【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练15命题与定理、尺规作图（含解析）

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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练15
命题与定理、尺规作图
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共8小题）
（2025 成都）下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
（2025 资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN，再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD，过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（2025 吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N，（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′，再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′，（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC
（2025 天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F，②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G，③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H，④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
（2025 湖北）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．75°
（2025 眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点，②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2025 北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
（2025 辽宁）如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE．则△DAE的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
1 、多选题（本大题共1小题）
（2025 潍坊）下列命题的逆命题为真命题的是（　　）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．若|a|＞|b|，则a3＞b3
C．三角形的中位线平行于第三边
D．等腰三角形的两个底角相等
（多选）
1 、填空题（本大题共6小题）
（2025 北京）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ．
（2025 大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM＝AN．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC的距离为 　 　 ．
（2025 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（Ⅰ）线段PA的长为 　 　 ，
（Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ．
（2025 湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 　 ．
（2025 广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D，（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，（3）画射线AF交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 　 　 ．
（2025 齐齐哈尔）如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　 　 ．
1 、解答题（本大题共14小题）
（2025 青岛）已知：如图，D是∠AOB内部一点．
求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D．
（2025 甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，
AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D，
②在射线DM上截取DC＝a，
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
（2025 陕西）如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作图痕迹，不写作法）
（2025 徐州）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”，
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
（2025 宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在∠AOB的平分线上．
小明的作法如下：
如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA．OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点．
理由：如图3，连接EP、FP、OP，
由作图可知OE＝OF，PE＝PF，
又因为OP＝OP，
所以 　 　 ．
所以∠EOP＝∠FOP．
所以OP平分∠AOB．
即点P为所求点．
【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线AB平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
（2025 广元）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，2为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC交于点E，连接MC，NC．
（1）求证：∠AOC＝∠BOC，
（2）若∠AOB＝60°，求的长．
（2025 威海）（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由，
（2）如图②，已知 ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
（2025 长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形，
（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形，
（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
（2025 长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D．
（1）求∠BCD的度数，
（2）若BC＝2.5，求AD的长．
（2025 绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4．
（2025 河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
（2025 江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点，
（2）在图2中作出△ABC的重心．
（2025 山东）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数，
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
（2025 重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴③　 　
∴OP平分∠AOB．
【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练15尺规作图答案解析
1 、选择题
【考点】命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．
解：A．B、C中的命题是真命题，故A．B、C不符合题意，
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握以上知识点是解题关键．
【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的性质
【分析】由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，可得∠ABC＝2∠CBD．由平行线的性质得∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，则可得∠AED＝∠ABC＝60°．
解：由作图过程可知，射线BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AED＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
【考点】作图—基本作图，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【分析】判断出选项A，B，C正确可得结论．
解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°，
∴DB＝DC，∠BDC＝90°，
故选项A，B，C正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—基本作图，角平分线的定义
【分析】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．根据∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，进而可得∠BDM＝∠BMD，则BM＝BD，即可得出答案．
解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BM＝BD，
故D选项一定正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【分析】由MN是AB的垂直平分线，可得DA＝DB，可得∠BAD＝∠ABD＝30°，再进一步求解即可．
解：由作图可得：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠AOE＝2∠ABD＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，掌握以上性质是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的性质
【分析】由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线，可得∠BAG＝∠DAG．由平行线的性质可得∠AGB＝∠DAG，则∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，则可得CG＝BC﹣BG＝4．
解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线，
∴∠BAG＝∠DAG．
∵AD∥BC，
∴∠AGB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AGB，
∴BG＝AB＝6，
∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，则△ABC为等边三角形，可得∠ACB＝60°．证明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO，50°，则可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°．
解：连接AB，AC，BC，
由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，50°，
∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质, 全等三角形的判定和性质
【分析】根据作图可知CE⊥BD，证明△BOC≌△BOE，得到OC＝OE，BC＝BE，进而求出AE的长，得到BD垂直平分CE，得到DE＝CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC＝∠BOE＝90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC＝OE，BC＝BE＝12，
∴BD垂直平分CE，AE＝AB﹣BE＝4，
∴DE＝CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+AD+CD＝AE+AC＝14，
故选：B．
【点评】本题考查尺规作图作垂线，掌握全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质是解题的关键．
1 、多选题
【考点】命题与定理，绝对值，等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【分析】由绝对值的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，即可判断．
解：A．若a＝b，则a2＝b2，正确，故A符合题意，
B、如果a3＞b3，那么|a|不一定大于|b|，例如：a＝﹣1，b＝﹣3，满足a3＞b3，但是|a|＜|b|，故B不符合题意，
C、平行线于三角形一边的线段不一定是三角形的中位线，故C不符合题意，
D、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故D符合题意．
故选：AD．
【点评】本题考查命题与定理，绝对值，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握绝对值的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．
1 、填空题
【考点】命题与定理
【分析】根据举反例的方法找到a，b满足a2＞4b2，但是不满足a＞2b即可．
解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b，
故答案为：﹣3，1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，含30度角的直角三角形
【分析】先利用基本作图得到∠BAD＝30°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BDAB，然后根据角平分线的性质求解．
解：由作法得AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC60°＝30°，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝30°，
∴BDAB，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC的距离相等，
而点D到AB的距离为，
∴点D到AC的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和角平分线的性质．
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心, 三角形中位线的判定和性质
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可，
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段AC的中点G，利用网格确定点J为线段AQ的中点，则G，J为三角形的中位线，利用一组平行线确定点N为线段AQ的中点，证明△ABH≌△CBH和△AHQ≌△CHM，得出AQ＝CM，即CM＝2AN，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出MN⊥AQ．
解：（1）由勾股定理得，
故答案为：，
（2）如图所示，点M，N即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为M，取圆与网格线的交点D和E，连接DE，取格点F，连接AF，与DE相交于点O，连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H，连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I，连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求．
理由：∵∠DAE＝90°，
∴DE为圆的直径，
∵AF为正方形的对角线，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，
∴AF垂直平分线段DE，
∴点O为圆的圆心，
∴OA＝OC，
又∵AB＝BC，OB＝OB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∴BG 平分∠ABC，
∴点G为线段AC的中点，
由网格可知点J为线段AI的中点，
∴GJ为△ACI的中位线，
∴GJ∥CI，
∴点N为线段AQ的中点，
∴AQ＝2AN，
∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH，
∴∠QAH＝∠MCH，
又∵∠AHQ＝∠CHM，
∴△AHQ≌△CHM（ASA），
∴AQ＝CM，即CM＝2AN，
延长BH交QM于点T，
∵AB＝BC，AQ＝CM，
∴BQ＝BM，
∵∠QBH＝∠MBH，
∴BT⊥QM，
∵AM为圆的切线，
∴∠OAH＝90°，
∴∠OAB+∠QAM＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
即∠QAM+∠OBA＝90°，
∵∠OBA+∠AQM＝90°，
∴∠QAM＝∠AQM，
∴△AMQ为等腰三角形，
∴MN⊥AQ，
∴点M，N即为所求．
【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，可得点D为AB的中点，进而可得DE为△ABC的中位线，则DE3．
解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点．
∵点E是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE3．
故答案为：3．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理是解答本题的关键．
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】连接AD，由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，可得∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE，进而可得∠BAD＝∠B，则AD＝BD＝13，CD＝BC﹣BD＝10，DE5，再由勾股定理得AE12．
解：连接AD，
由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD＝13．
∵BC＝23，BD＝13，
∴CD＝BC﹣BD＝10，
∴DE5，
∴AE12．
故答案为：12．
【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【分析】设MN交AC于点O，由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，可得点O为AC的中点，∠CON＝90°，进而可得ON为△ABC的中位线，可得ON∥AB，则∠CAB＝∠CON＝90°，再根据勾股定理可得AC．
解：设MN交AC于点O，
由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴点O为AC的中点，∠CON＝90°．
∵点N为BC的中点，
∴ON为△ABC的中位线，
∴ON∥AB，
∴∠CAB＝∠CON＝90°．
∵BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∴AC．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1 、解答题
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的判定与性质
【分析】以O为圆心，任意长为半径作分别交OA，OB于点M，F，连接MF，OD交于点G，作∠TDO＝∠OGM，直线DT交OA，OB于点C，点E，△COE即为所求．
解：如图，△COE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形．
【考点】作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，垂径定理的应用
【分析】根据作图步骤作图即可．
解：如图3所示．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、垂径定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—复杂作图，平行线的性质
【分析】先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，则点P即为所求．
解：如图，先作∠AOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线OD于点P，
∴25°，
∴∠AOP＝25°，CP∥OB，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—应用与设计作图，确定圆的条件，垂径定理
【分析】（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案，
（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧．
解：（1）如图，连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦即可，
若将图中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”，
故答案为：七，
（2）如图所示，先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心即可，
【点评】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识，掌握以上知识点是解题的关键．
【考点】作图—复杂作图
【分析】[任务阅读]根据作图可知，作图可知OE＝OF，PE＝PF，又OP＝OP，所以△OEP≌△OFP（SSS），然后通过全等三角形性质即可求证，
[实践操作]作∠CPD＝∠PAB即可，然后通过同位角相等两直线平行即可求证．
解：[任务阅读]理由：如图3，
连接EP、FP、OP，由作图可知OE＝OF，PE＝PF，
又∵OP＝OP，
∴△OEP≌△OFP（SSS），
∴OP平分∠AOB，
即点P为所求点，
故答案为：△OEP≌△OFP（SSS），
[实践操作]如图4，作∠CPQ＝∠PAB即可，
理由，由作图可知，∠CPQ＝∠PAB，
∴PQ∥AB，
∴点Q为所求．
【点评】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，角平分线的定义，弧长的计算
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可，
（2）利用弧长公式求解．
（1）证明：在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
（2）∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC60°＝30°，
∴的长．
【点评】本题考查作图﹣角平分线的定义，弧长公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【考点】作图—复杂作图，翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质
【分析】（1）结论：四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可，
（2）分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求．
解：（1）结论：四边形EFGH是矩形．
理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG，
∵∠AFB＝180°，
∴2∠EFK+2∠KFG＝180°，
∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°，
同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
（2）如图，分别以点D、C为圆心，大于DC为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC，交于点Q，以点O为中心，OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作．连接MQ交于点P，连接MNPQ即为题目所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
【考点】作图—应用与设计作图，等腰直角三角形的定义
【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可，
（2）根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可，
（3）作一个腰为的等腰直角三角形即可．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求，
（2）如图②中，△ABC即为所求，
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【考点】作图—基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义即可解决问题，
（2）根据三角形内角和定理证明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．进而可以解决问题．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，
∴，
（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，
∴∠BDC＝∠B，
∴CD＝CB，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝2.5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【考点】作图—复杂作图，垂径定理，相交两圆的性质，扇形面积的计算
【分析】（1）作OP平分∠MON即可，
（2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求．
解：（1）如图，射线OP即为所求，
（2）如图2中，弧CD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【考点】作图—复杂作图，平行四边形的判定与性质
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，垂足为O，点O即为所求，
（2）证明AE＝CO，AE∥CO即可．
（1）解：如图，点O即为所求，
（2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，O是BC的中点，
∵AE＝DE＝OC＝OB，
∵AE∥OC，
∴四边形AOCE是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【考点】作图—应用与设计作图，三角形的重心，线段垂直平分线的性质
【分析】（1）利用网格直接画图即可．
（2）结合三角形的重心的定义，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所求．
解：（1）如图1，点D即为所求．
（2）如图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，
则点O即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求∠ADC的度数，
（2）连接CF，由作图过程可得MN是CD的垂直平分线，所以FC＝FD，证明△CDF是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出DF．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°，
如图2，连接CF，
由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD，
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD2，
∴DF＝AD＝2．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【考点】作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质
【分析】根据要求作出图形，利用HL证明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可．
解：图形如图所示：
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB．
故答案为：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，
【点评】不能太空舱作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
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