第一部分专题二函数、导数及其应用
第7练
数的奇偶性与周期性
【例2】若函数f(x)的定义域为R且图象关于y
[小题·精讲精练
轴对称，在[0，+∞)上是增函数，且f(一3)=0，
[例题讲坛]
则不等式f(x)<0的解是
【例1】已知函数f(x)满足f(x+3)=1一f(1
A.(-∞，-3)
x),且函数f(x十1)为偶函数，若f(1)=1,则
B.(3,十∞)
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=
C.(-3,3)
A.0
B.1012
D.(-∞，-3)U(3,+∞)
C.2024
D.3036
[思路引导]先分析不等式在[0，十∞)上的解，
[思路引导]由题意得f(x十1)=f(一x十1)，
再根据对称性得出不等式在上（一∞，0）的解
f(x)的图象关于直线x=1对称，函数的周期为
即可.
交
4,进一步f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2,由此即
[解析]因为f(x)在[0，十∞)上是增函数且
f(一3)=0，所以f(x)<0在[0，十∞)范围内的
作
可得解。
解为[0,3).
[解析]由题意函数f(x十1)为偶函数，所以
因为函数f(x)在定义域R上图象关于y轴对
业
f(x+1)=f(一x+1),f(x)的图象关于直线x
称，所以f(x)<0在（一∞，0）内的解为
=1对称，
时
(一3,0)，所以不等式f(x)<0在R内的解为
所以f(x十3)=1-f(1-x)=1-f(1十x)=1
(一3,3).故选C.
可
-[1-f(3-x)]=f(3-x)=f(x-1),
[答案]C
所以函数f(x)的周期为4，在f(x十3)=1
【规律归纳】奇偶函数对称区间上的单调性
沿
f(1一x)中，分别令x=0和1，
奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；
得f(1)十f(3)=1,f(0)十f(4)=1,即f(2)十
此
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性，
f(4)=1,
线
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2,
[小题·分层分练]
所以f(1)+f(2)十·+f(2024)=506X2=
[一层·打基础]
1012.故选B.
知识点一函数奇偶性的判断
[答案]B
1.若函数f(x=r+1)(x+a)为奇函数，则实数
【规律归纳】1.抽象函数的周期性
(1)如果f(x十a)=一f(x)(a≠0)，那么f(x)是
a=
(
周期函数，其中一个周期T=2a
A.1
B.-1
(2)知果fx十a)=aa≠0，那么fx)是周
C.2
D.-2
a2x-1,x<0
2.若函数f(.x)=
是奇函数，则实数
期函数，其中的一个周期T=2a.
x十a,x>0
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)
a=
(
是周期函数，其中的一个周期T=2a
A.0
B.-1
(4)如果f(x十a)=f(x-b),则T=|a十b.
C.1
D.士1
(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称，且关于
知识点二
函数的周期性及应用
x=b对称，则T=4a-b|.
3.已知函数y=f(x)满足y=f(一x)和y=f(x十2)
(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称，且关于
是偶函数，且f(1)=牙，设F(x)=f(x)+
(b,0)对称，则T=2a-b.
f(一x),则F(3)=
2.函数f(x)满足的关系f(a十x)=f(b一x)表
明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关
A.晋
系f(a十x)=f(b十x)(a≠b)表明的是函数的周
期性，在使用这两个关系时不要混淆.
C.π
D
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
