函数中参数问题的类型与解法

函数中参数问题的类型与解法
【大纲解读】
理解参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法；
能够运用参数分类讨论的法则与基本方法，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、参数的基本概念：
1、参数的定义：数学问题中取值不能确定的字母，称为参数。
2、理解参数定义时应该注意的问题：理解参数定义时应该抓住参数的两个特征：①参数是数学问题中的一个字母；②这个字母的取值不确定。
二、参数分类讨论的法则与基本方法：
1、参数分类讨论的法则：参数分类讨论的法则是不重复不遗漏。①若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的二次项系数，则应按参数是否等于零进行分类；②若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的两个根（或两个零点）含参数，则应按两根（或两个零点）的大小进行分类；③若一元二次函数图像的对称轴含有参数，则应按对称轴在问题给定区间的左边，之间，右边进行分类；④若一元二次函数给定的区间含参数，则应按给定区间在一元二次函数图像对称轴的左边，之间，右边进行分类；⑤若问题中含有（参数为实数）的条件，则应按参数大于零，等于零，小于零进2、参数分类讨论的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
三、函数问题中参数问题解答的基本方法：
1、函数问题中参数问题的类型：纵观各类试卷，函数中的参数问题，归结起来主要包括：①函数概念中的参数问题；②函数性质中的参数问题；③函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题；④函数零点中的参数问题等几种类型。
2、解答函数问题中参数问题的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题所属的类型；②运用该类型问题的解答思路和解答的基本方法，对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果。
考点1函数概念中的参数问题:热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域；热点②，已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2函数性质中的参数问题：热点①，已知函数含有参数的解析式，判断（或证明）函数的单调性（或奇偶性，或周期性）；热点②，已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点3函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题；热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数的值（或函数值域，或函数最值）；热点②，已知函数的值（或函数值域，或函数最值），求参数的值（或取值范围）；
考点4函数零点中的参数问题：热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）；热点②，函数零点（或函数零点的个数），求参数的值（或取值范围）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
求函数y= (a＞0且a≠1)的定义域。
2、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
2、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；
4、已知函数y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围。
『思考问题1』
【典例1】是函数概念中的参数问题，解答这类问题需要理解函数定义域和参数的定义，掌握求函数定义域的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
函数概念中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域；
②已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）两种类型；
解答已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域问题的基本方法是：①根据函数定义域和参数的性质；②运用求函数定义域的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
解答已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：
①根据问题条件得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习1〕解答下列问题：
求函数y=(a＞0且a≠1)的定义域。
2、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围；
3、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=+1，x≥1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
(2-a)x+2，x<1，
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、若函数f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值为4，且函数g(x)=（1-m）在
R上是减函数，则实数m的取值范围为（ ）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
已知函数f(x)=-2ax-3在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
4、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
5、已知函数f(x) = 2023+2024x，x≤0，为奇函数，则a+b=（ ）
a+bx，x>0，
A -1 B 0 C 1 D 2
6、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= 。
7、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，
，0x≤1，
其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 。
8、讨论函数f(x)=x+ (a＞0)的单调性。
9、已知函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，求实数a的取值范围。
10、设函数f(x)=lg，若当x(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围。
11、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
12、若函数f(x)=1-为定义在R上的奇函数。
求实数a的值，并证明函数f(x)的单调性；
若存在实数x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求实数k的取值范围。
『思考问题2』
【典例2】是函数性质中的参数问题，解答这类问题需要理解函数单调性（或奇偶性，或周期性）和参数的定义，掌握判断（或证明）函数单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
（2）函数性质中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，判断（或证明）函数的单调性（或奇偶性，或周期性）；②，已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数含有参数的解析式，判断（或证明）函数的单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法是：①根据函数单调性（或奇偶性，或周期性）和参数的性质；②运用判断（或证明）函数单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据问题条件得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习2〕解答下列问题：
如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函数f(x)=+（2a-1）x+1在区间（-∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函数f(x)是定义在[0，+∞）上的减函数，则当f(2a-1)>f()时，实数a的取值范围为（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函数f(x)= （2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立，
，x1，那么实数a的取值范围是 。
5、若函数f(x)= 为奇函数，则a= 。
6、讨论函数f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的单调性
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)，求证函数f(x)是奇函数。
8、已知函数f(x)= (a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。
9、定义在区间D={x\x0}上的函数f(x)，对a，bD，都有f(ab)=f(a)+f(b)，且当x>1时，f(x)>0。
判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
判断函数f(x)在（0，+）上的单调性，并证明；
若f(2)=3，求满足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的实数m的取值范围。
【典例3】解答下列问题：
1、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
2、已知函数f(x)= -+2x (x≤0),若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）
ln(x+1) (x＞0)
A （-∞，0〕 B （-∞，1〕 C 〔-2，1〕 D 〔-2，0〕
3、设直线x=t与函数f(x)=，g(x)=lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
4、设a∈R,若x＞0时均有〔（a-1）x-1〕(-ax-1)≥0,则a= 。
5、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 。
6、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 。
-x-2a，x≥1，
7、设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
8、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
9、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0,2〕的最小值。
10、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0,2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
『思考问题3』
【典例3】是函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题，解答这类问题需要理解函数值（或函数值域，或函数最值）和参数的定义，掌握求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
（2）函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数值（或函数值域，或函数最值）；②已知函数值（或函数值域，或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）两种类型；
（3）解答已知函数含有参数的解析式，求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法是：①根据函数值（或函数值域，或函数最值）和参数的性质；②运用求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知已知函数值（或函数值域，或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据问题条件得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若存在正数x使（x-a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A （-∞，+∞） B （-2，+∞） C （0，+∞） D （-1，+∞）
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
lnx，x≥1，
A （-，-1］ B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设常数a＞0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则实数a的取值范围为 。
4、若f(x)=+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值。
5、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值。
6、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值。
7、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。
8、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例4】解答下列问题：
1、若a＜b＜c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（ ）
A （a，b）和（b，c）内 B （-，a）和（a，b）内
C （b，c）和（c，+）内 D （-，a）和（c，+）内
2、满足a，b{-1，0，1，2}，且关于x的方程a+2x+b=0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A 14 B 13 C 12 D 10
3、设函数f(x)= -ax(a＞0)的零点都在区间〔0，5〕上，且函数g(x)= 与函数h(x)= -a的图像的交点的横坐标为正整数，则实数a的取值有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个
4、函数f(x)= --a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）
A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2）
5、设函数f(x)= ，g(x)= a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A（，），B（，），则下列判断正确的是（ ）
A 当a＜0时，+＜0，+＞0 B 当a＜0时，+＞0，+＜0
C 当a＞0时，+＜0，+＜0 D 当a＞0时，+＞0，+＞0
6、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一个正根和一个负根，则有（ ）
A a＜0 B a＞0 C a＜-1 D a＞1
7、已知函数f(x)= x+x-b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点∈（n，n+1），n∈，则n= ；
8、已知函数f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是 ；
9、方程+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围为 ；
10、已知函数f(x)= +（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围；
11、已知函数f(x)= m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围。
12、已知函数f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g(x)- f(x)=0有两个相异实根。
『思考问题4』
【典例4】是函数零点中的参数问题，解答这类问题需要理解函数零点和参数的定义，掌握求函数零点的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
函数零点中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）；②已知函数零点（函数零点的个数，或函数零点所在的区间），求函数解析式中参数的值（或取值范围）两种类型；
解答已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）问题的基本方法是：①根据参数分类讨论的法则与基本方法，对参数进行正确的分类；②在①的基础上分别求出函数的零点（或函数零点的个数）；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知函数零点（或函数零点的个数，或函数零点所在的区间）求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法有：①直接法；②分离参数法；③数形结合法；
（5）直接法的基本方法是：①判断函数的单调性；②利用零点存在定理得到关于参数的不等式（或不等式组），③求解不等式（或不等式组）得出参数的值（或取值范围）；
（6）分离参数法的基本方法是：①把原函数解析式中的参数分离出来与一个新函数构成不等式；②求出新函数的最值；③得出参数的值（或取值范围）；
（7）数形结合法的基本方法是：①对解析式变形，化为两个函数相等的等式；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图像；③根据所作函数图像得出参数的值（或取值范围）。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=3ax+1-2a在区间（-1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）
A a＞ B a＞或a＜-1 C -1＜a＜ D a＜-1
2、已知方程| -a|-x+2=0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A 0＜a＜4 B a＞4 C 0＜a＜2 D a＞2
3、已知函数f(x)= x ，x 0，若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，则实数m的取值范
-x，x＞0，围是（ ）
A ［-，1］ B ［-，1） C （-，0） D （-，0］
4、已知函数f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一个零点为1，则函数f(x)的所有零点为 ；
5、若函数f(x)= -2x-a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是 。
6、已知函数f(x)= +x+a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为 。
7、若函数f(x)=| -2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是 。
8、已知函数f(x)= x+x-b(a＞0且a1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x （n，n+1），nN，则n= 。
9、若函数f(x)= (m-2)+mx+2m+1的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，则实数m的取值范围是 。
10、若方程-2mx+2=0的两个不同根都小于1，则实数m的取值范围是 。
11、已知函数f(x)= 2(m+1)+4mx+2m-1，如果函数的两个零点在原点的两侧，则实数m的取值范围是 。
12、方程-（k+2）x+1-3k=0有两个不等的实数根 ，，且0＜＜1＜＜2，则实数k的取值范围是 。
13、若方程a-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
函数f(x)=在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（ ）
A B 2 C 4 D
2、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)= f(1+a)=，则a的值为 。
-x-2a，x≥1，
3、若函数f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有两个零点，则实数a的取值范围是 。
4、已知函数函数f(x)= +2xtan-1，x[-1，]，其中（-，）。
当=时，求函数f(x)的最大值与最小值；
求的取值范围，使y=f(x)在区间[-1，]上是单调函数。
『思考问题5』
【典例5】是解答函数中参数问题时容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要包括：①忽视函数解析式有意义（或隐含）的条件；②忽视分段函数求值时，各段的定义域；③忽视问题涉及到的基本知识点及运用基本知识点解答问题的正确方法；④忽视数学转化思想的正确运用；
（2）解答函数中参数问题时，为避免忽视函数解析式有意义（或隐含）的条件的雷区，注意从函数解析式中挖掘其有意义（或隐含）的条件；
（3）解答函数中参数问题时，为避免分段函数求值时，各段的定义域的雷区，注意分辨所求函数值的自变量属于分段函数中的哪一段，从而选取正确的函数解析式求出函数值。
（4）解答函数中参数问题时，为避免忽视问题涉及到的基本知识点及运用基本知识点解答问题的正确方法的雷区，需要对问题涉及的基本知识点是什么，运用该基本知识点解答问题的正确方法是怎样的，做到心中有数；
（5）解答函数中参数问题时，为避免忽视数学转化思想正确运用的雷区，需要理解并掌握数学的转化思想，注意数学转化思想的正确运用。
〔练习5〕解答下列各题：
已知函数f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为 。
2、若关于x的方程+a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是 。
3、已知函数函数f(x)= +3x-5，x[t，t+1]，若函数f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知关于x的方程-a+4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（ ）（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+）
+ax-a+1，x≤0，（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
2、函数f(x)= ln（x+2）-a，x>0，若f()=f(0)（>0），= ；若函数f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是 。
x+1，x≤a，
3、若函数f(x)= -3x+2，x>a，恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）（成都市2024-2025学年度高一上期期末名校联盟考试）
A （-，1]（2，+） B （-，-1）（1，+）
C （-，-1）[1，2） D （-1，1]（2，+）
4、已知函数f(x)=+1，x≥1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市2023-2024学年度高一上期期末名校联盟考试）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
5、已知函数f(x)=（m+4x+3），mR，若函数f(x)在区间[-1，+）上单调递增，则m的取值范围为（ ）（成都市2023-2024学年度高一上期期末名校联盟考试）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
6、若函数f(x)= -a，x<2，恰有四个零点，则实数a的取值范围是 。
（x-a）（x-2a），x≥2，（成都市2023-2024学年度高一上期期末名校联盟考试）
7、（多选）已知一元二次方程+（m+1）x+ =0(mZ），有两个实数根，，且0<
<1<<3，则实数m的值为（ ）（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
A -2 B -3 C -4 D -5
8、（多选）已知函数 f(x)=+x-2，g(x)=lnx+x-2，且 f(a)=g(b)=0，则下列结论正确的是（ ）（成都市2023-2024学年度高一上期期末调研考试）
A a<1『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高一上期期末调研考试（或名校联盟考试）试卷中关于函数中参数问题的试题，归结起来主要包括：①函数概念的参数问题；②函数性质的参数问题；③函数值（或函数值域，或函数最值）的参数问题；④函数零点的参数问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，分辨清楚问题属于哪一类型；②按照解答该种类型问题的基本思路和方法实施解答；③得出问题解答的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
若m是方程x+lnx-3=0的根，则下列选项正确的是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A 12、已知函数f(x)=-1的定义域为[m，n]（m，n为整数），值域为[0，]，则满足条件的整数对（m，n）共有（ ）对（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A 3 B 4 C 5 D
3、（多选）已知函数 f(x)=x，x（0，1），若函数g(x)= f(x)-m恰有两个零点，则实数m
-+4x-3，x[1，+），不可能是（ ）（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A -2 B -1 C 0 D 1
4、（多选）已知函数 f(x)=+6x，x≤0，若关于x的方程4（x）-4 f(x)+2+3=0有5个不同的实根，则实数可能取值有（ ）
-1，x>0，（成都市2022-2023学年度高一上期期末名校联盟考试）
A - B - C - D -
5、已知函数f(x)= 在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2021-2022学年度高一上期期末调研考试）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对区间（- ，0]上的任意，，当时，都有<0，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是 。（成都市2021-2022学年度高一上期期末调研考试）
函数中参数问题的类型与解法
【大纲解读】
理解参数的定义，掌握参数分类讨论的法则与基本方法；
能够运用参数分类讨论的法则与基本方法，解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、参数的基本概念：
1、参数的定义：数学问题中取值不能确定的字母，称为参数。
2、理解参数定义时应该注意的问题：理解参数定义时应该抓住参数的两个特征：①参数是数学问题中的一个字母；②这个字母的取值不确定。
二、参数分类讨论的法则与基本方法：
1、参数分类讨论的法则：参数分类讨论的法则是不重复不遗漏。①若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的二次项系数，则应按参数是否等于零进行分类；②若问题中涉及到一元二次方程（或一元二次函数，或一元二次不等式）的两个根（或两个零点）含参数，则应按两根（或两个零点）的大小进行分类；③若一元二次函数图像的对称轴含有参数，则应按对称轴在问题给定区间的左边，之间，右边进行分类；④若一元二次函数给定的区间含参数，则应按给定区间在一元二次函数图像对称轴的左边，之间，右边进行分类；⑤若问题中含有（参数为实数）的条件，则应按参数大于零，等于零，小于零进2、参数分类讨论的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题参数所属的类型；②按照该类参数问题分类讨论的法则对参数进行正确的分类；③在②的基础上对参数各种取值情况下实施问题的解答；④综合得出问题解答的结果。
三、函数问题中参数问题解答的基本方法：
1、函数问题中参数问题的类型：纵观各类试卷，函数中的参数问题，归结起来主要包括：①函数概念中的参数问题；②函数性质中的参数问题；③函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题；④函数零点中的参数问题等几种类型。
2、解答函数问题中参数问题的基本方法：①根据问题给定的条件，分辨清楚问题所属的类型；②运用该类型问题的解答思路和解答的基本方法，对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果。
考点1函数概念中的参数问题:热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域；热点②，已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2函数性质中的参数问题：热点①，已知函数含有参数的解析式，判断函数的单调性（或奇偶性，或周期性）；热点②，已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点3函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题；热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数的值（或函数值域，或函数最值）；热点②，已知函数的值（或函数值域，或函数最值），求参数的值（或取值范围）；
考点4函数零点中的参数问题：热点①，已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）；热点②，函数零点（或函数零点的个数），求参数的值（或取值范围）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
求函数y= (a＞0且a≠1)的定义域。
解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②对数定义与性质；③求解不等式的基本方法；④参数分类讨论的法则与基本方法。
【解题思路】根据二次根式和对数的性质，运用求解不等式的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式分别求出自变量x的取值范围，就可求出函数y= (a＞0且a≠1)的定义域。
【详细解答】函数f(x)有意义，必有 （x-1）0，且x-1>0,①当a>1时， x-11，且x-1>0,解之得： x2；②当00,解之得：11时，函数y= (a＞0且a≠1)的定义域为[2，+），②当0已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①三次根式的定义与性质；②分式的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式。
【解题思路】根据立方根，分式和一元二次函数的性质，运用一元二次方程根的判别式，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，a+ax-3≠0在R上恒成立，①当a=0，a+ax-3=0+0-3=-3≠0成立；②当a≠0时，a+ax-3≠0在R上恒成立，方程a+ax-3=0无实数解，=+12a<0，-12若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式。
【解题思路】根据函数定义域，二次根式和一元二次函数的性质，运用一元二次方程根的判别式，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式，就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R，-10在R上恒成立，1在R上恒成立，-2ax-a0在R上恒成立，=4+4a0，-1a0，函数f(x)的定义域为R，实数a的取值范围是[-1，0]。
已知函数y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定义域为R，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③一元二次函数的定义，图像与性质；④一元二次方程根的判别式；⑤参数分类讨论的数学思想与方法。
【解题思路】根据对数函数，复合函数和一元二次函数的性质，运用一元二次方程根的判别式和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件得到各种情况下关于a的不等式，分别求解不等式，就可综合求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)的定义域为R， (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，①当a=-1时，(-1)+(a+1)x+1>01>0成立；②当a=1时，(-1)+(a+1)x+1>02x+1>0，x（-，-）时，2x+1<0与题意不符；③当a≠1时，(-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，-1>0，且=-4(-1)< 0，解之得： a>或a<-1；综上所述，当函数f(x)的定义域为R时，实数a的取值范围是（-，-1]（，+）。
『思考问题1』
【典例1】是函数概念中的参数问题，解答这类问题需要理解函数定义域和参数的定义，掌握求函数定义域的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
函数概念中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域；
②已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）两种类型；
解答已知函数含有参数的解析式，求函数的定义域问题的基本方法是：①根据函数定义域和参数的性质；②运用求函数定义域的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
解答已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：
①根据问题条件得到高一参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求函数y=(a＞0且a≠1)的定义域。（答案：①当a＞1时，函数y=(a＞0且a≠1)的定义域是［0，+∞）；②当0＜a＜1时，函数y=(a＞0且a≠1)的定义域是（-1，0］）
2、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。（答案：若函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值范围是（-，0）（0，］）
3、若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是 。（答案：若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是［0，3））
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=+1，x≥1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
(2-a)x+2，x<1，
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断（或证明）函数单调性的基本方法；④求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)在R上是增函数，a>1①，2-a>0②，a+1≥2-a+2③,联立①②③
解得：≤a<2，若函数f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是[，2）,D正确，选D。
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、若函数f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值为4，且函数g(x)=（1-m）在
R上是减函数，则实数m的取值范围为（ ）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③函数单调性调研与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数，对数函数和函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于实数m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当a>1时，函数f(x)=x在[2，4]上单调递增，函数f(x)=x 在[2，4]上的最大值为f(4)=4=4，解之得：a=>1；当01，此时无解，综上所述，若函数f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值为4，则a=，函数g(x)=（1-m）在R上是减函数，1-m<0，解之得： m>1，
A正确，选A。
3、已知函数f(x)=-2ax-3在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=-2ax-3在区间[1，2]上是单调递增函数，函数f(x)=-2ax-3图像的对称轴x=-=a≤1，B正确，选B。
4、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】根据周期函数和偶函数的性质，运用求解不等式的基本方法，结合问题条件，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数， f(5)= f(23-1)= f(-1)= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-15、已知函数f(x) = 2023+2024x，x≤0，为奇函数，则a+b=（ ）
a+bx，x>0，
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断（或证明）函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，运用判断（或证明）函数奇偶性的基本方法，结合问题条件求出a+b的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x）为奇函数，f(1）=a+b，ff(-1）=2023-2024=-1，f(1）=-f(-1），a+b=1，C正确，选C。
6、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= 。
【解析】
【知识点】①偶函数定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，运用求解方程的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的值。
【详细解答】 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
7、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，
，0x≤1，
其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 。
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求解方程组的基本方法。
【解题思路】根据周期函数的性质，运用求解方程组的基本方法，结合问题条件，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值求出a，b的值，从而就可求出a+3b
的值。
【详细解答】 f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
讨论函数f(x)=x+ (a＞0)的单调性。
【解析】
【知识点】①函数单调性定义与性质；②参数分类讨论原则和基本方法；③判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数单调性的性质，运用参数分类讨论原则与基本方法和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，对参数a的可能情况分别考虑，就可综合得出函数f(x) 的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①当1-＞0，即＞时，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函数f(x) 在区间［，+∞）上是增函数；②当1-＜0，即＜时，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函数f(x) 在区间（0，）上是减函数；同理可得函数f(x) 在区间（-∞，］上是增函数；在区间（-，0）上是减函数；综上所述，当a＞0时，函数f(x) 在区间（-∞，］，［，+∞）上是增函数，在区间（-，0），（0，）上是减函数。
已知函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】根据对数函数，复合函数和函数单调性的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】 a>0，且a1，函数g(x)在（0，1）上单调递减，函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，a>1，若函数f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的减函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）。
设函数f(x)=lg，若当x(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①复合函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断复合函数单调性的法则和基本方法。
【解题思路】根据复合函数，对数函数和函数单调性的性质，运用判断复合函数单调性的法则和基本方法，结合问题条件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，从而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分离参数a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判断函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调性，求出函数h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，设h(x)= --，函数h(x) 在(-∞,1〕上的单调递增，当x(-∞,1〕时，= h(1)=- - =- ，a>-，若函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，则实数a的取值范围是（-，+∞）。
11、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域定义与性质；②复合函数定义与性质；③分式定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤函数奇偶性定义与性质；⑥函数单调性定义与性质；⑦求函数定义域的基本方法；⑧判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；⑨判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数定义域，对数函数，复合函数和分式的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的定义域；（2）根据函数奇偶性，对数函数和分式的性质，运用判断（或证明）函数奇偶性的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)是奇函数；（3）根据函数单调性，对数函数和分式的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件就可判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；（4）根据底数a的两种可能情况分别得到关于x的不等式，求解不等式就可综合得出使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有 >0，-11时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当01时， f(x)＞0，>1，01时， f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
12、若函数f(x)=1-为定义在R上的奇函数。
（1）求实数a的值，并证明函数f(x)的单调性；
（2）若存在实数x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求实数k的取值范围。
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断（或证明）函数单调性的基本方法；④求函数在给定区间上最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据奇函数函数和函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的值，从而证明函数f(x)的单调性；（2）根据奇函数函数的性质，结合问题条件得到实数k关于某个函数的不等式在区间[-1，1]恒成立，运用求函数最值的基本方法求出该函数在区间[-1，1]上的最值，就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)=1-为定义在R上的奇函数，f(0)=1-为==0，a=2，任取，R，且<，f()-f()=1--1+=
=<0，函数f(x)在R上单调递增；（2）函数f(x）为定义在R上的奇函数，不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，不等式f(k.)-f(-1)≥0能成立，不等式f(k.)≥f(-1)，函数f(x)在R上单调递增，不等式f(k.)≥f(
-1)能成立，x[-1，1]使得不等式k.≥-1，x[-1，1]使得不等式k≥-，设t=,g（t）=-+2t，x[-1，1]，t[，2]，函数g（t）在[，2]上的最小值为g（2）=-4+4=0，x[-1，1]使得不等式k≥-，t[，2]使得不等式k≥-+2t，k,≥0，若存在实数x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，则实数k的取值范围是[0，+）。
『思考问题2』
【典例2】是函数性质中的参数问题，解答这类问题需要理解函数单调性（或奇偶性，或周期性）和参数的定义，掌握判断（或证明）函数单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
（2）函数性质中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，判断（或证明）函数的单调性（或奇偶性，或周期性）；②，已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数含有参数的解析式，判断（或证明）函数的单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法是：①根据函数单调性（或奇偶性，或周期性）和参数的性质；②运用判断（或证明）函数单调性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知函数的单调性（或奇偶性，或周期性），求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据问题条件得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）（答案：C）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函数f(x)=+（2a-1）x+1在区间（-∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）（答案：B）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函数f(x)是定义在[0，+∞）上的减函数，则当f(2a-1)>f()时，实数a的取值范围为（ ）（答案：C）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函数f(x)= （2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立，
，x1，那么实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（1，2）。）
5、若函数f(x)= 为奇函数，则a= 。（答案：a=-1。）
6、讨论函数f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的单调性。（答案：函数f(x)在区间（-1，1）上单调递减。）
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)，求证函数f(x)是奇函数。（提示：用定义法进行证明。）
8、已知函数f(x)= (a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。（答案：（1）函数f(x)是奇函数；（2）f(x)的值域为（-1，1）。）
9、定义在区间D={x\x0}上的函数f(x)，对a，bD，都有f(ab)=f(a)+f(b)，且当x>1时，f(x)>0。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
（2）判断函数f(x)在（0，+）上的单调性，并证明；
（3）若f(2)=3，求满足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的实数m的取值范围。
（（1）是偶函数，提示：用定义法证明；（2）函数f(x)在（0，+）上单调递增，提示：用定义法证明；（3）满足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的实数m的取值范围是（-1，-）（-，0）（，1）（1，）。）
【典例3】解答下列问题：
1、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；
④指数的定义与性质；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据函数值，分段函数和指数的性质，运用求分段函数值的基本方法和数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】①当a＜时，由f(a)=3a-1＜1， f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②当 a＜1时，由f(a)=3a-1＞1， f(f(a))=f(3a-1)= =，③当a≥1，由f(a)= ＞1， f(f(a))=f()==，综上所述，当f(f(a))= 时，实数a的取值范围是［，+），C正确，选C。
2、已知函数f(x)= -+2x (x≤0),若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是（ ）
ln(x+1) (x＞0)
A （-∞，0〕 B （-∞，1〕 C 〔-2，1〕 D 〔-2，0〕
【解析】
【知识点】①分段函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】作出根据分段函数，一元二次函数和对数函数的性质，运用参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件，就可综合求出实数a的取值范围。
【详细解答】作出函数|f(x)|的图像如图所示，①当x＞0时，y=ax只有 y
a0时，才能满足|f(x)| ≥ax，可排除B，C；②当x<0时，y=|f(x)| y=|f(x)|
=|-+2x|=-2x，|f(x)| ≥ax，-2x≥ax，-（a+2)x≥0， 0 x
a≥x-2，x-2＜-2, a≥-2；③当x=0时，0-0≥0成立， 综上所述，若| f(x)|≥ax，则实数a［-2,0］, D正确，选D。
3、设直线x=t与函数f(x)=，g(x)=lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②对数函数的定义，图像与性质；③导数的定义与求法；④运用导数求最值的基本方法。
【解题思路】设函数h(x)= -lnx，根据一元二次函数，对数函数和函数导函数的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件得到|MN|=-lnx，从而求出函数h(x)的最小值时t的值，就可得出选项。
【详细解答】根据题意可得|MN|=-lnx，设h(x)= -lnx，（x）=2x-=，令（x）=0得x=，x∈（0, ）时，（x）＜0，x∈（，+ ）时，（x）＞0，函数h(x)在（0, ）上单减，在（，+ ）上单增，=h()，当x=，即t=时，|MN|达到最小值，D正确，选D。
4、设a∈R,若x＞0时均有〔（a-1）x-1〕(-ax-1)≥0,则a= 。
【解析】
【知识点】①一元一次函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③数形结合数学思想及运用。
【解题思路】根据一元一次函数和一元二次函数的性质，运用数形结合的数学思想，结合问题条件就可求出实数a的值。
【详细解答】设函数=（a-1）x-1，=-ax-1，作出函数 y =-ax-1
EMBED Equation.DSMT4 =（a-1）x-1，=-ax-1的图像如图所示，函数=（a =-ax-1
-1）x-1，=-ax-1的图像都过定点P（0，-1），对函数=（a 0 M x
-1）x-1，令=0解之得：M（，0），当a＞1时，函数=-ax-1显然过点M（，0），--1=0，解之得：a=，a＞1，a=。
5、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 。
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②求函数值的基本方法；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，运用求解方程的基本方法求解方程，就可求出a的值。
【详细解答】 f()=a-=2a-， f()=f（2a-）=a-=4-4+2a-=-，4-4+2a=0，a=0或a=，a＞0， a=。
6、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 。
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②分段函数定义与性质；③求分段函数值的基本方法；④求解方程的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据函数值和分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，参数分类讨论的法则与基本方法和求解方程的基本方法，结合问题条件得到不同情况下关于a的方程，求解方程分别求出实数a的值，就可综合得出实数a的值。
【详细解答】 a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①对数函数的定义，图像与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设g(x)=a-x，根据对数函数和复合函数的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件
判断函数f(x)在区间〔2,4〕的单调性，从而就可求出函数f(x)在区间〔2,4〕上的最大值和最小值。
【详细解答】设g(x)=a-x，作出函数g(x)的图像如图所示，
EMBED Equation.DSMT4 由图可知，函数f(x)的定义域为（-，0）（，+）， y
函数g(x)在（-，0）上单减，在（，+）上单增，根据
a＞1，函数f(g(x))在（-，0），（，+）上单增，函数
f(x) 在（-，0）上单减，在（，+）上单增，函数f(x) 0
在区间〔2,4〕单调递增，当x〔2,4〕时，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
8、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用导数判断函数单调性的基本方法；④求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件就可求出实数 a的取值范围；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减，根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和求解探索性问题的好吧方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a取值范围，从而得到存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减。
【详细解答】（1）函数f(x)在R上单增，（x）=3-a0在R恒成立，3a在R上恒成立，设g(x)= 30，=0，当函数f(x)在R上单增时，实数a的取值范围是（-，0］；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1,1）上单调递减，由（1）知（x）=3-a，函数f(x)在（-1,1）上单调递减， （-1）=3 -a=3-a0①，（1）=3 -a=3-a0②，联立①②解得：a3，存在实数a∈［3，+），使函数f(x)在（-1,1）上单调递减。
9、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0,2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数最值存在定理及运用；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤参数分类讨论的法则与基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的导函数 （x）；（2）根据函数最值存在定理，运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件，就可求出函数f(x)在区间〔0，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-1=；（2）令（x）=0解得：x=1-a，①当1-a＜0，即a＞1时，（x）＜0在［0，2］上恒成立，函数f(x)在［0，2］上单调递减，=f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a＜2，即0＜a＜1时，x∈［0,1-a）时，（x）＞0，x∈（1-a，2］时，（x）＜0， f(0) =lna，f(2)=ln(2+a)-2，f(2) -f(0)=ln(x+a)-2-lna=ln -2，若ln -20，即，xa（-1）时，=f(0)=lna；若ln -2＜0，即＜，x＜a（-1）时，=f(2)= =ln(2+a)-2；综上所述，当x∈［0, a（-1））（1，+ ）时，=f(2)= =ln(2+a)-2；当x∈（ a（-1），1］时，=f(0)=lna。
10、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0,2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④函数最值存在定理及运用；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数导函数和函数单调性的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式，从而就可求出实数a的取值范围；（2）根据函数导函数的性质，运用函数最值存在定理和函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件，就可求出函数f(x) 在区间（0,2〕上的最大值。
【详细解答】（1）函数f(x)在（0，2］上单增，（x）=a+ = 0在（0，2］恒成立，a+10在（0，2］上恒成立，a-在（0，2］上恒成立，设g(x)= -，函数g(x) 在（0，2］上单调递增，=g(2)=- ，a-，若函数f(x)在（0，2］上单增，则实数a的取值范围为［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时， 函数f(x) 在（0，2］上单调递增，=f(2)=2a-；②当a＜-时，令（x）=0解得：x=， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x)在（0，）单调递增，在（，2］单调递减，= f()
=a-=-2，综上所述，当a-时，=f(2)=2a-；当a＜-时，= f()=-2。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断（或证明）函数单调性的基本方法；④分段函数定义与性质；⑤求一元二次函数在闭区间上最值的基本方法；⑥求函数最值的基本方法；⑦参数分类讨论的原则和基本方法；
【解题思路】（1）根据一元二次函数和函数单调性的性质，运用求一元二次函数在闭区间上最值的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件求出函数f(x)在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），就可求出函数g(a)的函数表达式；（2）根据函数单调性和分段函数的性质，运用判断（或证明）函数单调性和求函数最值的基本方法，结合问题条件判断函数g(a)在区间［，）和区间［，1]上的单性，从而就可求出函数 g(a)的最小值。
【详细解答】（1）函数f(x)图像的对称轴为x=-=，≤a≤1, 1≤≤3， N（a）=f()=-2+1 =1-，f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①当≤a≤1时, f(3)- f(1) 0，M(a)=9a-5；②当≤a＜时, f(3)- f(1) <0， M(a)=a-1； g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6，≤a≤1，
a+-2，≤a＜；
（2）当≤a≤1时,任取，［，1］，且＜，f()-f()=9+-6-9-+6=（-）（9-）＜0， 函数g(a)在［，1］上单调递增；当≤a＜时, 任取，［，），且＜，f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，函数 g(a)在［，）上单调递减；函数g(a)的最小值为g()=9+2-6=。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数单调性定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法；③求函数最值的基本方法；④求解不等式恒成立问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件判断函数f(x)在［1，+）上的单调性，从而就可求出函数f(x)的最小值；（2）根据对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，对任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，运用求解不等式恒成立问题的基本方法，就可求出实数a的求值范围。
【详细解答】（1）当a=时， f(x)= =x+2+，x∈［1，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2+（-）--2=（-）（2-）＜0， 函数f(x)在在［1，+）上的单调递增， = f(1)=1+21+=；（2）由对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，对任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，设g(x)= --2x，函数g(x)在［1，+）上单调递减，= g(1)=-3， a＞-3，a1，若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，则实数a的求值范围是（-3，1］。
『思考问题3』
【典例3】是函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题，解答这类问题需要理解函数值（或函数值域，或函数最值）和参数的定义，掌握求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
（2）函数值（或函数值域，或函数最值）中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数值（或函数值域，或函数最值）；②，已知函数值（或函数值域，或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数含有参数的解析式，求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法是：①根据函数值（或函数值域，或函数最值）和参数的性质；②运用求函数值（或函数值域，或函数最值）的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法分别对问题实施解答；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知已知函数值（或函数值域，或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据问题条件得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组），求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若存在正数x使（x-a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）（答案：D）
A （-∞，+∞） B （-2，+∞） C （0，+∞） D （-1，+∞）
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）（答案：A）
lnx，x≥1，
A （-，-1］ B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设常数a＞0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则实数a的取值范围为 。（答案：当a＞0时,若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则实数a的取值范围为［，+∞））
4、若f(x)=+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值。（答案：f(-1)=8）
5、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值。（答案：f(x)的最大值为+（k＞1）；最小值为+（k＜1））
6、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值。（答案：函数f(x)的最小值为2（1-））
7、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。（答案：（1）若f(x)的定义域是R，则实数m的取值范围是（1，+∞）；（2）当m＞1时，函数f(x)的最小值为（m+ ）。）
8、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）实数a的取值范围是［-1，+）；（2）当a≥-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为2a-1；当a<-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f()=-3。)
【典例4】解答下列问题：
1、若a＜b＜c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（ ）
A （a，b）和（b，c）内 B （-，a）和（a，b）内
C （b，c）和（c，+）内 D （-，a）和（c，+）内
【解析】
【知识点】①函数零点定义与性质；②函数零点存在定理及运用；③判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，对各选项的区间进行判断就可得出选项。
【详细解答】 f(a)=(a-a)(a-b)+(a-b)(a-c)+(a-c)(a-a)= (a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-a)
(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)(b-a)= (b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)+(c-b)(c-c) +(c-c)(c-a)
= (c-a)(c-b)>0， f(a). f(b)<0，f(b). f(c)<0，函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)
+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，A正确，选A。
2、满足a，b{-1，0，1，2}，且关于x的方程a+2x+b=0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A 14 B 13 C 12 D 10
【解析】
【知识点】①参数分类讨论的原则与基本方法；②一元二次方程的定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用。
【解题思路】根据一元二次方程的性质，运用参数分类讨论的原则与基本方法和一元二次方程根的判别式，结合问题条件分别确定出参数a，b的可能取值，从而得到所有可能有序数对（a，b）的个数就可得出选项。
【详细解答】①当a=0时，方程a+2x+b=0，2x+b=0，b在{-1，0，1，2}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；②当a=-1时，=4+4b=4（1+b），1+b0，即b-1，方程a+2x+b=0有实数解， b在{-1，0，1，2}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；③当a=1时，=4-4b=4（1-b），1-b0，即1b，方程a+2x+b=0有实数解， b在{-1，0，1}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（1，-1），（1，0），（1，1）；④当a=2时，=4-8b=4（1-2b），1-2b0，即b，方程a+2x+b=0有实数解， b在{-1，0}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（2，-1），（2，0），综上所述，若满足a，b{-1，0，1，2}，且关于x的方程a+2x+b=0有实数解的有序数对（a，b）的个数为13个，B正确，选B。
3、设函数f(x)= -ax(a＞0)的零点都在区间〔0，5〕上，且函数g(x)= 与函数h(x)= -a的图像的交点的横坐标为正整数，则实数a的取值有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 无数个
【解析】
【知识点】①函数零点定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围，从而确定实数a取值的个数就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= -ax(a＞0)的零点都在区间〔0，5〕上，由f(x)= -ax=0，解之得：x=0或x=，0<5，04、函数f(x)= --a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）
A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2）
【解析】
【知识点】①函数零点定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= --a的一个零点在区间（1，2）内，且在（1，2）上单调递增，f(1)= 2-2-a=-a，f(2)= 4-1-a=3-a， f(1). f(2)=-a（3-a）<0，05、设函数f(x)= ，g(x)= a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A（，），B（，），则下列判断正确的是（ ）
A 当a＜0时，+＜0，+＞0 B 当a＜0时，+＞0，+＜0
C 当a＞0时，+＜0，+＜0 D 当a＞0时，+＞0，+＞0
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条件对关于参数a>0（a<0）分别确定+，+的取值范围就可得出选项。
【详细解答】y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点，方程a+bx-=0有两个不同的实数根，，a+b-1=a（x-）=a（-2+x-+2x-），b=a（-2-）.+2=0，-a=-1，+2=0，a,0，①当a>0时，>0，+=-<0，+=+=>0；②当a<0时，<0，+=->0，+=+=<0，B正确，选B。
6、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一个正根和一个负根，则有（ ）
A a＜0 B a＞0 C a＜-1 D a＞1
【解析】
【知识点】①一元二次方程的定义与性质；②一元二次方程根的判别式及运用；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用。
【解题思路】根据一元二次方程的性质，运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式求出参数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】元二次方程a+2x+1=0（a0）有一个正根和一个负根，<0，即a<0，A正确，选A。
7、已知函数f(x)= x+x-b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点∈（n，n+1），n∈，则n= 。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条件确定函数f(x)的零点所在的区间，从而就可求出实数n的值。
【详细解答】2＜a＜3＜b＜4，f(1)=0+1-b=1-b <0，f(2)= 2+2-b<1+2-b=3-b<0，f(3)= 3+3-b>1+3-b=4-b>0，函数f(x)的零点在区间（2，3）内，函数f(x)的零点∈（n，n+1），n∈，n=2。
8、已知函数f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】设函数g(x)= a|x-1|，方程f(x)-a|x-1|=0，方程f(x)=a|x-1|，在同一直角坐标系作出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，由图可知方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，函数f(x)，g(x)的图像恰有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，联立函数f(x)，g(x)的解析式所得的方程：+（3-a）x+a=0有两个不相等的实数根，=-4a=-10a+9>0，a<1或a>9，由图知a>0，09，即：若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是（0，1）（9，+ ）。
9、方程+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围为 。
【解析】
【知识点】①一元二次方程的定义与性质；②一元二次方程根的判别式及运用；③一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】根据一元二次方程的性质，运用一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件得到关于参数m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】设方程+（m-2）x+5-m=0的两根分别为，，<，方程+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，=-4（5-m）=-160①，（-2）（-2）=-2（+）+4=5-m+2m-4+4=m+5>0②，联立①②解得：-510、已知函数f(x)= +（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②一元二次方程的定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】根据函数零点和一元二次方程的性质，运用一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】设方程+（-1）x+（a-2）=0的两根分别为，，<，函数f(x)= +（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，=-4（a-2）
=-2-4a+90①，（-1）（-1）=-（+）+1=a-2+-1+1 =+a-2<0②，联立①②解得：-2已知函数f(x)= m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②参数分类讨论的原则与基本方法；③一元二次方程定义与性质；④一元二次方程根的判别式及运用；⑤一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】根据函数零点和一元二次方程的性质，运用参数分类讨论的原则与基本方法，一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件分别得到关于参数m的不等式（或不等式组），求解不等式（或不等式组）就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】①当m=0时，函数f(x)= m+（m-3）x+1=-3x+1的零点为x=>0，函数f(x)= m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0；②当m 0时，设函数f(x)= m+（m-3）x+1的零点方分别为，，<，若<0，>0，由=-4m=-10m+90，且.=<0解得：m<0，若0<<，由=-4m=-10m+90，且.=>0解得：012、已知函数f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g(x)- f(x)=0有两个相异实根。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用；③求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数零点的性质，运用求函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于参数m的不等式，求解不等式就可求出实数m的取值范围；（2）根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理，结合问题条件得到关于参数m的不等式，求解不等式就可求实数m的取值范围。
【详细解答】（1） g(x)=m有零点，方程x+-m=0有实数根，x+ 2 2e，当且仅当x=e时等号成立， 函数g(x)的值域为[2e，+ ），m2e，若g(x)=m有零点，则实数m的取值范围是[2e，+ ）；（2）方程g(x)- f(x)=0有两个相异实根，函数g(x)， f(x)的图像由两个不同的交点，在同一直角坐标系中作出函数g(x)， f(x)的图像如图所示，函数f(x)=-+2ex+m-1=- +m-1+ 图像的对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+ ，由图知，当m-1+ >2e，即m>1- +2e时，函数g(x)， f(x)的图像由两个不同的交点，即方程g(x)- f(x)=0有两个相异实根，若g(x)- f(x)=0有两个相异实根，则实数m的取值范围是（1- +2e，+ ）。
『思考问题4』
【典例4】是函数零点中的参数问题，解答这类问题需要理解函数零点和参数的定义，掌握求函数零点的基本方法和参数分类讨论的法则与基本方法；
函数零点中的参数问题主要包括：①已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）；②已知函数零点（函数零点的个数，或函数零点所在的区间），求函数解析式中参数的值（或取值范围）两种类型；
解答已知函数含有参数的解析式，求函数零点（或函数零点的个数）问题的基本方法是：①根据参数分类讨论的法则与基本方法，对参数进行正确的分类；②在①的基础上分别求出函数的零点（或函数零点的个数）；③综合得出问题解答的结果；
（4）解答已知函数零点（或函数零点的个数，或函数零点所在的区间）求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法有：①直接法；②分离参数法；③数形结合法；
（5）直接法的基本方法是：①判断函数的单调性；②利用零点存在定理得到关于参数的不等式（或不等式组），③求解不等式（或不等式组）得出参数的值（或取值范围）；
（6）分离参数法的基本方法是：①把原函数解析式中的参数分离出来与一个新函数构成不等式；②求出新函数的最值；③得出参数的值（或取值范围）；
（7）数形结合法的基本方法是：①对解析式变形，化为两个函数相等的等式；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图像；③根据所作函数图像得出参数的值（或取值范围）。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=3ax+1-2a在区间（-1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）（答案：B）
A a＞ B a＞或a＜-1 C -1＜a＜ D a＜-1
2、已知方程| -a|-x+2=0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）（答案：B）
A 0＜a＜4 B a＞4 C 0＜a＜2 D a＞2
3、已知函数f(x)= x ，x 0，若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，则实数m的取值范
-x，x＞0，围是（ ） （答案：C）
A ［-，1］ B ［-，1） C （-，0） D （-，0］
4、已知函数f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一个零点为1，则函数f(x)的所有零点为 ；（答案：函数f(x)的所有零点为x=1或x=-。）
5、若函数f(x)= -2x-a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（2-2ln2，+）。）
6、已知函数f(x)= +x+a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为 。（答案：实数a的取值范围是（-2，0）。）
7、若函数f(x)=| -2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是 。（答案：实数b的取值范围是（0，2）。）
8、已知函数f(x)= x+x-b(a＞0且a1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x （n，n+1），nN，则n= 。（答案：n=2）
9、若函数f(x)= (m-2)+mx+2m+1的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，则实数m的取值范围是 。（答案：实数m的取值范围是（，）。）
10、若方程-2mx+2=0的两个不同根都小于1，则实数m的取值范围是 。（答案：实数m的取值范围是（-，-）。）
11、已知函数f(x)= 2(m+1)+4mx+2m-1，如果函数的两个零点在原点的两侧，则实数m的取值范围是 。（答案：实数m的取值范围是（-，-1）（-1，）。）
12、方程-（k+2）x+1-3k=0有两个不等的实数根 ，，且0＜＜1＜＜2，则实数k的取值范围是 。（答案：实数k的取值范围是（0，）。）
13、若方程a-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是（2，+）。）
【雷区警示】
【典例5】解答下列问题：
函数f(x)=在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（ ）
A B 2 C 4 D
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②函数最值定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数最值的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件，从a>1和0【详细解答】①当a>1时，函数f(x)=在[0，1]上单调递增，=f(0)=1，
=f(1)=a，1+a=3，a=2；②当0=f(1)=a，=f(0)=1，1+a=3，a=2，02、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)= f(1+a)=，则a的值为 。
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法；③参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求函数值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件，从a>0和a<0两种情况考虑分别得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1， f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1， f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1， f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=- <0，当a0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
3、若函数f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有两个零点，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②指数函数定义与性质；③一元一次函数定义与性质；④数学转化思想及运用。
【解题思路】根据函数零点，指数函数和一元一次函数的性质，运用数学转化思想，结合问题条件，确定出函数f(x)有两个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=-x-a（a>0，且a1）有 y =y y=x+a y y=
两个零点，函数y=与函数y=x+a的图像有两个 0 x y=x+a 0 x
交点，在同一直角坐标系中作出函数y=与函数y=x+a的图像如图所示，若当01时，函数y=与函数y=x+a的图像有两个交点，即函数f(x)有两个零点，综上所述，若函数f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+）。
4、已知函数函数f(x)= +2xtan-1，x[-1，]，其中（-，）。
当=时，求函数f(x)的最大值与最小值；
求的取值范围，使y=f(x)在区间[-1，]上是单调函数。
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②正切三角函数定义与性质；③函数单调性定义与性质；④求一元二次函数最值的基本方法；⑤判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次函数和正切三角函数的性质，运用求一元二次函数最值的基本方法，结合问题条件，就可求出当=时，函数f(x)的最大值与最小值；（2）根据一元二次函数，正切三角函数和函数单调性的性质，运用判断函数单调性的基本方法，就可求出使y=f(x)在区间[-1，]上是单调函数的取值范围。
【详细解答】（1）当=-时，f(x)= +2xtan-1=f(x)= -x-1， -1-=，函数f(x)的最大值为f(-1)=1+-1=；（2）函数函数f(x)= +2xtan-1的对称轴为x=-tan，（-，），x=-tan<-1或x=-tan>，即tan>1或tan<-时，y=f(x)在区间[-1，]上是单调函数，<<-或-<<-，当（-，-）（，）时，y=f(x)在区间[-1，]上是单调函数。
『思考问题5』
【典例5】是解答函数中参数问题时容易触碰的雷区，该类问题常见的雷区主要包括：①忽视函数解析式有意义（或隐含）的条件；②忽视分段函数求值时，各段的定义域；③忽视问题涉及到的基本知识点及运用基本知识点解答问题的正确方法；④忽视数学转化思想的正确运用；
（2）解答函数中参数问题时，为避免忽视函数解析式有意义（或隐含）的条件的雷区，注意从函数解析式中挖掘其有意义（或隐含）的条件；
（3）解答函数中参数问题时，为避免分段函数求值时，各段的定义域的雷区，注意分辨所求函数值的自变量属于分段函数中的哪一段，从而选取正确的函数解析式求出函数值。
（4）解答函数中参数问题时，为避免忽视问题涉及到的基本知识点及运用基本知识点解答问题的正确方法的雷区，需要对问题涉及的基本知识点是什么，运用该基本知识点解答问题的正确方法是怎样的，做到心中有数；
（5）解答函数中参数问题时，为避免忽视数学转化思想正确运用的雷区，需要理解并掌握数学的转化思想，注意数学转化思想的正确运用。
〔练习5〕解答下列各题：
已知函数f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为 。（答案：a=2）
2、若关于x的方程+a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（-，2-2]。）
3、已知函数函数f(x)= +3x-5，x[t，t+1]，若函数f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式。（答案：当t≤-时，h(t)=+5t-1；当-【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知关于x的方程-a+4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（ ）（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+）
【解析】
【考点】①一元二次方程定义与性质；②指数定义与性质；③数学换元法及运用；④求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】根据指数和一元二次方程的性质，运用数学换元法和求解一元二次方程的基本方法，结合问题条件求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设t=，t（0，+），关于x的方程-a+4=0，关于t的方程-at+4=0，关于x的方程-a+4=0有一个大于22的实数根，关于t的方程-at+4=0有一个大于4的实数根，=-16>0①，>4②，联立①②解之得：a>5，若关于x的方程-a+4=0有一个大于22的实数根，则实数a的取值范围为（5，+），D正确，选D。
+ax-a+1，x≤0，（成都市2024-2025学年度高一上期期末调研考试）
2、函数f(x)= ln（x+2）-a，x>0，若f()=f(0)（>0），= ；若函数f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是 。
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③函数零点定义与性质；④参数分类讨论的法则和基本方法；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和对数函数的性质，运用参数分类讨论的法则与基本方法和求函数零点的基本方法，结合问题条件就可求出的值和实数a的取值范围值。
【详细解答】>0，f()=ln（+2）-a=f(0)= -a+1， y
ln（+2）=1，=e-2；f(x)=0，当x≤0时， 0 x
+ax+1=a，当x>0时，ln（x+2）=a，设函数g(x)=+ax （a>0）
+1，函数h(x)=ln（x+2），在同一直角坐标系中作出函数 y
g(x)，函数h(x)的图像如图所示，根据图像可知，当a>0时，
函数f(x)有三个零点，ln2≤a≤1；当a=0时，函数f(x)最多有
两个零点，与题意不符；当a<0时，函数f(x)最多有两个零
点，与题意不符；综上所述，若函数f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是[ln2,1]
x+1，x≤a，（成都市2024-2025学年度高一上期期末名校联盟考试）
3、若函数f(x)= -3x+2，x>a，恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A （-，1]（2，+） B （-，-1）（1，+）
C （-，-1）[1，2） D （-1，1]（2，+）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②函数零点定义与性质；③确定分段函数零点的基本方法。
【解题思路】根据分段函数和函数零点的性质，运用确定分段函数零点的基本方法，结合问题条件求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当a<-1时，函数f(x)=x+1，x≤a在（-，-1）上没有零点，函数f(x)= -3x+2，x>a