【必修一】第四章 4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共30张PPT）

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第四章 指数函数与对数函数
函数的零点与方程的解
高中数学 · 必修一
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二次函数有零点
一元二次方程有实数根
二次函数的图象与x轴有交点
函数的零点
对于一般函数，我们把使实数叫做函数的零点.
定义
函数的零点
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
函数的零点、方程根、图象之间的关系
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有交点.
函数的零点
问题1
函数的零点是点吗？如何求函数的零点？
函数的零点不是点，零点指的是实数.
由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程得到.
问题探究
一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.
Part 02
函数零点存在定理
问题探究
探究一
对于二次函数，观察它的图象，发现它在区间上有零点. 这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值规律来刻画这种关系？
函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
函数零点存在定理
函数零点存在定理
“函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线”这一条可以省略吗？为什么？
问题2：
函数零点存在定理
问题3
若函数满足在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内的零点有多少个？
函数零点存在定理
不确定.
如图（1）（2），虽然都有，但图（1）中函数在区间内有3个零点，图（2）中函数在区间内仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点的个数.
（1）
（2）
函数零点存在定理
问题4
函数在区间内有零点，如何判断零点的个数呢？
函数零点存在定理
观察下面几个函数的图象在区间内的情况
只有1个
只有1个
3个
单调递减
单调递增
零点个数
单调性
函数零点存在定理
若函数 在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且具有单调性，
在区间内有且只有一个零点；
可以利用函数的单调性确定零点的个数
在区间内没有零点.
函数零点存在定理
如果函数在区间上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有，则函数在区间内有且仅有一个零点，即存在唯一的，使得.
函数零点存在定理的推论
例题解析
例1
求方程的实数解的个数.
分析：
可以先借助计算工具画出函数的图象或列出的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.
方程的实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点.
例题解析
解：
设函数，列出函数的对应值表，并画出图象.
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
例题解析
由上表和图象可知，，，则.
由函数零点存在定理推论可知，函数在区间内有一个零点.
为何由画出的图象和 还不能说明函数只有一个零点？
追问
01
因为函数的定义域为，未画出图象的部分还可能存在零点，所以由画出的图象和 不能说明函数只有一个零点.
例题解析
如何确定函数的零点个数？
追问
02
可以利用函数的单调性确定零点的个数.
如果证明函数是增函数，那么函数就只有一个零点.
因为是增函数， 是增函数，
所以是增函数.
所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
例题解析
还有其他方法求方程的实数解的个数吗？
追问
03
因为函数的零点个数就是其对应方程实数根的个数，
所以由，得 .
令， .
在同一个坐标系中作出，的图象.
由图可知与的图象只有一个交点，
则函数仅有一个零点，
相应方程只有一个实数解.
解题方法
判断函数零点的个数的方法
1
对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用函数零点存在定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.
2
由，得，在同一坐标系中作出和的图象，利用图象的交点个数判定方程根的个数.
Part 03
小结及随堂练习
课堂小结
函数的零点与方程的解
函数零点的定义
函数零点与方程的解的关系
函数零点存在定理
函数的图象与 轴的公共点的横坐标
只能判断出零点是否存在
借助函数的单调性
判断零点的个数
随堂练习
1、若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则不存在实数使得.
B. 若，则只存在一个实数使得.
C. 若，则有可能存在实数使得.
D. 若，则有可能不存在实数使得.
【解析】
当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确；
若满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确.
随堂练习
2、函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
，令，
解得 或 或 ，
即函数的零点为，共3个.
随堂练习
3、已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
A. B. C. D.
【解析】
由表可知 ， ， ，
由零点存在定理可知一定存在零点的区间.
那么函数一定存在零点的区间是（ ）
1 2 3 4
6.1 2.9 -3.5 -1
随堂练习
4、 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ ， ，
∴ ，
即的零点所在的区间为.
随堂练习
5、若的零点在区间内，则的取值范围为
【解析】
∵ 是增函数，又的零点在区间内，
∴ ， ∴ ， ∴ .
随堂练习
6、求函数的零点的个数.
【解析】
令，即，
即，
令 ，.
画出两个函数的大致图象，如图所示.
有两个不同的交点.
所以函数有两个零点.