江苏省南京市2026年中考数学一轮练习卷（一）（含解析）

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江苏省南京市2026年中考数学一轮练习卷（一）
一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．
2．下列各数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C．9 D．11
4．体积为80的正方体的棱长在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
5．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）

A．（）° B．（）° C．（）° D．（）°
6．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7． ； ．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．已知关于的方程的一个根为3，则 ．
10．若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为 °．
11．如图，将正方形剪去四个角后得到边长为的正八边形，则正方形的边长为 ．
12．如图，在菱形中，点，的坐标分别是，．若点在轴上，则点的坐标是 ．
13．如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ．
14．如图，直线，直线，与，，分别交于点，，及点，，，若，，，则 ．
15．已知反比例函数（为常数，），当时，的最大值与最小值的差为2，则 ．
16．根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁．
男职工延迟法定退休年龄对照表（部分）
出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间
年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月
年月 年月 年月 年月
年月 年月 年月 年月
年月 年月
王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是 ．
三、解答题
17．计算
(1)；
(2)．
18．（1）解方程：；
（2）若关于x的方程无解，则a的值是 ．
19．为了购买一台洗衣机，某市场研究小组收集了甲、乙两种功能类似的洗衣机近5周的销售量和用户评分情况，统计结果如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 种洗衣机销售量比较稳定， 种洗衣机用户评分中位数较高（填“甲”或“乙”）；
(2)你推荐选择哪种洗衣机？请说明理由．
20．如图，在菱形中，E、F、G、H分别是、、、的中点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)菱形满足 时，四边形为正方形．
21．（1）如图，是两个可以自由转动的转盘，指针位置固定．转盘①被分成4个大小相同的扇形，颜色分别为红、黑、蓝、黄四种颜色；转盘②被分成两个不同的扇形，颜色分别为红、黄两种颜色．同时转动两个转盘，停止后，求指针恰好都落在黄色区域的概率．
（2）现有一个不透明的袋子和红、黄两种颜色小球若干个（除颜色外其它均相同），请设计一个与（1）中概率相等的摸球游戏，写出你的设计方案．
22．根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算的长．（精确到）
（参考数据：，，，，）
23．如图，在中，，以为直径作交交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
24．命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．
(1)当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．
(2)判断命题的真假，并说明理由．
25．如图①所示，沪宁高速公路可近似看作一条直线．一辆货车以的速度从南京出发匀速驶往上海；同时，一列轿车以的速度从苏州出发匀速驶往上海，停留后，按照原速度继续开往南京，最终两车同时到达目的地．设货车行驶的时间为，货车与南京的距离，轿车与南京的距离．
(1)在图2中，分别画出和补全关于t的函数图象；
(2)分别求苏州到上海的距离，南京到上海的距离；
(3)若镇江距离南京90 km，直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔．
26．已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，都有，直接写出t的取值范围．
27．【提出问题】
过平面内一点P画直线l平分已知的面积．
【发现问题】
根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况．
（1）当点P在边上
①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；
②若点P在的边上，如图②，小明取的中点D，连接，……
请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．
【分析问题】
（2）当点P在的内部，如图③，如何画出直线l呢？
小红的画法：
第一步 取的中点D；
第二步 画；
第三步 过点P画，交于点I；
第四步 过P、I、H三点的圆交于点J；
第五步 过点P作直线，交于点K．
则就是所求的直线l．
请说明小红画图的正确性．
【解决问题】
（3）当点P在的外部如图④，画出直线l，并简述画法．
《江苏省南京市2026年中考数学一轮练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B B D D
1．B
【分析】根据算术平方根的求法解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查了算术平方根，属于基础题，要注意符号问题．
2．A
【分析】此题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，0指数，特殊角的三角函数，算术平根性质，是解题的关键．无限不循环小数为无理数．如带根号开不尽方的，化简结果含π的，特殊构造的，像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等形式的数才是无理数．
分别根据无理数、有理数的定义即可判断．
【详解】解： A. ，是无理数，符合题意：
B. ，是有理数，不符合题意；
C. ，是有理数，不符合题意；
D. ，是有理数，不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】先计算乘方，并求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握负整数指数幂和实数混合运算法则是银题的关键．
4．B
【分析】体积为80的正方体的棱长为，可根据64＜80＜125，不等式每项同时开三次方进行估算即可得出答案．
【详解】解：体积为80的正方体的棱长为，
∵64＜80＜125
4＜＜5
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．D
【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=，由AC=AB，
解得n=
故选D．
【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点G，连接，由三角形中位线定理得到，再导角证明，据此利用勾股定理可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，取的中点G，连接，
∵E，F分别是的中点，G是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7． 5
【分析】本题主要考查了相反数、绝对值等知识点，掌握运用相反数的定义去括号的方法成为解题的关键．
分别根据相反数、绝对值的定义求解即可．
【详解】解：，．
故答案为：5，．
8．
【分析】由分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
9．
【分析】将代入方程得：，即可解得．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的根及一元一次方程的解法是解本题的关键．
10．40
【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．
本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系，熟练掌握等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系是解决问题的关键．
【详解】解：等腰三角形的一个外角为，
故其相邻的内角为，
故其只能做顶角，
故等腰三角形的底角为，
故答案为：40．
11．/
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出正八边形的内角，然后证明均是等腰直角三角形，再解直角三角形求出，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
由正方形得：，
∴均是等腰直角三角形，
∵，
∴，同理，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查菱形性质的应用，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是求出的坐标．由的坐标分别为，可得菱形边长，中求出从而可得点坐标，即可得出点坐标．
【详解】解：∵点的坐标分别为，
，
∵四边形是菱形，
，
在中，，
．
，
故答案为：．
13．94
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，圆周角定理，平行线的性质，根据题意可得，由平行线的性质得到，则，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故答案为：94．
14．
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．过点A作交与点G，H，可证明四边形均为平行四边形，，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作交与点G，H，
∵，
∴四边形均为平行四边形，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
15．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可．
【详解】解：①若，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
当时，的最大值与最小值的差为2，
，
解得：；
②若，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
当时，的最大值与最小值的差为2，
，
解得：；
综上可知，，
故答案为：．
16．年月
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁，
即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，
∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，
∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，
∵李斌比王强小个月，
∴李斌的出生年月是年月，
故答案为：年月．
17．(1)3
(2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式根据立方根的算术平方根的意义化简各项后再进行加减运算即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式把括号展开后再合并即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）；（2）2
【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键．
（1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可；
（2）根据分式方程无解的情况进行分析即可．
【详解】解：（1）
去分母得到，
解得，
当时，，
∴是分式方程的解；
（2）∵，
方程两边同时乘以，得
，
∴；
当时，无解，即关于的方程无解，
当时，，
∵原分式方程无解，
∴，
此时无解，
∴a的值是
故答案为：
19．(1)甲；乙
(2)选择甲，理由见解析
【分析】本题主要考查了条形统计图和折线统计图，中位数，
对于（1），分别观察两个统计图比较数据，再根据中位数的定义解答即可；
对于（2），根据（1）的结论判断即可．
【详解】（1）解：根据条形统计图可知
甲的销售量第1周为10台，第2周为10台，第3周为15台，第4周20台，第5周为15台；
乙的销售量第1周为5台，第2周为20台，第3周为15台，第4周15台，第5周为15台；
所以甲种洗衣液销售量比较稳定；
根据折线统计图可知甲的用户评分为6分，7分，7分，8分，9分，中位数是7分；
乙的用户评分为5分，6分，8分，8分，8分，中位数是8分，
所以乙种洗衣机用户评分中位数较高．
故答案为：甲，乙；
（2）解：甲种，理由：
因为甲种洗衣机的销售量比较稳定，且用户评分逐渐升高，说明用户比较认可，所以选择甲种．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，解题的关键是：
（1）根据三角形中位线定理得出，，可证得四边形为平行四边形，根据菱形的性质得出，然后根据平行线的性质可得出，即可证明平行四边形是矩形；
（2）当时，可证菱形是正方形，得出，根据三角形中位线定理得出，，则，然后根据正方形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：连接，，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：当时，四边形为正方形．
理由：∵，
∴菱形是正方形，
∴，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，
∴，
∴矩形为正方形．
21．（1）；（2）见解析
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解；
（2）根据(1)中的概率设计合理的方案即可．
【详解】解：（1）列表如下：
转盘① 转盘② 黄 红 蓝 黑
黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄）
黄 （黄，黄） （红，黄） （蓝，黄） （黑，黄）
红 （黄，红） （红，红） （蓝，红） （黑，红）
共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“都落在黄色区域”（记为事件A）的结果有3种，即（黄，黄）、（黄，黄），
所以．
（2）游戏可以设计为：在一个不透明的袋子中装入除颜色外均相同的六个小球，其中五个红球、一个黄球，每次随机摸出一个球，恰为黄球．
22．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，矩形的判定和性质，构造矩形，设，由等腰直角三角形的性质得出，解，求出，得出，，再由勾股定理，代入解出x，最后再根据求解即可．
【详解】解：构造如图所示矩形，
设，
在中，
∵，
∴；
在中，
∵，
∴，；
∴，
，
在中，，
∴，
解得，（舍）；
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等边对等角推出，可知，可得，即可证明是的切线；
（2）连接，可得，证明，可得，计算，即可得解.
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点D在圆上，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴或（删去），
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键.
24．(1)成立，矩形B的两边长为，，
(2)成立，见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法．
（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可；
（2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6，
设矩形B的长为x，则宽为．
根据题意列方程，得：，
∴，
解之得：，；
∴此时命题成立．
（2）解：若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．
根据题意列方程，得：，
即，
根据求根公式得：，
∵，
∴
又，
∴，
∴存在矩形B，
∴此命题成立．
25．(1)见解析；
(2)南京到上海距离，苏州到上海距离；
(3)h．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据两车都匀速行驶，到达终点的时间相同，即可画出一次函数的图象；
（2）先求出苏州到上海的距离，设南京到上海的距离为，依题意列出方程求解即可；
（3）分别求出货车从南京到镇江所用的时间和轿车从上海到镇江所用的时间，即可求解．
【详解】（1）解：两车都匀速行驶，到达终点的时间相同，
∴关于t的函数图象如图：
（2）解：苏州到上海的距离为：
，
设南京到上海的距离为，依题意得：
，
解得：，
答：南京到上海距离，苏州到上海距离；
（3）解：镇江到上海的距离为：，
货车从南京到镇江所用的时间为：，
轿车从上海到镇江所用的时间为：，
∴货车和轿车经过镇江的时间间隔为：
．
26．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是：
（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可；
（3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小，
∵，，
∴；
（3）解：当时，，
∵，
∴在的右侧，
当、 都在对称轴直线的右侧时，如图，
∵，
∴，解得；
当、 在对称轴直线的两侧时，
即关于直线的对称点为
关于直线的对称点为
∵，
∴，
解得
当、 都在对称轴直线的左侧时，
∵，
∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
与相矛盾，
∴此种情况不存在，
综上，或．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）①根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分进行画图即可；
②过点A画直线，交于点M，画直线，就是所求的直线l；
（2）连接、，证明，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出答案．
（3）第一步 取的中点D；第二步 画；第三步 过点P画，交的延长线于点I；第四步 过P、I、H三点的圆交于点J；第五步 过点P作直线，交于点K，则就是所求的直线l．
【详解】解：（1）如图①，画法：取中点D，画直线，就是所求的直线l；
如图②，画法：过点A画直线，交于点M，画直线，就是所求的直线l；
连接，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接、，
∵，
∴，，
∵，
∴．
而，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又点D是中点，，
∴，即直线平分面积．
（3）如图④
第一步 取的中点D；
第二步 画；
第三步 过点P画，交的延长线于点I；
第四步 过P、I、H三点的圆交于点J；
第五步 过点P作直线，交于点K．
则就是所求的直线l．
连接，，，，
∵，
∴，，
∵P、I、H、J四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆内接四边形，圆周角定理，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
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