【必修一】第四章 4.4.2 对数函数的图象和性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质
高中数学 · 必修一
知识回顾
一般地，函数叫做对数函数.
其中是自变量，定义域是.
问题1：对数函数的概念？
课程导入
与研究幂函数和指数函数一样，本节课我们首先画出对数函数的图象，然后借助图象研究其性质.
问题2：研究幂函数和指数函数的一般方法是什么？
概念一图象一性质
问题探究
完成对应值表，并用描点法画出函数的图象.
x y
0.5 -1
1 0
2 1
4
6
8
12
16
2
2.6
3
3.6
4
-1
0
1
问题探究
问题3：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？
问题探究
问题4：画出函数 的图象. 和
问题探究
问题5：你能否从解析式的角度解释下为什么这两个函数的图象关于x轴对称？
利用换底公式，可以得到. 因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然.
由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称. 根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象.
问题探究
选取的若干值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，他们有哪些共性？
对数函数的图象与性质
图象
定义域 值域 性质
减函数
增函数
过定点，即时，
对数函数的图象与性质
当时，.
当时，
函数与的图象关于 轴对称.
函数值的变化情况
对称性
当时，.
当时，
例题解析
例3
比较下列各题中两个值的大小：
解：
和 可看作函数 的两个函数值.
（1），；
因为底数，对数函数是增函数，且，所以
例题解析
例3
比较下列各题中两个值的大小：
解：
和可看作函数 的两个函数值.
（2），
因为底数，对数函数是减函数，且，所以
例题解析
例3
比较下列各题中两个值的大小：
解：
和可看作函数 的两个函数值.
（3），.
对数函数的单调性取决于底数是大于1还是小于1，因此需要对底数进行讨论.
当时，因为函数是增函数，且，所以
当时，因为函数是减函数，且，所以
比较下列各题中两个值的大小：
跟踪训练
【解析】
（1），； （2） ，
（3）， （4） ，.
（1）和可看作函数 的两个函数值.
因为底数，对数函数是增函数，且，所以
比较下列各题中两个值的大小：
跟踪训练
【解析】
（1），； （2） ，
（3）， （4） ，.
（2）和可看作函数 的两个函数值.
因为底数，对数函数是减函数，且，所以
比较下列各题中两个值的大小：
跟踪训练
【解析】
（1），； （2） ，
（3）， （4） ，.
（3）由于， ，
又∵ 对数函数是增函数，且，
∴ ， ∴ ， ∴ .
比较下列各题中两个值的大小：
跟踪训练
【解析】
（1），； （2） ，
（3）， （4） ，.
（4） 取中间值1
∵
∴
问题探究
根据指数与对数间的关系，
指数函数
对数函数
观察这两个函数的定义域、值域有何特点？
问题探究
指数函数
对数函数
定义域
值域
函数 是函数 的反函数.
问题探究
通常，我们用表示自变量，表示函数.
这样，对数函数 是指数函数 的反函数.
同时，指数函数也是对数函数 的反函数.
因此，指数函数与对数函数 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
反函数
一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
问题探究
互为反函数的两个函数图像关于直线
课堂小结
对数函数的图象和性质
图象
定义域 值域 性质
减函数
增函数
过定点，即时，
课堂小结
当时，.
当时，
函数与的图象关于 轴对称.
函数值的变化情况
对称性
当时，.
当时，
课堂小结
名称 指数函数 对数函数
一般形式
图象 定义域
值域
单调性 奇偶性
当 时， ， 均为增函数；
当 时， ， 均为减函数.
均为非奇非偶函数
的图象与的图象关于直线对称.
指数函数与对数函数的对比
随堂练习
∵ ，∴ 在 上单调递减，故排除C、D，
【解析】
1、函数的图象大致是（ ）
A B C D
A
又函数的图象过，故A正确.
随堂练习
当时， ，
【解析】
2、函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
C
所以.
随堂练习
对于函数， ，即
【解析】
3、已知函数，则函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
D
解得 .
所以对于函数，有 ，解得 .
因此函数定义域为 .
随堂练习
令可得，
【解析】
4、 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是
当，
所以函数图象恒过点.
随堂练习
∵ 函数的反函数的图象过点
【解析】
5、设函数的图象过点，其反函数的图象过点，则
∴ 函数的图象过点.
又的图象过点，则
，
所以 ，
解得 或舍去)
所以.