第1章 图形的相似 同步练习（含答案）2025-2026学年青岛版九年级数学上册

第1章图形的相似
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．如图，下列各组中的两个图形可能相似的是(　　)
A．(1)和(3) B．(3)和(4)
C．(1)和(2) D．(1)和(4)
2．如图，小东设计两个直角三角形来测量河宽DE，他量得AD＝2 m，BD＝3 m，CE＝9 m，则河宽DE为(　　)
第2题图
A．5 m B．4 m
C．6 m D．8 m
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝4，则线段BC的长是(　　)
第3题图
A．2　 B．4　
C．1　 D．
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有(　　)
A．3对 B．5对
C．6对 D．8对
5．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线．若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　　)
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶3 D．25∶9
6．在如图的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在 处，能使“马”“車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似．(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
7．如图1，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1．图2和图3 分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证＝＝＝，则下列说法正确的是(　　)
A．两个人都不正确 B．两个人都正确
C．只有明明正确 D．只有珍珍正确
8．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点D为边BC上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(　　)
A．2a B．a
C．3a D．a
9．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长扩大为原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是(　　)
第9题图
A．－2a＋3 B．－2a＋1
C．－2a＋2 D．－2a－2
10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③∠ACD＝45°．其中正确的是(　　)
第10题图
A．①②③ B．①
C．①② D．②③
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．若两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，它们的周长之和为15 cm，则较小的三角形的周长为 ．
12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验(如图1)．在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
13．如图，∠1＝∠2，要使得△ADE∽△ACB，则可添加的一个条件为 ．
14．如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．
15．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为 ．
第15题图
16．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，P是边AB的中点，Q是边BC上一动点，当BQ＝ 时，△BPQ与△BAC相似．
第16题图
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F．已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．
18．(8分)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，在网格中再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5．
19．(10分)某数学活动小组欲测量某建筑的高度MN，如图，在距MN为29 m的点B处竖立一根长为5.5 m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆的顶点A和该建筑的顶点N在同一条直线上．若DB＝2 m，DE＝1.5 m，求该建筑的高MN．
20．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，点E从点C出发，在边CA上以2 cm/s的速度移动，点D从点A出发，在边AB上以1 cm/s的速度移动．若点E，D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多长时间，△ADE与△ACB相似？
21．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE，BC的延长线相交于点F，且＝．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
22．(12分)为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但两面墙的距离只有3 m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案如下：
甲 乙
图例
方案 如图，①是测试距离为5 m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3 m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长) 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3 m 的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN
(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长为0.8 m，请计算出镜长至少为多少米．
第1章图形的相似
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．如图，下列各组中的两个图形可能相似的是(　C　)
A．(1)和(3) B．(3)和(4)
C．(1)和(2) D．(1)和(4)
2．如图，小东设计两个直角三角形来测量河宽DE，他量得AD＝2 m，BD＝3 m，CE＝9 m，则河宽DE为(　B　)
第2题图
A．5 m B．4 m
C．6 m D．8 m
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝4，则线段BC的长是(　A　)
第3题图
A．2　 B．4　
C．1　 D．
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有(　C　)
A．3对 B．5对
C．6对 D．8对
5．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线．若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　C　)
A．3∶5 B．9∶25
C．5∶3 D．25∶9
6．在如图的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在 处，能使“马”“車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似．(　B　)
A．① B．②
C．③ D．④
7．如图1，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1．图2和图3 分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证＝＝＝，则下列说法正确的是(　B　)
A．两个人都不正确 B．两个人都正确
C．只有明明正确 D．只有珍珍正确
8．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点D为边BC上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(　C　)
A．2a B．a
C．3a D．a
9．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长扩大为原来的2倍．设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是(　A　)
第9题图
A．－2a＋3 B．－2a＋1
C．－2a＋2 D．－2a－2
10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③∠ACD＝45°．其中正确的是(　C　)
第10题图
A．①②③ B．①
C．①② D．②③
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．若两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，它们的周长之和为15 cm，则较小的三角形的周长为 6_cm ．
12．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验(如图1)．在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10 cm，像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm，则蜡烛火焰的高度是 6 cm．
13．如图，∠1＝∠2，要使得△ADE∽△ACB，则可添加的一个条件为 ∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝(答案不唯一) ．
14．如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．
15．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为 (4，2) ．
第15题图
16．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，P是边AB的中点，Q是边BC上一动点，当BQ＝ 或6 时，△BPQ与△BAC相似．
第16题图
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F．已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．
解：∵b∥c，∴＝＝＝．
∴OE＝EF＝．
∵a∥c，∴＝＝＝．
∴DO＝OF＝＝．
∴DE＝DO＋OE＝＝．
18．(8分)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，在网格中再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5．
解：(1)如图，点O即为所求．
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比等于＝＝．
(3)如图，△A1B1C1即为所求．
19．(10分)某数学活动小组欲测量某建筑的高度MN，如图，在距MN为29 m的点B处竖立一根长为5.5 m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆的顶点A和该建筑的顶点N在同一条直线上．若DB＝2 m，DE＝1.5 m，求该建筑的高MN．
解：∵AC⊥EF，NF⊥EF，
∴△EAC∽△ENF．∴＝．
由题意知AB＝5.5 m，BM＝CF＝29 m，DB＝EC＝2 m，DE＝BC＝MF＝1.5 m，
∴AC＝4 m，EF＝31 m．
∴＝，解得NF＝62．
∴MN＝63.5 m．
答：该建筑的高MN为63.5 m．
20．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，点E从点C出发，在边CA上以2 cm/s的速度移动，点D从点A出发，在边AB上以1 cm/s的速度移动．若点E，D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多长时间，△ADE与△ACB相似？
解：设经过t s，△ADE与△ACB相似．
由题意，得AD＝t cm，CE＝2t cm，
∴AE＝(12－2t)cm．
∵∠A＝90°，BC＝13 cm，AC＝12 cm，
∴AB＝＝＝5(cm)．
①若△ADE∽△ACB，则有＝，
∴＝．∴t＝．
②若△ADE∽△ABC，则有＝，
∴＝．∴t＝．
综上所述，经过 s或 s，△ADE与△ACB相似．
21．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE，BC的延长线相交于点F，且＝．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
(1)证明：∵＝，∠F＝∠F，
∴△FEC∽△FBD．∴∠FEC＝∠B．
∵∠FEC＝∠AED，∴∠AED＝∠B．
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．
(2)解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝．
∴AD＝6．∴BD＝AB－AD＝12－6＝6．
22．(12分)为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但两面墙的距离只有3 m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案如下：
甲 乙
图例
方案 如图，①是测试距离为5 m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3 m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长) 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3 m 的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN
(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长为0.8 m，请计算出镜长至少为多少米．
解：(1)由题意知BC⊥AB，DF⊥AD，AD＝3 m，AB＝5 m，BC＝3.5 cm，
∴∠CBA＝∠FDA＝90°．
又∵∠CAB＝∠FAD，
∴△CAB∽△FAD．
∴＝．∴＝，
解得DF＝2.1 cm，
即小视力表中相应“E”的高是2.1 cm．
(2)如图，过点C作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E．
由题意知AB∥MN∥A′B′，CE＝5 m，
DE＝3 m，A′B′＝AB＝0.8 m．
∵MN∥A′B′，CD⊥MN，
∴CE⊥A′B′．
∵MN∥A′B′，
∴∠MNC＝∠A′B′C，
∠NMC＝∠B′A′C．
∴△MNC∽△A′B′C．
∴＝．
∵CD＝CE－DE＝2 m，
∴＝，
解得MN＝0.32．
∴镜长至少为0.32 m．
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