第2课时 共线向量与共面向量
学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件.3.会证明空间三点共线、四点共面.
一、空间向量共线的充要条件
问题1 平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
知识梳理
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
2. 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
例1 (1)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立.
(2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＋λ(λ∈R)；
③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
跟踪训练1 满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A. B.
C. D.||＝||
二、空间向量共面的充要条件
问题2 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
问题3 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？
知识梳理
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使 .
例2 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
反思感悟 向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1).
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
跟踪训练2 (1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且＝m，则m的值为( )
A.－1 B.2 C.－2 D.－3
(2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面.
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)空间向量共线的充要条件.
(3)空间向量共面的充要条件.
(4)三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳：转化化归、类比.
3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
2.(多选)下列命题中正确的是( )
A.空间任意两个向量共面
B.向量a，b，c共面即它们所在直线共面
C.若两个非零空间向量与满足＝0，则∥
D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
3.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3
B.
C.＝0
D.＝0
4.已知点M在平面ABC内，并且对空间中任意一点O，有＝x，则x的值为 .
答案精析
问题1 对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
知识梳理
1.a=λb
2.方向向量
例1 (1)C [充分性：若α+β=1，
则-=β(-)，
即=β，显然，A，B，C三点共线；
必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ，
故-=λ(-)，
整理得=(1+λ)-λ，
令α=1+λ，β=-λ，则α+β=1.
故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件.]
(2)解 方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴=-
=+)-+)
=-)=-)
=.
∴∥，即与共线.
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴=++
=++. ①
又∵=+++
=-+--， ②
①+②得2=，
∴∥，即与共线.
跟踪训练1 C [对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，
都有+=，选项A错误；
若-=，
则+=，
而+=，
据此可知=，
即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误；
若=，则A，B，C三点共线，选项C正确；
若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.]
问题2 不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.
问题3 如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb.
知识梳理
1.平行于平面α 在平面α内
2.唯一 p=xa+yb
例2 证明 设=a，=b，=c，则=b-a，
∵M为线段DD1的中点，
∴=c-a，
又∵AN∶NC=2∶1，
∴==(b+c)，
∴=-=(b+c)-a
=(b-a)+
=+，
∴，，为共面向量.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
跟踪训练2 (1)C [由=-=m++，
得=m+2+，
∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
∴m+2+1=1，∴m=-2.]
(2)证明 因为M在BD上，
且BM=BD，
所以==+.
同理=+.
所以=++
=++
=+
=+.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.
随堂演练
1.A [由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量.]
2.AC [空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间中三个向量共面是指能平移到同一平面内，而不是指它们所在的直线在同一平面内，B错误；
∵+=0，∴=-，
∴∥ ，C正确；
若a∥b，当b=0，a≠0时，不存在实数λ，使a=λb，D错误.]
3.AC [A选项中，3-1-1=1，四点共面；C选项中，=--，
∴点M，A，B，C共面.]
4.
解析 ∵=x++
=x+-)+
=++，
且M，A，B，C四点共面，
∴++=1，∴x=.作业2 共线向量与共面向量
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.d1，d2都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是
A.d1∥d2 B.d1＝d2
C.d1与d2同向 D.d1与d2反向
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是
A. B.
C. D.
4.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且－x，则实数x的值为
A. B.－ C. D.－
6.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝ .
7.(14分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在A1C上，且.求证：E，F，B三点共线.
8.(15分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面.
9.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①＝2＋μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么使①②成立的μ与λ＋m＋n的值分别为
A.1，－1 B.－1，0
C.0，1 D.0，0
10.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足＋x＋y＝2x＋y，则x＋3y等于
A. B. C. D.
11. (多选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则
A.当λ＝1时，点P在棱BB1上
B.当μ＝1时，点P在棱B1C1上
C.当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上
D.当λ＝μ时，点P在线段BC1上
12.已知三棱锥P－ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－，则三棱锥A－MBC的体积是 .
答案精析
1.A [根据直线的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2.]
2.A [∵＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线.]
3.C [由正方体的性质可得，
，由图形(图略)易知共面.]
4.A [因为m＋n＝1，
所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即＝n()，
即＝n，
所以与共线.
又有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈直线AB.]
5.A [－x
＝－x)
＝－x.
又∵P是空间中任意一点，
A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.]
6.－8
解析 由已知得
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R，
使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴∴k＝－8.
7.证明 设＝a，＝b，＝c.
因为＝2，
所以，
所以b，
)
＝)
＝a＋b－c，
所以a－b－c＝.
又
＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以，所以∥.
又与有公共点E，
所以E，F，B三点共线.
8.证明 令＝a，
＝b，＝c.
因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，
所以b－a，
a＋c，
＝－a＋b＋c.
设＝λ＋μ，
则－a＋b＋c
＝λ＋μ
＝(μ－λ)a＋λb＋μc，
所以解得
所以＝2，
所以向量共面.
又向量过同一点M，
所以M，N，P，Q四点共面.
9.B [∵A，B，C三点共线，
＝2＋μ，
∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
又由λ＋m＋n＝0，
得＝－，
由A，B，C三点共线知，
－＝1，
则λ＋m＋n＝0.]
10.B [由点A，B，C，D四点共面得
x＋y＝， ①
又由点B，C，D，E四点共面得
2x＋y＝， ②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以x＋3y＝.]
11.BCD [当λ＝1时，
＋μ，所以＝μ，
则∥ ，即点P在棱CC1上，故A错误；
同理当μ＝1时，则∥ ，故点P在棱B1C1上，故B正确；
当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，
所以＝λ＋(1－λ)，
即＝λ，故点P在线段B1C上，故C正确；
当λ＝μ时，＝λ()＝λ，故点P在线段BC1上，故D正确.]
12.9
解析 因为＝－，
则15＝－＋3＋4，
即15＝－＋3＋3＋4＋4，
即9＝－＋3＋4，
所以＝－，
因为－＝1，
则在平面ABC内存在一点D，
使得＝－成立，
即，所以，
即，则，
又三棱锥P－ABC的体积为15，
则VA－MBC＝VP－ABC＝×15＝9.(共70张PPT)
第1课时
第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
<<<
空间向量及其线性运算
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算(重点).
学习目标
你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
导 语
一、空间向量的有关概念
二、空间向量的加减运算
课时对点练
三、空间向量的数乘运算
随堂演练
内容索引
空间向量的有关概念
一
提示 平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
问题1
1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 .
空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的____表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为 或 .
大小
方向
长度
模
长度
|a|
||
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为___
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间， 且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
模为1
相等
-a
互相平行或重合
平行
∥
相同
相等
同向
等长
相反
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)空间向量不能比较大小.
(4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c.
注 意 点
<<<
(1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
√
例 1
A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
解析
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有
C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
√
√
A为假命题，根据向量相等的定义知，
两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，
而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，在正方体ABCD-A1B1C1D1中的方向相同，模也相等，；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，向量平行不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行.
解析
空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反
思
感
悟
(多选)下列说法错误的是
A.空间任意两个向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
跟踪训练 1
√
√
√
对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小；
对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段；
对于选项D，两个向量不相等，
它们的模可能相等.
解析
二
空间向量的加减运算
提示 共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？
问题2
空间向量的加法、减法运算及运算律
加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和
图形叙述
平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，________
_____为和
图形叙述
首指向尾
共起点对
角线
减法 运算 几何意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量
图形叙述
运算律 交换律 a+b=____ 结合律 (a+b)+c=________ 被减
a+(b+c)
b+a
(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即+++…+.
(3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即+++…+=0.
(4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
注 意 点
<<<
(1)(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是
A.-- B.+-
C.-- D.-+
√
例 2
√
A中---；
B中+-+；
C中----=≠；
D中-+++=+≠.
解析
(2)对于空间中的非零向量其中一定不成立的是
A.+
B.-
C.||+||=||
D.||-||=||
√
根据空间向量的加减法运算，
对于A+恒成立；
对于C，当方向相同时，有||+||=||；
对于D，当方向相同且||≥||时，有||-||=||；
对于B，由向量减法可知-又为非零向量，所以B一定不成立.
解析
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
反
思
感
悟
如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)+-；
跟踪训练 2
+-+++如图中向量.
解
(2)--.
如图，连接GF，
因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，
所以
所以--++++如图中向量.
解
空间向量的数乘运算
三
空间向量的数乘运算及运算律
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向_____ λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与向量a的方向_____ λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=______ 分配律 (λ+μ)a= ，λ(a+b)=_______ 相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
(1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
注 意 点
<<<
(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n
√
例 3
m(a-b)=ma-mb，A对；
(m-n)a=ma-na，B对；
若m=0，则a，b不一定相等，C错；
若a=0，则m，n不一定相等，D错.
解析
√
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a=b=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；
∵P是C1D1的中点，
∴++=a++=a+c+=a+b+c.
解
②；
∵N是BC的中点，
∴++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
解
③.
∵M是AA1的中点，
∴++=-a+a+b+c.
解
本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量.
延伸探究 1
因为P，N分别是C1D1，BC的中点，
所以++
=+(-)+
=-a+b-c.
解
在本例(2)的条件下，化简a-b-c，并将化简得到的向量用图形中的点来表示.
延伸探究 2
a-b-c=--
=-
=-(+)=-.
解
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
√
√
√
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
解析
1
2
3
4
2.化简-+所得的结果是
A. B. C.0 D.
√
-++
=-=0.
解析
1
2
3
4
3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于
A. B.3
C.3 D.2
√
-+-(-)=-++2=3.
解析
1
2
3
4
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若
+x+y则x= ，y= .
-
-
由图可知-=-+)
=--
所以x=y=-.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 D C C A ABC BCD
题号 10 11 12 答案 A AD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由题意知，AA1＝1，所以向量，，，，，，，，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
(2)易知A1D＝，
所以模为的向量有，，，，，，，.
(3)根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为，，，.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵＝
＝－＝－)＝－)
＝－)
＝，
又＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
基础巩固
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是
A.a=b B.a+b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|=3
√
向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.=的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D.在四边形ABCD中，一定有+=
√
答案
1
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12
对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于B，=的充要条件是||=||，且同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
对于D，满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误.
解析
答案
1
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11
12
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a，=b，=c，则等于
A.a+b-c B.a-b+c
C.b-a-c D.b-a+c
√
=-=--，
∵==c，∴=b-a-c.
解析
答案
1
2
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12
4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
√
∵+=+，
∴=.
∴∥且||=||.
∴四边形ABCD为平行四边形.
解析
答案
1
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5.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有
A.-=
B.=++
C.=
D.+++=
√
答案
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√
√
答案
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12
作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图，可得-=+=，故A正确；
++=++=，故B正确；
C显然正确；
+++=+=，
故D不正确.
解析
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知=a，=b，
=c，用a，b，c表示，则= .
答案
1
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-a-b+c
答案
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∵=++=--+，
又∵M是AA1的中点，∴=，
∴=--+，
∵=a，=b，=c，
∴=-a-b+c.
解析
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个？
答案
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12
由题意知，AA1=1，所以向量，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
解
(2)写出模为 的所有向量；
答案
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易知A1D==，
所以模为.
解
(3)试写出的所有相反向量.
答案
1
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12
根据相反向量的定义，可得向量.
解
8.如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若=+
x+y，求x，y的值.
答案
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答案
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∵=++
=-+--
=-+=-++)
=-++)
=-++-)
=+-，
又=+x+y，
∴x=，y=-.
解
9.(多选)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有
A.+与+是一对相等向量
B.-与-是一对相等向量
C.+++与+++是一对相反向量
D.-与-是一对相反向量
答案
1
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综合运用
√
√
√
答案
1
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如图所示， =-=-，
所以+=-(+)，是一对相反向量，A错误；
-=-==，故是一对相等向量，B正确；
又=-=-，
所以+++
=-(+++)，
是一对相反向量，C正确；
-=-==-，所以是一对相反向量，D正确.
解析
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且++)=
λ，则λ= .
答案
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答案
1
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11
12
如图，因为O为AC1与A1C的交点，
所以O为AC1的中点，
所以=2，
则++)
==，
故λ=.
解
11.在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且=，记=x+y+z，则(x，y，z)等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
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能力提升
答案
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12
连接OE，OF(图略)，
因为=，E，F分别是AB，BC的中点，
所以=+=+
=+-)=+
=×+)+×+)
=++，
故(x，y，z)=.
解析
12.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设=a，=b，=c，则下列选项正确的为
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
√
答案
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√
答案
1
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因为P是CA1的中点，所以=+)=++)=(a+b+c)，故A正确，B错误；
因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，所以=+=+
=+-)=+=+)+=a+b+c，故C错误，D正确.
解析
第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
<<<作业1 空间向量及其线性运算
分值：80分
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
2.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B.的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D.在四边形ABCD中，一定有
3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于
A.a＋b－c
B.a－b＋c
C.b－a－c
D.b－a＋c
4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
5.(多选)已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，则下列选项中正确的有
A.
B.
C.
D.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝ .
7.(13分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个？(4分)
(2)写出模为 的所有向量；(4分)
(3)试写出的所有相反向量.(5分)
8.(14分)如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＋x＋y，求x，y的值.
9.(多选)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有
A.与是一对相等向量
B.与是一对相等向量
C.与是一对相反向量
D.与是一对相反向量
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且)＝λ，则λ＝ .
11. 在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且，记＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于
A. B.
C. D.
12. (多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，则下列选项正确的为
A.(a＋b＋c)
B.(a＋2b＋c)
C.a＋b＋c
D.a＋b＋c
答案精析
1.D [向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反.]
2.C [对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于B，的充要条件是||＝||，且同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误.]
3.C [ ，
∵＝c，
∴＝b－a－c.]
4.A [∵，
∴.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形.]
5.ABC [作出平行六面体ABCD－A'B'C'D'的图象如图，可得，故A正确；
，故B正确；C显然正确；
，故D不正确.]
6.－a－b＋c
解析 ∵＝－，
又∵M是AA1的中点，
∴，
∴＝－，
∵＝a，＝b，＝c，
∴＝－a－b＋c.
7.解 (1)由题意知，AA1＝1，所以向量，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
(2)易知A1D＝，
所以模为的向量有.
(3)根据相反向量的定义，可得向量的所有相反向量为.
8.解 ∵
＝
＝－＝－)
＝－)
＝－)
＝，
又＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
9.BCD [如图所示， ＝－，
＝－，
所以
＝－()，是一对相反向量，A错误；
，而，故是一对相等向量，B正确；
又＝－＝－，
所以
＝－()，
是一对相反向量，C正确；
，
＝－，
所以是一对相反向量，D正确.]
10.
解析 如图，因为O为AC1与A1C的交点，所以O为AC1的中点，
所以＝2，
则)＝，故λ＝.
11.A [连接OE，OF(图略)，
因为，E，F分别是AB，BC的中点，
所以
＝)＝
＝×)＋×)＝，
故(x，y，z)＝.]
12.AD [因为P是CA1的中点，
所以)＝)＝(a＋b＋c)，故A正确，B错误；
因为点Q在CA1上，
且CQ∶QA1＝4∶1，
所以
＝)
＝)＋a＋b＋c，故C错误，D正确.]1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算.
一、空间向量的有关概念
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
知识梳理
1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 .
空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作其模记为 或 .
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有=
C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
跟踪训练1 (多选)下列说法错误的是( )
A.空间任意两个向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
二、空间向量的加减运算
问题2 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？
知识梳理 空间向量的加法、减法运算及运算律
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接， 为和
图形叙述
平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形， 为和
图形叙述
减法 运算 几何 意义 语言叙述 共起点，连终点，方向指向 向量
图形叙述
运算 律 交换律 a+b=
结合律 (a+b)+c=
例2 (1)(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
A.--
B.+-
C.--
D.-+
(2)对于空间中的非零向量其中一定不成立的是( )
A.+=
B.-=
C.||+||=||
D.||-||=||
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)+-；(2)--.
三、空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算及运算律
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 (a≠0) λ>0 λa与向量a的方向 λa的长度是a的长度的 倍
λ<0 λa与向量a的方向
λ=0 λa=0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)=
分配律 (λ+μ)a= ， λ(a+b)=
例3 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是( )
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb，则a=b
D.若ma=na，则m=n
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a=b=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③.
延伸探究1 本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量.
延伸探究2 在本例(2)的条件下，化简a-b-c，并将化简得到的向量用图形中的点来表示.
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质.
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量.
1.(多选)下列命题中，真命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.化简-+所得的结果是( )
A. B. C.0 D.
3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于( )
A. B.3
C.3 D.2
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若=+x+y则x= ，y= .
答案精析
问题1 平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
知识梳理
1.大小 方向 长度 模 长度 |a| ||
2.零向量 模为1 相等 相反 -a
互相平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长
例1 (1)D (2)BC
跟踪训练1 BCD
问题2 共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
知识梳理
首指向尾 共起点对角线 被减
b+a a+(b+c)
例2 (1)AB [A中，--=-=；
B中，+-=+=；
C中，--=-
=-=≠；
D中，-+
=++=+≠.]
(2)B [根据空间向量的加减法运算，
对于A，+=恒成立；
对于C，当方向相同时，
有||+||=||；
对于D，当方向相同且
||≥||时，有||-||=||；
对于B，由向量减法可知
-=，又为非零向量，所以B一定不成立.]
跟踪训练2 解 (1)+-=++=+=，如图中向量.
(2)如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，所以==，
所以--=++=++=，如图中向量.
知识梳理
相同 相反 |λ| (λμ)a λa+μa
λa+λb
例3 (1)AB
(2)解 ①∵P是C1D1的中点，
∴=++
=a++=a+c+
=a+b+c.
②∵N是BC的中点，
∴=++
=-a+b+=-a+b+
=-a+b+c.
③∵M是AA1的中点，
∴=+=+
=-a+
=a+b+c.
延伸探究1 解 因为P，N分别是C1D1，BC的中点，
所以=++
=+(-)+
=-a+b-c.
延伸探究2 解 a-b-c
=--
=-
=-(+)=-=.
随堂演练
1.ABC 2.C 3.B 4.- -(共69张PPT)
第2课时
第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
<<<
共线向量与共面向量
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).
3.会证明空间三点共线、四点共面(难点).
学习目标
我们知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下.
导 语
一、空间向量共线的充要条件
二、空间向量共面的充要条件
课时对点练
随堂演练
内容索引
空间向量共线的充要条件
一
提示 对平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
问题1
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得=λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
a=λb
方向向量
(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
(2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.
(3)直线的方向向量一定是非零向量.
注 意 点
<<<
(1)若P，A，B，C为空间不重合的四点，且有=α+β则α+β=1是A，B，C三点共线的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
例 1
充分性：若α+β=1，
则-=β(-)，
即=β显然，A，B，C三点共线；
必要性：若A，B，C三点共线，则有=λ
故-=λ(-)，
整理得=(1+λ)-λ
令α=1+λ，β=-λ，则α+β=1.
故α+β=1是A，B，C三点共线的充要条件.
解析
(2)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴-
=+)-+)
=-)=-)=.
∴∥即共线.
解
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴++
=++. ①
又∵+++
=-+-- ②
①+②得2
∴∥即共线.
解
向量共线的判定及应用
(1)判定或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立.
(2)判定或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：
①=λ(λ∈R)；
②对空间任一点O+λ(λ∈R)；
③对空间任一点O=x+y(x+y=1).
反
思
感
悟
满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.+ B.-
C. D.||=||
跟踪训练 1
√
对于空间中的任意向量，根据向量加法运算法则，
都有+选项A错误；
若-则+
而+据此可知
即B，C两点重合，这与已知条件矛盾，选项B错误；
若则A，B，C三点共线，选项C正确；
若||=||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.
解析
二
空间向量共面的充要条件
提示 不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面.
空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
问题2
提示 如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p=xa+yb.
对两个不共线的空间向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p=xa+yb？
问题3
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA______
______或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)，使_________.
平行于
平面α
在平面α内
唯一
p=xa+yb
(1)向量共面的充要条件中，向量a，b不共线.
(2)向量共面的充要条件的作用：
①判断向量共面；
②判断四点共面.
注 意 点
<<<
(课本例1) 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使====k.求证：E，F，G，H 四点共面.
例 2
因为====k，
所以=k=k=k=k.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以=+
因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-)
=-+-=+.
由向量共面的充要条件可知共面，
又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面.
证明
如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
例 2
设=a=b=c，
则=b-a，
∵M为线段DD1的中点，
∴=c-a，
又∵AN∶NC=2∶1，
∴(b+c)，
证明
∴-(b+c)-a
=(b-a)+
=+
∴为共面向量.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
证明
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y；
②对于空间任意一点O=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
反
思
感
悟
(1)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m++则m的值为
A.-1 B.2 C.-2 D.-3
跟踪训练 2
由-=m++
得=m+2+
∵O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
∴m+2+1=1，∴m=-2.
解析
√
(2)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证：向量共面.
因为M在BD上，且BM=BD，
所以+.
同理+.
所以++
=++
=++.
又共面.
证明
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)空间向量共线的充要条件.
(3)空间向量共面的充要条件.
(4)三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳：转化化归、类比.
3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
√
由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a-b为共面向量.
解析
1
2
3
4
2.(多选)下列命题中正确的是
A.空间任意两个向量共面
B.向量a，b，c共面即它们所在直线共面
C.若两个非零空间向量与满足＝0，则//
D.若a//b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
√
√
1
2
3
4
空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间中三个向量共面是指能平移到同一平面内，而不是指它们所在的直线在同一平面内，B错误；
∵+=0，∴=-，
∴//，C正确；
若a//b，当b=0，a≠0时，不存在实数λ，使a=λb，D错误.
解析
1
2
3
4
3.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是
A.=3-- B.++
C.++=0 D.+++=0
√
A选项中，3-1-1=1，四点共面；
C选项中=--
∴点M，A，B，C共面.
解析
√
1
2
3
4
4.已知点M在平面ABC内，并且对空间中任意一点O，有＝x，则x的值为 .
∵=x++=x+-)+
=++，
且M，A，B，C四点共面，
∴++=1，∴x=.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 A A C A A -8 B B
题号 11 12 答案 BCD 9
对一对
答案
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7.
答案
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12
设=a，=b，=c.
因为=2，，
所以，，
所以b，
)=)=a+b-c，
7.
答案
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12
所以a-b-c=.
又
=-b-c+a=a-b-c，
所以，所以∥.
又与有公共点E，
所以E，F，B三点共线.
8.
答案
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12
令=a，=b，=c.
因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，
所以b-a，
a+c，
=-a+b+c.
8.
答案
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11
12
设=λ+μ，
则-a+b+c=λ+μ
=(μ-λ)a+λb+μc，
所以解得
8.
答案
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12
所以=2，
所以向量，，共面.
又向量，，过同一点M，
所以M，N，P，Q四点共面.
基础巩固
1.d1，d2都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是
A.d1∥d2 B.d1=d2
C.d1与d2同向 D.d1与d2反向
√
根据直线的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2.
解析
答案
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12
2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
√
答案
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12
∵=+=2a+4b=2，
∴A，B，D三点共线.
解析
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
答案
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12
由正方体的性质可得，=共面.
解析
4.若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
√
答案
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12
答案
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11
12
因为m+n=1，
所以m=1-n，
所以=(1-n)+n，
即-=n(-)，
即=n，
所以共线.
又有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈直线AB.
解析
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且=-x+，则实数x的值为
A. B.-
C. D.-
√
答案
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12
答案
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10
11
12
=-x+
=-x+-)
=-x-.
又∵P是空间中任意一点，
A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，
但四点共面，
∴-x-=1，解得x=.
解析
6.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，
=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k= .
答案
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-8
答案
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12
由已知得=-
=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2，
∵A，B，D三点共线，
∴共线，即存在λ∈R，
使得=λ.
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴∴k=-8.
解析
7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且=2，点F在A1C上，且=.求证：E，F，B三点共线.
答案
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6
7
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11
12
答案
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2
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6
7
8
9
10
11
12
设=a，=b，=c.
因为=2=，
所以==，
所以==b，
=-)=+-)=a+b-c，
所以=-=a-b-c=.
证明
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
又=++=-b-c+a
=a-b-c，
所以=∥.
又有公共点E，
所以E，F，B三点共线.
证明
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面.
答案
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11
12
答案
1
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6
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9
10
11
12
令=a，=b，=c.
因为M，N，P，Q均为所在棱的中点，
所以=-=b-a，
=+=a+c，
=++=-a+b+c.
设=λ+μ，
则-a+b+c=λ+μ=(μ-λ)a+λb+μc，
证明
答案
1
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11
12
所以
所以=2+，
所以向量共面.
又向量过同一点M，
所以M，N，P，Q四点共面.
证明
9.已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为
A.1，-1 B.-1，0
C.0，1 D.0，0
答案
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10
11
12
√
综合运用
答案
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12
∵A，B，C三点共线，=2+μ，
∴2+μ=1，∴μ=-1，
又由λ+m+n=0，
得=--，
由A，B，C三点共线知，--=1，
则λ+m+n=0.
解析
10.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中任意三点不共线，O为空间一点，满足=+x+y，=2x++y，则x+3y等于
A. B.
C. D.
答案
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12
√
答案
1
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5
6
7
8
9
10
11
12
由点A，B，C，D四点共面得x+y=， ①
又由点B，C，D，E四点共面得2x+y=， ②
联立①②，解得x=，y=，
所以x+3y=.
解析
11.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足=λ+μ，λ，μ∈[0，1]，则
A.当λ=1时，点P在棱BB1上
B.当μ=1时，点P在棱B1C1上
C.当λ+μ=1时，点P在线段B1C上
D.当λ=μ时，点P在线段BC1上
√
答案
1
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11
12
√
√
能力提升
答案
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11
12
当λ=1时，=+μ=μ∥ ，即点P在棱CC1上，故A错误；
同理当μ=1时，则∥ ，故点P在棱B1C1上，故B正确；
当λ+μ=1时，μ=1-λ，所以=λ+(1-λ)=λ，故点P在线段B1C上，故C正确；
当λ=μ时，=λ(+)=λ，故点P在线段BC1上，故D正确.
解析
12.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，=-++
，则三棱锥A-MBC的体积是 .
答案
1
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11
12
9
答案
1
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10
11
12
因为=-++，
则15=-+3+4，
即15=--+3+3+4+4，
即9=-+3+4，
所以=-++，
因为-++=1，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
则在平面ABC内存在一点D，
使得=-++成立，
即=，所以=，
即=，则=，
又三棱锥P-ABC的体积为15，
则VA-MBC=VP-ABC=×15=9.
解析
第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算
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