，上式变成ln（ex）+2ax＝（2a+1）x＝0对任意实数x恒成立
所以a，
故答案为：
13．（2023秋 丰城市校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3+x+1，则f（x）在R上的解析式为 　　 ．
【解答】解：由题意可知：
当x＝0时，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0）＝f（0），∴f（0＝0）；
当x＜0时，任设x∈（﹣∞，0），则﹣x＞0，又因为：当x＞0时，f（x）＝x3+x+1，
所以：f（﹣x）＝（﹣x）3﹣x+1＝﹣x3﹣x+1，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴﹣f（x）＝﹣x3﹣x+1，
∴f（x）＝x3+x﹣1．
所以函数f（x）在R上的解析式为：．
故答案为：．
14．（2024秋 虹口区校级期中）已知函数f（x）若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），则f（）＝　8　 ．
【解答】解：根据题意，f（x）其定义域为（﹣1，+∞），
则函数f（x）在（﹣1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数，
当a≥1时，有2a＝2（a﹣1），无解；
当﹣1＜a＜0时，无解；
若实数a满足f（a）＝f（a﹣1），必有﹣1＜a﹣1＜0且1＞a＞0，且有2a，
解可得a，则f（）＝f（4）＝8，
故f（）＝8，
故答案为：8．
四．解答题（共5小题）
15．（2023秋 泽普县校级期末）已知函数f（x），且f（1）＝2．
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．
【解答】解：f（1）＝2∴1+a＝2∴a＝1，
（1）f（﹣x），
定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称，∴为奇函数．x2＞x1＞1；
（2）由（1）知，
任取．x2＞x1＞1，
则，
1＜x1＜x2＜+∞∴x1x2＞1∴且x1﹣x2＜0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知函数f（x）在[2，5]上递增，
所以，
16．（2024秋 端州区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣x﹣3，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求方程f（x）＝x的解集．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+x﹣3）＝﹣x2﹣x+3，
∴，
（2）由（1）得：
当x＞0时，∵f（x）＝x，∴x2﹣x﹣3＝x，∴x＝3（舍负），
当x＝0时，f（x）＝x成立；
当x＜0时，∵f（x）＝x，∴﹣x2﹣x+3＝x，∴x＝﹣3（舍正），
综上，方程f（x）＝x的解集为{﹣3，0，3}．
17．（2024秋 锦州期中）给定函数f（x）＝﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R．
（1）画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，请分别用图象法和解析法表示函数m（x）．
【解答】解：（1）两个函数的对应图象如图：
（2）图象法：由图象知当x≤0或x≥1时，f（x）≤g（x），此时m（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x），
当0＜x＜1时，f（x）＞g（x），此时m（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），
解析法：
g（x）﹣f（x）＝（x﹣1）2﹣（﹣x+1）＝（x﹣1）2+（x﹣1）＝x（x﹣1），
由g（x）﹣f（x）＝x（x﹣1）≥0得x≥1或x≤0，此时g（x）≥f（x），
由g（x）﹣f（x）＝x（x﹣1）＜0得0＜x＜1，此时g（x）＜f（x），
则m（x）＝min{f（x），g（x）}．
18．（2024秋 江西月考）已知幂函数y＝f（x），其中m∈{x|﹣2＜m＜2，m∈Z}，满足：
（1）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0．求同时满足（1），（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
【解答】解：∵m∈{x|﹣2＜m＜2，m∈Z}，∴m＝﹣1，0，1．
∵对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
当m＝﹣1时，f（x）＝x2只满足条件（1）而不满足条件（2）；
当m＝1时，f（x）＝x0，条件（1）不满足；
当m＝0时，f（x）＝x3条件（1）、（2）都满足，且在区间[0，+∞）上是增函数．
所以幂函数f（x）的解析式为f（x）＝x3，
所以x∈[0，3]时，函数f（x）的值域为[0，27]．
19．（2022秋 遂川县校级期末）已知幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随着x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）若满足（a+1）2m＜（3﹣2a）2m，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，
∴3m﹣9＜0，且为偶数，m∈N*，
解得m＝1．
（2）∵（a+1）2m＜（3﹣2a）2m，
即：（a+1）2＜（3﹣2a）2，
可得：3a2﹣14a+8＞0，
∴a＞4或a，
即a的取值范围是（﹣∞，）∪（4，+∞）．
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