1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.
一、空间向量运算的坐标表示
问题1 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，你能写出a·b的结果，并给出证明吗？
知识梳理
1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b
减法 a－b
数乘 λa
数量积 a·b
2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
例1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝ .
(2)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
①求顶点B，C的坐标；
②求·；
③若点P在AC上，且，求点P的坐标.
反思感悟 空间向量坐标运算的规律
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
跟踪训练1 (1)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝ ，b＝ ，a·b＝ .
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ .
二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb ， ， (λ∈R)；
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 .
例2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
跟踪训练2 已知空间向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求向量a，b，c的坐标.
三、夹角和距离的计算
问题2 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
知识梳理
1.空间两点间的距离公式：
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
P1P2＝||
＝ .
2.空间向量的夹角公式：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝ .
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.(1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积.
反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
跟踪训练3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC的边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
1.知识清单：
(1)空间向量运算的坐标表示.
(2)空间向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
(2)求异面直线所成的角时忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
1.已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为( )
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1)
C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
2.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为 .
答案精析
问题1 a·b=a1b1+a2b2+a3b3.证明如下：
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，
则a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)
=a1b1i2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1i·j+a2b2j2+a2b3j·k+a3b1i·k+a3b2j·k+a3b3k2
=a1b1+a2b2+a3b3.
知识梳理
1.(a1+b1，a2+b2，a3+b3) (a1-b1，a2-b2，a3-b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1+a2b2+a3b3
2.(x2-x1，y2-y1，z2-z1) 减去
例1 (1)-4
解析 易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)，
则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
(2)解 ①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以=(x-2，y+5，z-3)，
=(x1-x，y1-y，z1-z).
因为=(4，1，2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，-4，5).
因为=(3，-2，5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，-6，10).
②因为=(-7，1，-7)，
所以·=-21-2-35=-58.
③设P(x2，y2，z2)，
则=(x2-2，y2+5，z2-3)，
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
于是有(x2-2，y2+5，z2-3)
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
所以
解得
故点P的坐标为.
跟踪训练1 (1)(1，，) (1，0，) 4
解析 a+b=(2，，2)，
a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
(2)2
解析 据题意，有c-a=(0，0，1-x)，
2b=(2，4，2)，
故(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，
解得x=2.
知识梳理
(1)a1=λb1 a2=λb2 a3=λb3 (2)a1b1+a2b2+a3b3=0
例2 解 (1)因为a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，
所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
因为(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)
=2k2+k-10=0.
解得k=2或k=-.
跟踪训练2 解 ∵a=(x，4，1)，
b=(-2，y，-1)，a∥b，∴y≠0，
则==，
∴x=2，y=-4，
∴a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1)，
∵b=(-2，-4，-1)，c=(3，-2，z)，b⊥c，则-2×3+(-4)×(-2)+(-1)×z=0，
∴z=2，∴c=(3，-2，2).
问题2 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||=
=.
所以P1P2=||
=，
类似地，我们可以得到空间向量的夹角公式.
知识梳理
1.
2.
例3 解 以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则B(0，1，0)，
M(1，0，1)，N.
(1)∵=(1，-1，1)，
=，
∴||==，
||==，
故BM的长为，BN的长为.
(2)∵cos∠MBN=cos〈，〉
===，
∴sin∠MBN==，
故S△BMN=·||·||·sin ∠MBN
=×××=.
即△BMN的面积为.
跟踪训练3 解 (1)设侧棱长为b，则A(0，-1，0)，B1(，0，b)，
B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以=(，1，b)，
=(-，1，b).
因为AB1⊥BC1，
所以·=(，1，b)·(-，1，b)=-()2+12+b2=0，
解得b=.故侧棱长为.
(2)由(1)知=(，1，)，
=(-，1，0)，
因为||==，
||==2，
·=(，1，)·(-，1，0)=-()2+12=-2，
所以|cos〈，〉|===.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
随堂演练
1.B [∵==-，
∴=+=(9，1，1).]
2.C [λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3.]
3.C [因为=(3，4，-8)，
=(2，-3，1)，=(5，1，-7)，
所以·=10-3-7=0，
所以BC⊥AC，
而||=，||=5，
所以△ABC是直角三角形.]
4.
解析 ∵=(0，3，3)，
=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉=.(共81张PPT)
第一章 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示
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1.3.2
空间向量运算的坐标表示
1.掌握空间向量运算的坐标表示.
2.掌握空间两点间的距离公式.
3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点)
学习目标
前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来.那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
导 语
一、空间向量运算的坐标表示
二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
课时对点练
三、夹角和距离的计算
随堂演练
内容索引
空间向量运算的坐标表示
一
提示 a·b=a1b1+a2b2+a3b3.证明如下：
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，
则a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)
=a1b1i2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1i·j+a2b2j2+a2b3j·k+a3b1i·k+a3b2j·k+a3b3k2
=a1b1+a2b2+a3b3.
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，你能写出a·b的结果，并给出证明吗？
问题1
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b _____________________
减法 a-b ___________________
数乘 λa ______________
数量积 a·b ______________
1.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
(a1+b1，a2+b2，a3+b3)
(a1-b1，a2-b2，a3-b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=__________________.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_____起点坐标.
(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
减去
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
注 意 点
<<<
(1)已知a=(-1，2，1)，b=(2，0，1)，则(2a+3b)·(a-b)= .
例 1
-4
易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)，
则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
解析
(2)在△ABC中，A(2，-5，3)，=(4，1，2)，=(3，-2，5).
①求顶点B，C的坐标；
设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以=(x-2，y+5，z-3)，
=(x1-x，y1-y，z1-z).
因为=(4，1，2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，-4，5).
解
因为=(3，-2，5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，-6，10).
解
②求·；
因为=(-7，1，-7)，
所以·=-21-2-35=-58.
解
③若点P在AC上，且=，求点P的坐标.
设P(x2，y2，z2)，
则=(x2-2，y2+5，z2-3)，=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
于是有(x2-2，y2+5，z2-3)
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
所以解得
故点P的坐标为.
解
空间向量坐标运算的规律
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
反
思
感
悟
(1)已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则a= ，b= ，a·b= .
跟踪训练 1
(1，，)
(1，0，)
4
a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
解析
(2)若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，且满足条件(c-a)·(2b)
=-2，则x= .
2
据题意，有c-a=(0，0，1-x)，
2b=(2，4，2)，
故(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，
解得x=2.
解析
二
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a=λb _________，______，______(λ∈R)；
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b=0 ______________________.
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
(1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0).
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ==.
注 意 点
<<<
(课本例2) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1.
例 2
不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则EF
所以=.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
所以=(1，0，1).
所以·=·(1，0，1)=0.
所以⊥即EF⊥DA1.
证明
已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b.
(1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行？
例 2
因为a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，
所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
解
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.
由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
因为(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或k=-.
解
(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
反
思
感
悟
∵a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，a∥b，∴y≠0，
则==，∴x=2，y=-4，
∴a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1)，
∵b=(-2，-4，-1)，c=(3，-2，z)，b⊥c，
则-2×3+(-4)×(-2)+(-1)×z=0，
∴z=2，∴c=(3，-2，2).
解
已知空间向量a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，a∥b，b⊥c.求向量a，b，c的坐标.
跟踪训练 2
三
夹角和距离的计算
你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
问题2
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||=
=.
所以P1P2=||
=，
类似地，我们可以得到空间向量的夹角公式.
1.空间两点间的距离公式：
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
P1P2=||=__________________________________.
2.空间向量的夹角公式：
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==
____________________________.
空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆.
注 意 点
<<<
(课本例3) 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；
例 3
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.
于是AM==.
解
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
由已知，得B(1，1，0)，E1D(0，0，0)，F1
所以=-(1，1，0)=
=-(0，0，0)=||=||=.
所以·=0×0++1×1=.
所以cos〈〉===.
所以，BE1与DF1所成角的余弦值是.
解
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
(1)求BM，BN的长；
例 3
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
∵=(1，-1，1)，=，
∴||==，
||==，
故BM的长为，BN的长为.
解
(2)求△BMN的面积.
∵cos∠MBN=cos〈，〉===，
∴sin∠MBN==，
故S△BMN=·||·||·sin∠MBN=×××=.
即△BMN的面积为.
解
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
反
思
感
悟
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的边长AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
跟踪训练 3
设侧棱长为b，则A(0，-1，0)，
B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以=(，1，b)，=(-，1，b).
因为AB1⊥BC1，
所以·=(，1，b)·(-，1，b)=-()2+12+b2=0，
解得b=.故侧棱长为.
解
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
由(1)知=(，1，)，=(-，1，0)，
因为||==，
||==2，
·=(，1，)·(-，1，0)=-()2+12=-2，
所以|cos〈，〉|===.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
解
1.知识清单：
(1)空间向量运算的坐标表示.
(2)空间向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
(2)求异面直线所成的角时忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=，则点B的坐标应为
A.(-1，3，-3) B.(9，1，1)
C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1)
√
∵==-，
∴=+=(9，1，1).
解析
1
2
3
4
2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于
A.5 B.4
C.3 D.2
√
λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3.
解析
1
2
3
4
3.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
因为=(3，4，-8)，=(2，-3，1)，=(5，1，-7)，
所以·=10-3-7=0，所以BC⊥AC，
而||=，||=5，
所以△ABC是直角三角形.
解析
√
1
2
3
4
4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的夹角
为 .
∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈［0，π］，∴〈，〉=.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 A A A A C - C
题号 10 11 12
答案 ∪ 90° 1
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4)，
∴ka+b=(k-2，2k+3，-k+4)，
a-2b=(5，-4，-9)，
(1)∵(ka+b)∥(a-2b)，
∴，
解得k=-.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)∵(ka+b)⊥(a-2b)，
∴(ka+b)·(a-2b)=0，
即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0， 解得k=.
8.
答案
1
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12
(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
=，
=(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1).
∴·×(-1)+×0+×(-1)=0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
8.
答案
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12
(2)∵F，H，
∴，
∴||=
=.
∴FH的长为.
8.
答案
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(3)∵C1(0，1，1)，G，
∴-(0，1，1)=.
∴||=.
由(1)得·×0+××(-1)=，||=，
∴|cos 〈，〉|==.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
基础巩固
1.已知a=(1，-2，1)，a-b=(-1，2，-1)，则b等于
A.(2，-4，2) B.(-2，4，-2)
C.(-2，0，-2) D.(2，1，-3)
答案
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12
b=a-(a-b)=(1，-2，1)-(-1，2，-1)=(2，-4，2).
解析
√
设点C的坐标为(x，y，z)，
则=(x，y，z)，又=(-3，-2，-4)，=，
所以x=-，y=-，z=-，
所以点C的坐标是.
解析
2.已知点A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若=，则点C的
坐标是
A. B.
C. D.
√
答案
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12
3.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于
A.3 B.2
C. D.5
√
∵a-b+2c=(9，3，0)，
∴|a-b+2c|==3.
解析
答案
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4.若A(m+1，n-1，3)，B(2m，n，m-2n)，C(m+3，n-3，9)三点共线，则m+n的值为
A.0 B.-1
C.1 D.-2
√
因为=(m-1，1，m-2n-3)，=(2，-2，6)，由题意得∥==，所以m=0，n=0，所以m+n=0.
解析
答案
1
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12
5.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为
A. B.
C. D.
√
答案
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答案
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12
因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，所以=(1+t，2t-1，0)，
所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2，
易知当t=时，||2取得最小值，
即A，B两点的距离的最小值为.
解析
6.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为 .
答案
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-
由题意知，cos 120°===-=，k2=39，显然k<0，所以k=-.
解析
7.若a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4).
(1)若(ka+b)∥(a-2b)，求实数k的值；
答案
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12
∵a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4)，
∴ka+b=(k-2，2k+3，-k+4)，
a-2b=(5，-4，-9)，
∵(ka+b)∥(a-2b)，
∴==，解得k=-.
解
(2)若(ka+b)⊥(a-2b)，求实数k的值.
答案
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12
∵(ka+b)⊥(a-2b)，
∴(ka+b)·(a-2b)=0，
即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0，
解得k=.
解
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；
答案
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答案
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11
12
如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
=-=，
=(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1).
∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0，∴⊥，
即EF⊥B1C.
证明
(2)求FH的长；
答案
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12
∵F，H，
∴=，
∴||==.
∴FH的长为.
解
(3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
答案
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答案
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12
∵C1(0，1，1)，G，
∴=-(0，1，1)=.
∴||=.
由(1)得·=×0+×+×(-1)=，||=，
∴|cos 〈〉|==.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
解
9.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案
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12
√
综合运用
答案
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12
a+b=(-1，-2，-3)=-a，
故(a+b)·c=-a·c=7，得a·c=-7，
而|a|==，
所以cos〈a，c〉==-，
所以〈a，c〉=120°.
解析
10.已知向量a=(5，3，1)，b=，若a与b的夹角为钝角，则
实数t的取值范围为 .
答案
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∪
答案
1
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7
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11
12
由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-，
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，即3t-<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a=λb，
即(5，3，1)=λ，
解析
答案
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11
12
所以所以t=-，
故实数t的取值范围是∪.
解析
11.已知向量a=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直线AB上，存在
一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为 .
答案
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12
能力提升
答案
1
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12
设=λ，因为A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，所以=(1，-1，-2)，=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)，=-=(λ-3，-λ-1，-2λ+4)，因为⊥a，
所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ==，即点E的坐标为.
解析
12.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为 ，若D1E⊥EC，则AE= .
答案
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12
90°
1
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0≤m≤2，
则=(1，m，-1)，=(-1，0，-1)，
∴·=-1+0+1=0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.
∵=(-1，2-m，0)，D1E⊥EC，
∴·=-1+m(2-m)+0=0，
解得m=1，∴AE=1.
解析
答案
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6
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8
9
10
11
12
第一章 §1.3 空间向量及其运算的坐标表示
<<<作业6 空间向量运算的坐标表示
分值：80分
单选题每小题5分，共30分
1.已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)
C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)
2.已知点A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若，则点C的坐标是
A. B.
C. D.
3.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于
A.3 B.2 C. D.5
4.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为
A.0 B.－1 C.1 D.－2
5.已知点A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为
A. B. C. D.
6.已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为 .
7.(15分)若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值；(7分)
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值.(8分)
8.(15分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；(5分)
(2)求FH的长；(5分)
(3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.(5分)
9.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
10.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 .
11.已知向量a＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为 .
12. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为 ，若D1E⊥EC，则AE＝ .
答案精析
1.A [b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2).]
2.A [设点C的坐标为(x，y，z)，
则＝(x，y，z)，
又＝(－3，－2，－4)，
，
所以x＝－，y＝－，z＝－，
所以点C的坐标是
.]
3.A [∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.]
4.A [因为＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，
由题意得∥，
所以，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.]
5.C [因为点A(1－t，1－t，t)，
B(2，t，t)，
所以＝(1＋t，2t－1，0)，
所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2，
易知当t＝时，||2取得最小值，即A，B两点的距离的最小值为.]
6.－
解析 由题意知，cos 120°＝＝－，
即，k2＝39，
显然k<0，所以k＝－.
7.解 ∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，
a－2b＝(5，－4，－9)，
(1)∵(ka＋b)∥(a－2b)，
∴，
解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，
∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0， 解得k＝.
8.(1)证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
＝，
＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1).
∴·×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)解 ∵F，
H，
∴，
∴||＝
＝.
∴FH的长为.
(3)解 ∵C1(0，1，1)，G，
∴－(0，1，1)
＝.
∴||＝.
由(1)得·×0＋××(－1)＝，
||＝，
∴|cos 〈〉|＝
＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
9.C [a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，
所以〈a，c〉＝120°.]
10.∪
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb，
即(5，3，1)＝λ，
所以所以t＝－，
故实数t的取值范围是∪.
11.
解析 设＝λ，
因为A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，
所以＝(1，－1，－2)，
＝(λ，－λ，－2λ)，
＝(3，1，－4)，＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
因为⊥a，
所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝，
所以，
即点E的坐标为.
12.90° 1
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.又AD＝AA1＝1，
AB＝2，点E在棱AB上移动.
则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，
设E(1，m，0)，0≤m≤2，
则＝(1，m，－1)，
＝(－1，0，－1)，
∴·＝－1＋0＋1＝0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.
∵＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC，
∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，
解得m＝1，∴AE＝1.
