1.2怎样判定三角形相似 同步练习（含答案）2025-2026学年青岛版九年级数学上册

1.2怎样判定三角形相似
一．选择题
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝8，则DE的长为(　　)
第1题图
A．2 B．3
C． D．
2．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，BC＝14．当AD∶DB＝4∶3时，BF的长是(　　)
第2题图
A．6 B．7
C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影部分的三角形与原三角形不相似的是(　　)
4．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中不能判定△APC和△ACB相似的条件是(　　)
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB
D．AC·CP＝AP·CB
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　　)
6．(2024·威海一模)某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和点S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直；接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点R．如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，那么河的宽度PQ是(　　)
A．70 m B．80 m
C．90 m D．100 m
7．如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在边AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子中一定正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
8．如图，P为线段AB上的一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC与PD交于点F，AD与PC交于点G，则下列结论中错误的是(　　)
A．△APD∽△PGD
B．△APG∽△BFP
C．△PCF∽△BCP
D．△CGE∽△CBP
二．填空题
9．(2024·大庆中考)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M．若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
10．(2024·聊城模拟)如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，AF分别交BC，CD于点F，G，∠FAE＝∠ABE，则图中相似三角形有 对．
11．(2024·烟台模拟)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 ．
12．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4 m到达B处时，测得影长BC为1 m．已知小明身高为1.6 m，他若继续往前走4 m 到达D处，此时影长DE为 ．
三．解答题
13．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，已知∠D＝∠DCE．
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，AF＝2EF，求DF的长．
14．如图，在△ABC中，点D在BC上，＝，∠BAD＝∠CAE．
(1)求证：△BAC∽△DAE；
(2)当∠B＝40°时，求∠ACE的大小．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．动点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点A出发，以 2 cm/s 的速度沿AB向终点B移动．连接PM．设移动时间为 t s(0＜t＜2.5)．
(1)AP＝ cm，AM＝ cm．(均用含t的代数式表示)
(2)当AP＝AM时，求t的值．
(3)是否存在某一时刻t，使以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由．
1.2怎样判定三角形相似
一．选择题
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝8，则DE的长为(　D　)
第1题图
A．2 B．3
C． D．
2．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，BC＝14．当AD∶DB＝4∶3时，BF的长是(　C　)
第2题图
A．6 B．7
C．8 D．9
3．如图，在△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影部分的三角形与原三角形不相似的是(　C　)
4．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中不能判定△APC和△ACB相似的条件是(　D　)
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB
D．AC·CP＝AP·CB
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　A　)
6．(2024·威海一模)某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和点S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直；接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点R．如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，那么河的宽度PQ是(　C　)
A．70 m B．80 m
C．90 m D．100 m
7．如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E在边AC上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子中一定正确的是(　C　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
8．如图，P为线段AB上的一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC与PD交于点F，AD与PC交于点G，则下列结论中错误的是(　D　)
A．△APD∽△PGD
B．△APG∽△BFP
C．△PCF∽△BCP
D．△CGE∽△CBP
二．填空题
9．(2024·大庆中考)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M．若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
10．(2024·聊城模拟)如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，AF分别交BC，CD于点F，G，∠FAE＝∠ABE，则图中相似三角形有 6 对．
11．(2024·烟台模拟)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 或2 ．
12．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4 m到达B处时，测得影长BC为1 m．已知小明身高为1.6 m，他若继续往前走4 m 到达D处，此时影长DE为 2 m．
三．解答题
13．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，已知∠D＝∠DCE．
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，AF＝2EF，求DF的长．
(1)证明：∵∠D＝∠DCE，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，CD＝AB＝6．
∴AF∶EF＝DF∶CF．
又∵AF＝2EF，
∴DF∶CF＝2∶1，即DF＝CD＝4．
14．如图，在△ABC中，点D在BC上，＝，∠BAD＝∠CAE．
(1)求证：△BAC∽△DAE；
(2)当∠B＝40°时，求∠ACE的大小．
(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．
∴∠BAC＝∠DAE．
∵＝，∴△BAC∽△DAE．
(2)解：∵＝，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
∴∠ACE＝∠B＝40°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．动点M从点C出发，以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点A出发，以 2 cm/s 的速度沿AB向终点B移动．连接PM．设移动时间为 t s(0＜t＜2.5)．
(1)AP＝ 2t cm，AM＝ (4－t) cm．(均用含t的代数式表示)
(2)当AP＝AM时，求t的值．
(3)是否存在某一时刻t，使以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)当AP＝AM时，即2t＝4－t，解得t＝．
∴当AP＝AM时，t＝．
(3)存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，
根据勾股定理，得AB＝＝＝5(cm)．
存在以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，＝，
即＝，解得t＝．
②当△APM∽△ABC时，＝，
即＝，解得t＝．
综上所述，当t＝或t＝时，以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似．
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