作业7　再练一课(范围：§1.1~§1.3)（含解析）

作业7　再练一课(范围：§1.1~§1.3)
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.下列关于空间向量的说法错误的是
A.零向量与任意向量平行
B.相反向量就是方向相反的向量
C.零向量不能作为任意直线的方向向量
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2.已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若＝m＋n＋2，则m＋n的值为
A.1 B.－1 C.2 D.－2
3.已知向量a＝(2，1，2)，b＝(－2，x，2)，c＝(4，－2，1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为
A.－2 B.2 C.－6 D.6
4.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
5.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于
A.2 B. C.3 D.4
6.已知空间向量a＝(3，0，1)，b＝(－2，1，n)，c＝(1，2，3)，且(a－c)·b＝2，则a与b的夹角的余弦值为
A. B.－
C. D.－
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式结果为零向量的是
A.＋2＋2
B.2＋2＋3＋3
C.
D.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，A1C∩AC1＝O，则
A.·＝a2 B.·＝a2
C.·＝a2 D.·＝a2
9.已知空间向量a＝(1，2，3)，2a＋b＝(0，3，7)，c＝(2，m，6)，且a∥c，则下列说法正确的是
A.|b|＝ B.m＝4
C.(2b＋c)⊥a D.cos〈b，c〉＝－
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为　　　　　.
11.已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M满足⊥，则点M的坐标为　　　　　　　　　.
12.设两个空间单位向量＝(m，n，0)，＝(0，s，t)与向量＝(1，1，1)的夹角的余弦值都等于，则∠AOB＝　　　　　　.
四、解答题(共37分)
13.(12分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；(4分)
(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长.(8分)
14.(12分)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；(5分)
(2)若∥，且||＝2，求点P的坐标.(7分)
15.(13分)已知A(1，2，0)，B(0，4，0)，C(2，3，3).
(1)求cos〈，〉；(3分)
(2)已知点P(－3，m，n)在直线AC上，求m＋n的值；(5分)
(3)当实数λ为何值时，与＋λ垂直？(5分)
答案精析
1.B　[选项A，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确；选项B，相反向量不只要求方向相反，还要求长度相等，该选项错误；选项C，直线的方向向量必须是非零向量，该选项正确；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.]
2.B　[因为点P为△ABC所在平面内一点，设＝λ＋μ，
其中λ，μ∈R，
即＝λ()＋μ()，
所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝m＋n＋2，
所以m＋n＋2＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，
所以m＋n＝－1.]
3.C　[由题意得a＋c＝(6，－1，3)，
又b⊥(a＋c)，
所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6.]
4.C　[∵点M为BC的中点，
∴)，
∴·)·
＝··＝0，
∴AM⊥AD，
∴△AMD为直角三角形.]
5.C　[ ∵b∥c，∴2y＝－4×1，
∴y＝－2，
∴b＝(1，－2，1)，
∵a⊥b，
∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，
∴x＝1，∴a＝(1，1，1)，
∴a＋b＝(2，－1，2)，
∴|a＋b|＝＝3.]
6.B　[向量a＝(3，0，1)，b＝(－2，1，n)，c＝(1，2，3)，则a－c＝(2，－2，－2)，由(a－c)·b＝2，得－4－2－2n＝2，解得n＝－4，所以b＝(－2，1，－4)，因此a·b＝3×(－2)＋0×1＋1×(－4)＝－10，|a|＝，|b|＝，所以a与b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝－.]
7.BD　[A中，原式＝＋2，不符合题意；B中，原式＝2()＋()＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝()＋()＝0.]
8.BC　[如图，对于A，因为AA1⊥BC，所以·＝0，故A错误；
对于B，··()＝＝a2，故B正确；
对于C，··()＝＝a2，故C正确；
对于D，··a2，故D错误.]
9.ABD　[设b＝(x，y，z)，
因为a＝(1，2，3)，
则2a＋b＝(2＋x，4＋y，6＋z)
＝(0，3，7)，
所以解得
所以b＝(－2，－1，1)，
则|b|＝，
所以选项A正确；
因为a＝(1，2，3)，c＝(2，m，6)，a∥c，所以，得m＝4，所以选项B正确；
因为b＝(－2，－1，1)，c＝(2，4，6)，所以2b＋c＝(－2，2，8)，
又a＝(1，2，3)，
则(2b＋c)·a＝－2＋4＋24＝26≠0，
所以选项C错误；
因为b＝(－2，－1，1)，c＝(2，4，6)，
则cos〈b，c〉＝＝－，所以选项D正确.]
10.e1
解析　(e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1
＝1＋1×1×，
向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1.
11.
解析　由A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，得＝(－1，1，0)，＝(1，2，－4)，又点M在直线AB上，所以设＝λ＝(－λ，λ，0)，λ∈R，则＝(－λ－1，λ－2，4)，又⊥，则(－λ－1)·(－1)＋(λ－2)·1＋4×0＝2λ－1＝0，解得λ＝，则，
即M.
12.
解析　＝(m，n，0)为单位向量，且与＝(1，1，1)的夹角的余弦值为，
所以m2＋n2＝1，cos〈〉
＝，
解得m＝n＝，
同理可得s＝t＝，
所以cos∠AOB＝cos〈〉
＝，又∠AOB∈，
所以∠AOB＝.
13.解　(1)
＝－
＝－＝－c－b－a
＝－a－b－c.
(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，
a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，
b·c＝2×3×＝3，
∵(a＋b＋c)，
∴||＝＝
＝
＝.
14.解　(1)＝(－2，－1，3)，
＝(1，－3，2).
设a＝(x，y，z)，因为|a|＝，且a分别与垂直，
所以
解得或
所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
(2)因为∥，
所以可设＝λ(λ∈R).
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝λ＝(3λ，－2λ，－λ).
又因为||＝2，
所以
＝2，解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或
＝(－6，4，2).
设点P的坐标为(x1，y1，z1)，
则＝(x1，y1－2，z1－3).
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5).
15.解　(1)＝(－1，2，0)，
＝(1，1，3)，
∴||＝，||＝，
·＝－1＋2＝1，
∴cos〈〉＝.
(2)∵点P(－3，m，n)在直线AC上，
∴与共线，
则存在μ∈R，使得＝μ，
即(－3－1，m－2，n－0)＝μ(1，1，3)，
∴解得
故m＋n＝－14.
(3)＋λ＝(－1，2，0)＋λ(1，1，3)
＝(λ－1，λ＋2，3λ)，
∵与＋λ垂直，
∴·(＋λ)＝－1×(λ－1)＋2×(λ＋2)＋0×3λ＝0，∴λ＝－5，
∴当λ＝－5时，与＋λ垂直.