1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标 1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角.
一、空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围
向量 垂直 如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ .
(2)运算律
数乘向量与数量 积的结合律 (λa)·b＝ ，λ∈R
交换律 a·b＝
分配律 (a＋b)·c＝
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝ ，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
例1 已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为( )
A.－b B.b
C.b D.－b
例2 如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.
延伸探究1 与的夹角等于( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
延伸探究2 若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；②·；③·.
延伸探究3 记＝a，＝b，＝c.若＝2a－2b，＝b－c，则·＝ .
反思感悟 (1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
二、空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b .
(3)当a，b同向时，a·b＝ ；
当a，b反向时，a·b＝ .
(4)a·a＝ 或|a|＝ .
(5)|a·b|≤ .
(6)cos θ＝.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
例3 如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记＝a，＝b，＝c.
延伸探究4 |a－b＋2c|等于( )
A.5 B.6
C. D.
延伸探究5 若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
延伸探究6 在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
延伸探究7 证明：异面直线AB与CD 垂直.
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量.
(2)空间向量数量积的性质及运算律.
(3)空间向量的垂直.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n的值为( )
A.7 B.－20 C.28 D.11
3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线所成的角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为，则＝ .
答案精析
知识梳理
1.∠AOB 0≤〈a，b〉≤π a⊥b
2.(1)|a||b|cos〈a，b〉 0
(2)λ(a·b) b·a a·c+b·c
3.(1)|a|cos〈a，b〉
例1 D [a在b上的投影向量为
|a|cos〈a，b〉·
=×·
=-·=-b.]
例2 延伸探究1 D [〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°.]
延伸探究2 解 ①·
=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 60°=.
②·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 0°=.
③·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 120°=-.
延伸探究3 -1
解析 由题意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=，同理b·c=c·a=，
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
知识梳理
(1)cos θ (2)a·b=0
(3) -
(4)|a|2 (5)
例3 延伸探究4 C [由题意，得
a·b=b·c=a·c=，
a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|==
=
=.]
延伸探究5 解 =++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=，
所以||=，
即E，G间的距离为.
延伸探究6 解 由延伸探究5知，
=-a+b+c，||=，
又=-=c-a，
所以·=(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×
=，又||=1，
则cos〈·〉===.
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为.
延伸探究7 证明 =-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥，所以AB⊥CD.
随堂演练
1.AD
2.C [因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，
所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.
因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k，
所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)
=40|j|2-12|k|2=40-12=28.]
3.B [设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ==-，
所以θ=120°，
则两个方向向量对应的直线所成的角为180°-120°=60°.]
4.
解析 =
=
==.作业4 空间向量基本定理
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.若a，b，c构成空间的一个基底，则
A.b－c，b＋c，a不共面
B.b＋c，b－2c，3c不共面
C.b＋c，2a，a＋b＋c不共面
D.b＋c，b－c，2b不共面
2.在正四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，等于
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
3.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
4. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，，点N为B1B的中点，则||等于
A. B. C. D.
5.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是
A.a－b＋c B.＝a＋b＋c
C.||＝ D.cos〈〉＝
6. 如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{}为空间的一个基底，则＝ .
7.(14分)如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.
8.(15分)如图，已知在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点.
(1)求证：CE⊥A'D；(7分)
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(8分)
9.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于
A. B. C. D.
10.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为 .
11. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则等于
A. B. C. D.
12. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，E，F分别为PB，PC上的点，且＝2，则||等于
A.1 B. C.2 D.
答案精析
1.A [对于A，不存在实数λ，μ，使得b－c＝λ(b＋c)＋μa，故A正确；对于B，3c＝(b＋c)－(b－2c)，故B错误；对于C，2a＝2(a＋b＋c)－2(b＋c)，故C错误；对于D，2b＝(b＋c)＋(b－c)，故D错误.]
2.D [
＝)
＝)，
所以a＋b＋c.]
3.C [如图，设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b＋c，
所以·＝(a＋b＋c)·b＝1，
||＝2，||＝1，
所以cos〈〉＝，
所以异面直线l，m所成的角等于60°.]
4.A [设＝a，＝b，＝c，
则{a，b，c}构成空间的一个正交基底.
∵
＝a＋(a＋b＋c)
＝a＋c－b，
∴||＝
＝.]
5.BD [)＝b－a＋c，A错误；
＝a＋b＋c，B正确；
＝a＋b＋c，
则||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6，
则||＝，C错误；
·＝a·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c＝2，则cos〈〉＝，D正确.]
6.－
解析 连接AG并延长交BC于点M，连接AE(图略)，
则
＝)－×)＝－.
7.解 因为
＝)
＝
＝×)
＝(a＋b＋c)，
又×)＝(b＋c)，
所以(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
8.(1)证明 设＝a，＝b，
＝c，
根据题意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
所以＝b＋c，
＝－c＋b－a.
所以·＝－c2＋b2＝0，
所以⊥，
即CE⊥A'D.
(2)解 因为||＝|a|，||
＝|a|，又＝－a＋c，
·＝(－a＋c)·
＝c2＝|a|2，
所以cos〈〉＝
＝.
所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.
9.B [因为＝x＋y＋z
＝x＋y，
点O在平面B1GF内，
所以x＋y＋＝1，
同理可得＋z＝1，
解得x＋y＝，z＝.
所以x＋y＋z＝.]
10.
解析 如图，画出对应的正四面体，设＝a，＝b，
＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设正四面体ABCD的棱长均为1，
因为
＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，
又a－b
＝(a－2b).
又a·b＝a·c＝b·c＝.
设异面直线DM与CN所成的角为θ，
则cos θ＝
＝ ＝
＝.
11.B [设＝λ，
因为＝－λ
＝－λ
＝－，
所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.
因为x＋y＋z＝－λ＝，
所以λ＝.]
12.B [在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，连接AC，如图，＝2，
，
则
＝
＝)
＝)－
＋)
＝－
＝(－＋3)，
又AB＝AP＝6，AD＝2，
∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，
则··＝6×2×cos 60°＝6，
·＝6×6×cos 60°＝18，因此，
||＝
＝
＝
＝.](共68张PPT)
1.1.2
空间向量的数量积运算
第一章 §1.1 空间向量及其运算
<<<
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角(难点).
学习目标
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
导 语
一、空间向量的数量积运算
二、空间向量数量积的性质
课时对点练
随堂演练
内容索引
空间向量的数量积运算
一
1.空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 _______________
向量垂直 如果〈a，b〉= 那么向量a，b互相垂直，记作______
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
a⊥b
对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；
②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
注 意 点
<<<
2.(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b= .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a= .
(2)运算律
|a||b|cos〈a，b〉
0
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ，λ∈R
交换律 a·b=____
分配律 (a+b)·c=_______
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与
向量b共线的向量c，c= 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).
|a|cos〈a，b〉
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·c
b=c，(a·b)·c≠a·(b·c).
注 意 点
<<<
已知空间向量|a|=|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-则a在b上的投影向量为
A.-b B.b
C.b D.-b
√
例 1
a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·×·
=-·=-b.
解析
的夹角等于
A.30° B.60°
C.150° D.120°
如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.
延伸探究 1
例 2
√
〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°.
解析
若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
①·；
延伸探究 2
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 60°=.
解
②·；
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 0°=.
解
③·.
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 120°=-.
解
记=a=b=c.若=2a-2b
=b-c，则· = .
延伸探究 3
由题意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=
同理b·c=c·a=
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
解析
-1
(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
反
思
感
悟
二
空间向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a= .
(2)a⊥b .
(3)当a，b同向时，a·b=_______；
当a，b反向时，a·b= .
(4)a·a= 或|a|= .
(5)|a·b|≤ .
(6)cos θ=.
以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.
cos θ
a·b=0
-
|a|2
如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a=b=c.
例 3
(课本例2) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：
(1)·；
延伸探究 4
·=||||cos〈〉=5×3×cos 60°=7.5.
解
(2)AC'的长(精确到0.1).
||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)
=98+56
所以AC'≈13.3.
解
|a-b+2c|等于
A.5 B.6
C. D.
延伸探究 4
√
由题意，得a·b=b·c=a·c=a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|=
=
=.
解析
若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.
延伸探究 5
+++(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=
所以||=即E，G间的距离为.
解
在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.
延伸探究 6
由延伸探究5知=-a+b+c，||=
又-=c-a，
所以·(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×
又||=1，则cos〈·〉=.
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为.
解
(课本例3) 如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
延伸探究 7
如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，
使g=xm+yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0，l·n=0，所以l·g=0.
所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
证明
证明：异面直线AB与CD 垂直.
延伸探究 7
-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥所以AB⊥CD.
证明
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影向量.
(2)空间向量数量积的性质及运算律.
(3)空间向量的垂直.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.
随堂演练
三
1
2
3
4
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
A.与
B.与
C.与
D.与
√
√
1
2
3
4
2.已知向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，则m·n的值为
A.7 B.-20 C.28 D.11
√
因为向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直，
所以|i|=| j|=|k|=1且i· j= j·k=i·k=0.
因为m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，
所以m·n=(8 j+3k)·(-i+5 j-4k)
=40| j|2-12|k|2=40-12=28.
解析
1
2
3
4
3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线所成的角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
√
设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ==－，
所以θ=120°，
则两个方向向量对应的直线所成的角为180°－120°=60°.
解析
1
2
3
4
4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为则= .
.
解析
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D A D C BC 22 ABC 60°
题号 11 12
答案 ABD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图所示，设=a，=b，=c，
则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
(1)··()
=·
=b·
=|b|2=42=16.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)·=()·()
=·()
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)·=()·()
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵，
∴·=()·
=··
=||||cos 60°+||||cos 120°
=a2-a2=0.
∴⊥，∴BD⊥PC.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)∵，
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴||=a.
基础巩固
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于
A.12 B.8+
C.4 D.13
√
(2a-b)·a=2a2-b·a
=2|a|2-|a||b|·cos 120°
=2×4-2×5×=13.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.已知|a|=4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的模为
A.2 B.-2
C.- D.
√
答案
1
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意，|a|=4，|e|=1，〈a，e〉=，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cose=4×e=-2e，故所求投影向量的模为|-2e|=2.
解析
3.已知空间向量a，b，c满足a=b+c，=1，=2，=，则a与b的夹角为
A.30° B.150°
C.60° D.120°
√
答案
1
2
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5
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10
11
12
设a与b的夹角为θ，由a=b+c，得a-b=c，两边同时平方得a2-2a·b+b2=c2，所以1-2×1×2cos θ+4=7，解得cos θ=-，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°.
解析
4.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于
A.-1 B.-1
C. D.-
√
答案
1
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5
6
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11
12
答案
1
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8
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11
12
如图，因为=-+，
所以||2=|-+|2=||2+||2+||2
-·-2·+2·
=1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=.
解析
5.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
A.2· B.2·
C.2· D.2·
√
答案
1
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10
11
12
√
答案
1
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11
12
对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误；
对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确；
对于C，2·=·=a2，C正确；
对于D，2·=·=-·=-a2，D错误.
解析
6.已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|= .
答案
1
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12
22
|a+b|2=a2+2a·b+b2
=132+2a·b+192=242，
∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2
=530-46=484，故|a-b|=22.
解析
7.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；
答案
1
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11
12
如图所示，
设=a，=b，=c，
则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
·=·(+)=·
=b·=|b|2=42=16.
解
(2)·；
答案
1
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11
12
·=(+)·(+)
=·(+)
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
解
(3)·.
答案
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12
·=(+)·(+)
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
解
8.如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
答案
1
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11
12
∵=+，
∴·=(+)·=·+·
=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.
∴⊥，
∴BD⊥PC.
证明
(2)求|+|的值.
答案
1
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11
12
∵+=++，
∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴|+|=a.
解
9.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
A.(++)2=3
B.·=0
C.与的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·|||
答案
1
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11
12
综合运用
√
√
√
答案
1
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6
7
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9
10
11
12
设正方体的棱长为a，
A选项，(++)2=+++2(·+·+·)=
3a2=3，A选项正确；
B选项，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·
(+)+·(+)=-+·+·
=a2-a2=0，B选项正确；
解析
答案
1
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11
12
C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以的夹角为60°，C选项正确；
D选项，|·|||=0，所以D选项错误.
解析
10.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉= .
答案
1
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11
12
60°
由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0，
(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2，所以a·b=|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|，
所以cos〈a，b〉===，
所以〈a，b〉=60°.
解析
11.(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，且，，两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF=2，则
A.截面BDD1B1的面积为9
B.·=11
C.，的夹角是60°
D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为
√
答案
1
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11
12
√
√
能力提升
答案
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11
12
在菱形BDD1B1中，·=(-)·=·-·=-=0，
所以⊥，菱形BDD1B1为正方形，故面积为DB·BB1=3×3=9，A正确；
易知平面AEC1F与侧面的交线AE，C1F平行，AF，EC1平行，则四边形AEC1F是平行四边形，
·=(+)·(+)=·
=·+·+·+
=+×+×+×9=11，B正确；
解析
答案
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11
12
因为AC=3·=(+)·=·+·=+=9，
所以cos〈〉===的夹角不是60°，
C不正确；
由上知||=，
则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为3×3××=，D正确.
解析
12.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC
=3，G为△ABC的重心，则·(++)= .
答案
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12
答案
1
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11
12
∵OA，OB，OC两两垂直，
∴·=·=·=0，
且=，
故·(++)=++)2
=(||2+||2+||2)
=×(1+4+9)=.
解析
第一章 §1.1 空间向量及其运算
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