作业5 空间直角坐标系
分值：80分
单选题每小题5分，共15分；多选题每小题6分，共18分
1.(多选)下列命题中正确的是
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)
2. 如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，P是B1C1的中点，则点P的坐标为
A.(3，5，4)
B.
C.
D.
3.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为
A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4)
C.(1，2，－4) D.(1，2，4)
4.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是
A.(－1，1，－1) B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1) D.不确定
5.(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
A.点C1的坐标为(2，0，2)
B.＝(0，2，2)
C.BD1的中点坐标为(1，1，1)
D.点B1关于y轴对称的点的坐标为(－2，2，－2)
6.在空间直角坐标系Oxyz中，点A的坐标为(1，2，3)，则A到平面Oxy的距离为 .
7. (13分)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M，N分别是AB，PC的中点，建立适当的空间直角坐标系，写出点M，N的坐标.
8. (14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系求向量的坐标.
9. (多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点的坐标为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0)
10. 在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为 .
11.已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，设点A，B在Oyz平面上的射影分别为A1，B1，则向量的坐标为 .
12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为 ，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 .
答案精析
1.BCD [空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.]
2.C [由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影在坐标轴上的坐标分别是5，4，
故点P的坐标是.]
3.A [关于y 轴对称，则纵坐标的值不变，横坐标和竖坐标的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为
(－1，－2，－4).]
4.D [由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1).而向量的起点A的坐标未知，
故终点B的坐标不确定.]
5.BCD [根据题意可知点C1的坐标为(0，2，2)，故A错误；由空间直角坐标系可知＝(0，2，2)，故B正确；由空间直角坐标系可知B(2，2，0)，D1(0，0，2)，故BD1的中点坐标为(1，1，1)，故C正确；点B1的坐标为(2，2，2)，关于y轴对称的点的坐标为(－2，2，－2)，故D正确.]
6.3
解析 由题意可知，点A(1，2，3)到平面Oxy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3.
7.解 因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由PA＝AD＝2，点C在x轴、y轴、z轴上的射影在坐标轴上的坐标分别是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.解 建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i＝j＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1).
＝i－j＋2k＝(1，－1，2).答案不唯一.
9.ACD [根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确；
点B的坐标为(4，5，0)，点C1的坐标为(0，5，3)，
故点C1关于点B对称的点的坐标为(8，5，－3)，选项B错误；
在长方体中AD1＝BC1＝＝5＝AB，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且互相平分，
即点A关于直线BD1对称的点为点C1(0，5，3)，选项C正确；
点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0)，选项D正确.]
10.
解析
＝)－)
＝i－k，
故.
11.(0，－1，10)
解析 点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在Oyz平面上的射影分别为
A1(0，5，－7)，B1(0，4，3)，
∴＝4j＋3k－5j＋7k＝－j＋10k，
∴向量的坐标为(0，－1，10).
12.(1，1，1)
解析 由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc
＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
∴
解得x＝y＝z＝－1，
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.1.3.1 空间直角坐标系
学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
一、空间直角坐标系及点的坐标
问题 利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？
知识梳理
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .
2.相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
3.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝ .在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 .
4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为 ；
②棱C1C中点的坐标为 ；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为 .
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
③一般用右手直角坐标系.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).
跟踪训练1 已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标.
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
三、空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝ .
例3 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标.
反思感悟 向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点；
(2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得.
跟踪训练3 (1)已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则的坐标为( )
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，10，12) D.(4，2，3)
(2)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是( )
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念.
(2)空间点的坐标.
(3)空间向量的坐标.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.
1.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A.(1，－2，－3) B.(－1，－2，3)
C.(－1，2，3) D.(－1，2，－3)
2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，3)，B(－3，0，1)，则线段AB的中点坐标是( )
A.(－1，－1，2) B.(1，1，－2)
C.(2，2，－4) D.(－2，－2，4)
3.已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是( )
A.(3，0，－4) B.(－3，0，4)
C.(－4，0，－3) D.(3，0，4)
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若点D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则向量 的坐标为 .
答案精析
问题 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.
知识梳理
1.x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
2.O 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx
3.xi+yj+zk (x，y，z) 横坐标
纵坐标 竖坐标
例1 (1)①(0，0，0)，(0，1，1)
② ③
(2)解 ∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2).
答案不唯一.
跟踪训练1 解 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA=OC=O1A1=O1C1=，
OB=.∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1与C1在Oyz平面内，
∴A1，C1.
∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1=1，
∴B1，即该三棱锥各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1.
答案不唯一.
例2 解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4).
(2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6，
y=2×(-1)-1=-3，
z=2×(-4)-4=-12，
所以P3的坐标为(6，-3，-12).
跟踪训练2 (2，-3，1)
解析 点P(2，3，-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3，1).
知识梳理
(x，y，z)
例3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，
=k，=4i+0j+0k=(4，0，0).
=+=0i+4j+4k
=(0，4，4).
=+=++
=-4i+4j+4k=(-4，4，4).
答案不唯一.
跟踪训练3 (1)A [由题意得=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12，14，10)，
所以的坐标为(12，14，10).]
(2)A [∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，∴B1的坐标为(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐标为(0，3，2).]
随堂演练
1.C [点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反，纵坐标、竖坐标不变，故选C.]
2.A [设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，
所以x==-1，
y==-1，z==2，
故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2).]
3.D [因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(-x，-y，-z)，所以点A(-3，0，-4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4).]
4.(-4，2，3)
解析 =+=++=-4i+2j+3k=(-4，2，3).(共63张PPT)
第一章 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示
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1.3.1
空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.(难点)
学习目标
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法… …”
导 语
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，这使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.
一、空间直角坐标系及点的坐标
二、空间点的对称问题
课时对点练
三、空间向量的坐标
随堂演练
内容索引
空间直角坐标系及点的坐标
一
提示 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.
利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？
问题
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：______________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个___________________.
2.相关概念：___叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过____________的平面叫做坐标平面，分别称为_____平面，_____平面，_____平面，它们把空间分成八个部分.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
O
每两条坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
3.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=_________.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组__________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的_______，y叫做点A的____
___，z叫做点A的________.
xi+yj+zk
(x，y，z)
横坐标
纵坐
标
竖坐标
4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
(1)基向量：|i|=|j|=|k|=1，i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
(3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系.
注 意 点
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(1)画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，D1的坐标分别为 ；
②棱C1C中点的坐标为 ；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为 .
例 1
(0，0，0)，(0，1，1)
(2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所
在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直
线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2).
答案不唯一.
解
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
②充分利用几何图形的对称性.
③一般用右手直角坐标系.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).
反
思
感
悟
已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标.
跟踪训练 1
如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA=OC=O1A1=O1C1=，OB=.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1与C1在Oyz平面内，
∴A1，C1.
解
∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1=1，
∴B1，即该三棱锥各顶点的坐标为
A，B，C，
A1，B1，C1.
答案不唯一.
解
二
空间点的对称问题
在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
例 2
由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4).
解
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4).
解
(3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点的坐标.
设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6，
y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12，
所以P3的坐标为(6，-3，-12).
解
空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
反
思
感
悟
已知点P(2，3，-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
跟踪训练 2
点P(2，3，-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3，1).
解析
(2，-3，1)
三
空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=_________.
(x，y，z)
(课本例1) 如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
例 3
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标；
点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k.
所以点D'的坐标是(0，0，2).
同理，点C的坐标是(0，4，0).
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是(3，0，2).
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，
所以点B'的坐标是(3，4，2).
解
(2)写出向量的坐标.
==0i+4j+0k=(0，4，0)；
=-=0i+0j-2k=(0，0，-2)；
=+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)；
=++=-3i+4j+2k=(-3，4，2).
解
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标.
例 3
建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，
=4i+0j+0k=(4，0，0).
=+
=0i+4j+4k=(0，4，4).
=+
=++
=-4i+4j+4k=(-4，4，4).
答案不唯一.
解
向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点；
(2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得.
反
思
感
悟
(1)已知=8a+6b+4c，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则的坐标为
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，10，12) D.(4，2，3)
跟踪训练 3
√
由题意得=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12，14，10)，
所以的坐标为(12，14，10).
解析
(2)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
√
∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，
∴B1的坐标为(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐标为(0，3，2).
解析
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念.
(2)空间点的坐标.
(3)空间向量的坐标.
2.方法归纳：数形结合、类比联想.
3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于平面Oyz对称的点的坐标为
A.(1，-2，-3) B.(-1，-2，3)
C.(-1，2，3) D.(-1，2，-3)
√
点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反，纵坐标、竖坐标不变，故选C.
解析
1
2
3
4
2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，则线段AB的中点坐标是
A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2)
C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4)
√
设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，
所以x==-1，y==-1，
z==2，故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2).
解析
1
2
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4
3.已知点A(-3，0，-4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是
A.(3，0，-4) B.(-3，0，4)
C.(-4，0，-3) D.(3，0，4)
因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(-x，-y，-z)，所以点A(-3，0，-4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4).
解析
√
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4
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若点D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则向量 的坐标为 .
=+=++
=-4i+2j+3k=(-4，2，3).
解析
(-4，2，3)
课时对点练
五
对一对
答案
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12
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 BCD C A D BCD 3 ACD
题号 10 11 12
答案 (0，-1，10) (1，1，1)
7.
答案
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因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由PA=AD=2，点C在x轴、y轴、z轴上的射影在坐标轴上的坐标分别是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.
答案
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建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，
则=0i+j+0k=(0，1，0)，
=k+=i-j+k=(1，-1，1).
=i-j+2k=
(1，-1，2).答案不唯一.
基础巩固
1.(多选)下列命题中正确的是
A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(0，b，c)
B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标是(0，b，c)
C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)
D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)
√
答案
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空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.
解析
√
√
2.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=3，OC=5，OO1=4，P是B1C1的中点，则点P的坐标为
A.(3，5，4) B.
C. D.
√
答案
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12
由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.
解析
3.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，-2，4)关于y轴对称的点为
A.(-1，-2，-4) B.(-1，-2，4)
C.(1，2，-4) D.(1，2，4)
√
关于y 轴对称，则纵坐标的值不变，横坐标和竖坐标的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(-1，-2，-4).
解析
答案
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4.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且=-i+j-k，则点B的坐标是
A.(-1，1，-1) B.(-i，j，-k)
C.(1，-1，-1) D.不确定
√
由=-i+j-k只能确定向量=(-1，1，-1).而向量的起点A的坐标未知，
故终点B的坐标不确定.
解析
答案
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12
5.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
A.点C1的坐标为(2，0，2)
B.=(0，2，2)
C.BD1的中点坐标为(1，1，1)
D.点B1关于y轴对称的点的坐标为(-2，2，-2)
√
答案
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√
√
答案
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根据题意可知点C1的坐标为(0，2，2)，故A错误；
由空间直角坐标系可知==(0，2，2)，故B正确；
由空间直角坐标系可知B(2，2，0)，D1(0，0，2)，故BD1的中点坐标为(1，1，1)，故C正确；
点B1的坐标为(2，2，2)，关于y轴对称的点的坐标为(-2，2，-2)，故D正确.
解析
6.在空间直角坐标系Oxyz中，点A的坐标为(1，2，3)，则A到平面Oxy的距离为 .
答案
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3
由题意可知，点A(1，2，3)到平面Oxy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3.
解析
7.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点，建立适当的空间直角坐标系，写出点M，N的坐标.
答案
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答案
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因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
解
由PA=AD=2，点C在x轴、y轴、z轴上的射影在坐标轴上的坐标分别是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的空间直角坐标系求向量，，的坐标.
答案
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答案
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建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，则=0i+j+0k=(0，1，0)，=-=
k+-=i-j+k=(1，-1，1).
=-=+-=i-j+2k=(1，-1，2).
答案不唯一.
解
9.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点的坐标为(5，8，-3)
C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0)
答案
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√
√
√
综合运用
答案
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12
根据题意知，点B1的坐标为(4，5，3)，选项A正确；
点B的坐标为(4，5，0)，点C1的坐标为(0，5，3)，
故点C1关于点B对称的点的坐标为(8，5，-3)，选项B错误；
在长方体中AD1=BC1==5=AB，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且互相平分，
即点A关于直线BD1对称的点为点C1(0，5，3)，选项C正确；
点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0)，选项D正确.
解析
10.在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PB⊥平面ABC，AB=BC=PB=1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量
的坐标为 .
答案
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答案
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=-
=+)-+)
=-=i-k，
故=.
解析
11.已知A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，设点A，B在Oyz平面上的射影分别为A1，B1，则向量的坐标为 .
答案
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点A(3，5，-7)，B(-2，4，3)在Oyz平面上的射影分别为A1(0，5，-7)，B1(0，4，3)，
∴=-=4j+3k-5j+7k=-j+10k，∴向量的坐标为(0，-1，10).
解析
(0，-1，10)
能力提升
12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，-1)，则p在基底{2a，b，-c}
下的坐标为 ，在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为 .
答案
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(1，1，1)
答案
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由题意知p=2a+b-c，
则向量p在基底{2a，b，-c}下的坐标为(1，1，1).
设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p=x(a+b)+y(a-b)
+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，
又∵p=2a+b-c，
∴
解得x=，y=，z=-1，
∴p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为.
解析
第一章 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示
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