【必修一】第四章 4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
用二分法求
方程的近似解
高中数学 · 必修一
课程导入
问题1
通过上一节课的学习我们知道，函数在区间)内存在一个零点，那该如何求出这个零点呢？
大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解. 如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.
问题探究
为了研究方便，通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
一般地，称为区间的中点.
取区间的中点 ，
用计算工具算得.
函数在区间)内存在一个零点，
问题探究
问题3：如何确定零点是在区间还是内呢？
可根据函数零点存在定理进行判断
由函数的图象可知
，
∵ ，
∴ 零点是在区间内 .
问题探究
∵
∴ 零点是在区间内 .
接着，再取区间的中点 ，
用计算工具算得.
问题探究
可以看出，，
所以零点所在的范围变小了，区间的两个端点越来越逼近零点.
如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. 这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.
问题4：观察以下区间， 有什么关联？
问题探究
精确度
近似数与准确值的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少.
即设为准确值，为的一个近似值，若 ，则是精确度为的的一个近似值.
问题5：如何理解“精确度”呢？
问题探究
问题6：假如精确度为，零点所在区间为，如何得到一个符合要求的零点的近似值呢？
将零点所在区间长度缩小至即可
设函数零点为，，则，.
在数轴上标出，，对应的点，
由图可知 ，
当时，
所以当零点所在区间长度时，此区间内的任意一点都是零点满足精确度的近似值，特别地，可以用区间的端点作为零点的近似值.
问题探究
问题5
当精确度为时，求函数零点的近似值？
问题探究
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
问题探究
因为 ，
所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，
为了方便，我们可以把区间端点作为零点的近似值，
即都可作为函数零点的近似值，
也就是方程的近似解.
问题探究
二分法的定义
通过以上的解题过程，我们归纳一下二分法的定义以及用二分法解题的过程：
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
1. 确定零点的初始区间，验证.
2. 求区间的中点.
3. 计算，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若（此时），则就是函数的零点；
（2）若（此时），则令；
（3）若（此时），则令.
4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4.
二分法的定义
二分法体现了“无限分割，逐步逼近”的数学思想.
理论基础
函数零点存在定理.
适用条件
①函数的图象是连续不断的；
②函数零点左右函数值异号.
例题解析
例
借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1).
分析：
可以转化为求函数 零点的近似解.
根据用二分法求函数零点的近似值的一般步骤来解题.
例题解析
解：
原方程即，令
用信息技术画出函数的图象，并列出它的对应值表.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6 -2 3 10 21 40 75 142 273
例题解析
1. 确定零点的初始区间，验证.
观察图象或表格，可知，说明该函数在区间内存在零点.
2. 求区间的中点.
取区间的中点.
用信息技术算得，因为，所以
3. 计算，并进一步确定零点所在的区间
，没有达到所要求的精确度，重复步骤2~4.
4. 判断是否达到精确度
例题解析
再取区间的中点.
用信息技术算得，因为，所以
，没有达到所要求的精确度，继续重复步骤2~4.
同理可得，，
由于，
所以，原方程的近似解可取为（或）.
例题解析
由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤. 因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算. 右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图. 有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.
开始
定义
输入
输出解
结束
是
是
是
否
否
否
Part 02
小结及随堂练习
课堂小结
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二分法的定义
课堂小结
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
1. 确定零点的初始区间，验证.
2. 求区间的中点.
3. 计算，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若（此时），则就是函数的零点；
（2）若（此时），则令；
（3）若（此时），则令.
4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2~4.
随堂练习
1、下列函数不能用二分法求零点近似值的为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
对于B而言，令，得 ，
但当 时，均有 ，即非负，
函数有零点0，但0两侧函数值同号，
所以不能用二分法求零点，故选B.
随堂练习
2、用二分法求函数在区间内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
由二分法求近似值的步骤，其精确度为0.001，可知应满足的条件为，故选B.
随堂练习
3、下图是函数的图象，它与轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
函数区间 内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点.
随堂练习
4、设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在区间（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
∵ ，，
由零点存在性定理知，方程的根在区间，故选C.
随堂练习
5、用二分法求方程 的根的近似值时，令，并用计算器得到下表：
1.00 1.25 1.375 1.50
1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
由表中的数据，求方程 的一个近似解（精确度为0.1）.
随堂练习
【解析】
因为 ，
故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内，
但区间的长度为，
因此需要取 的中点1.3125，
，
，且，
故方程 的一个近似解可取为1.3125.