沪科版数学七年级上册 3.3 第1课时 等积变形和行程问题-课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
3.3 一元一次方程的应用
第3章 一次方程与方程组
第 1 课时 等积变形和行程问题
情景引入
一支牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次. 该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？
直径为 6 mm
直径为 5 mm
1 cm 长的牙膏
例1 如图，用直径为 200 mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为 300 mm、300 mm 和 90 mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积 高线长.计算时 取 3.14.要求结果误差不超过 1 mm）？
等积变形问题
讲授新课
200
x
90
300
300
问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？
想一想
已知：圆钢直径（200 mm）、长方体毛胚的长宽高（300 mm、300 mm、90 mm）
未知：圆钢的高
设未知数：设应截取圆钢 x 毫米.
问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？
等量关系：圆钢体积 = 长方体毛胚的体积
问题3：如何根据等量关系“圆钢体积 = 长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得：
解方程，得 x≈258.
答：应截取 258 mm 长的圆柱体钢.
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤：
1：弄清题意和题中数量关系，用字母
(如 x，y ) 表示问题中的未知数；
2：分析题意，找出相等关系；
3：根据相等关系，列出需要的代数式，
并列出方程；
4：解这个方程，求出未知数的值；
5：检查所得值是否正确和符合实际情形，
并写出答案(包括单位名称).
设未知数
找等量关系
列出方程
解方程
检验作答
例2 为了适应经济发展，铁路运输再次提速. 如果客车行驶的平均速度增加 40 km/h，提速后由合肥到北京 1110 km 的路程只需行驶 10 h. 那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
路程 = 平均速度×时间.
行程问题
解：设提速前客车平均每小时行驶 x km，那么提速后客车每小时行驶 (x + 40) km，客车行驶路程为 1110 km，所需时间是 10 h.
根据题意，得
10(x + 40) = 1110
解方程，得 x = 71.
答：提速前这趟客车的平均速度为 71 km/h.
例3 甲、乙两站相距 480 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 千米，一列快车从乙站开出，每小时行 140 千米．
(1) 慢车先开出 1 小时，快车再开，两车相向而行.
问快车开出多少小时后两车相遇？
解：设快车开出 x 小时后两车相遇．
等量关系：
慢车行驶距离 + 快车行驶距离 = 甲乙两地的距离.
依题意，得 90×1 + 90x + 140x = 480.
解方程，得
解：设相背而行 y 小时两车相距 600 千米．
等量关系：
慢车行驶距离 + 快车行驶距离 + 甲乙两地的距离 = 600 km.
依题意，得 90y + 480 + 140y = 600.
(2) 两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 600 千米？
解方程，得
解：设 z 小时后快车与慢车相距 600 千米，
等量关系：
快车行驶距离 + 甲乙两地的距离 - 慢车行驶距离= 600 km.
依题意，得 140z + 480 - 90z = 600.
(3) 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 千米？
解方程，得
解：设 m 小时后快车追上慢车，
等量关系：
慢车行驶距离 + 甲乙两地的距离 = 快车行驶距离.
依题意，得 90m + 480 = 140m.
(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
解方程，得
答： 小时后快车追上慢车.
行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．
行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．
归纳总结
例4 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少 1.5 h. 已知船在静水的速度为 18 km/h，水流速度为 2 km/h，求甲、乙两地之间的距离？
分析：本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；
时间=路程÷平均速度.
但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；
逆水速度=船速－水速.
方法一
解：设甲、乙两地的距离为 x 千米，
直接设元法
等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间 = 1.5
依题意，得
解方程，得 x = 120.
答：甲乙两地之间的距离为 120 千米.
想一想，这道题
是不是只有这一
种解法呢？
方法二
解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需 x 小时，
则汽船顺水航行的距离是 (18 + 2)(x－1.5) 千米,
逆水航行的距离是 (18－2)x 千米.
等量关系：汽船顺水航行的距离 = 汽船逆水航行的距离
答：甲、乙两地距离为 120 千米.
依题意，得
(18 + 2)(x －1.5) = (18 － 2)x
x = 7.5
解方程，得
间接设元法
所以 (18 －2)×7.5 = 120.
问题1：操场一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小华骑自行车每秒 10 米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？
环形跑道问题
问题2：操场一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小华骑自行车每秒 10 米，两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？
分 析
小华
小明
同时同地同向而行
拓展训练：
经过几秒钟两人
第三次相遇？
变式训练：操场一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小华骑自行车每秒 10 米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
分 析
小华
小明
同时同地
相背而行
1. 一个宽为 3 cm 的长方形与一个边长为 6 cm 的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ）
A. 12.5 千米/时 B. 15 千米/时
C. 17.5 千米/时 D. 20 千米/时
2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 2.5 千米，则乙的时速是（ ）
A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 30 cm
D
B
3. 一个底面直径为 16 厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为 8 厘米、高为 15 厘米的铁质小圆柱体. 当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？
[解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积 ＝ 铁质小圆柱体体积．
解：设木桶内水面下降 x cm. 由题意，得
解方程，得
答：木桶内水面下降
4. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时. 已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度.
解：设船在静水中的平均速度为 x 千米/时，则顺流速度为 (x + 3) 千米/时，逆流速度为 (x - 3) 千米/时.
根据题意，得
2(x + 3) = 2.5(x - 3).
解方程，得
x = 27.
答：船在静水中的平均速度为 27 千米/时.
用一元一次方程解决问题
步骤
应用
1.设未知数；
2.找等量关系；3.列方程；
4.解方程；
5.检验作答.
等积变形：变形前后的面（体)积相等
行程问题：
路程=时间×平均速度
直接设元
简接设元
问题的已
知条件
解决行程问题的基本步骤：
画出线
段图
找出等
量关系
列方程
并求解
作答
同向追及问题
同地不同时：
同时不同地：
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲路程＝乙路程
相向相遇问题
甲的路程＋乙的路程=总路程
课堂小结