沪科版数学七年级上册 3.4 第2课时 用代入法解二元一次方程组-课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
3.4 二元一次方程组及其解法
第3章 一次方程与方程组
第 2 课时 用代入法解二元一次方程组
问题引入
问题1：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分. 如果某队为了争取较好名次，想在全部 22 场比赛中得 40 分，这个队胜、负场数应分别是多少
设他们胜场次数为 x，负场数为 y. 根据题意得
昨天，我们 8 个人去红山公园玩，买门票花了 34 元
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元
设他们中有 x 个成人，y 个儿童. 根据题意得
问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢
合作探究
有哪些值满足方程 x + y = 22 且符合问题的实际意义？
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x + y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
二元一次方程（组）的解
若不考虑实际意义，你还能再找出方程的几个解吗？
一般地，一个二元一次方程有无数个解.如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么可能有有限个解.
使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
通常记作： ······
x + y = 22
x = 2
y = 20
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x + y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
x 0 1 2 … 18 … 22
2x
y
2x + y
0 2 4 … 36 … 44
40 40 40 … 40 … 40
40 36 32 … 4 … /
不难发现 x = 18，y = 4 既是 x + y = 22 的解，也是2x + y = 40 的解，也就是说它是这两个方程的公共解，
我们把它们叫做方程组 的解.
x + y = 22
2x + y = 40
记作：
x = 18
y = 4
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
怎么求 x、y 的值呢？
昨天，我们 8个人去红山公园玩，买门票花了34 元.
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢
还记得下面这一问题吗
设他们中有 x 个成人，y 个儿童.
用代入法解二元一次方程组
x + y = 8，
5x + 3y = 34.
5x + 3(8 - x) = 34.
解：设去了 x 个成人，则去了 (8－x) 个儿童，根据题意，得
解得 x = 5.
将 x = 5 代入
8－x = 8－5 = 3.
答:去了5个成人，3个儿童.
用一元一次方程求解
解：设去了 x 个成人，去了 y 个儿童，根据题意，得
用二元一次方程组求解
观察：二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
y = 8 - x
用二元一次方程组求解
解：由①得 y = 8－x. ③
将③代入②，得
5x + 3(8－x) = 34.
解得 x = 5.
把 x = 5代入③，得 y = 3.
x + y = 8 ①
5x + 3y = 34 ②
所以原方程组的解为
x + y = 8
5x + 3y = 34
5x + 3(8 - x) = 34
第一个方程 x + y = 8
说明 y = 8 - x
将第二个方程 5x + 3y = 34 的 y 换成 8 - x
解得 x = 5
代入 y = 8 - x
得 y = 3
y = 3
x = 5
思考：从
到
达到了什么目的 怎样达到的
x + y = 8
5x + 3y = 34
5x + 3(8 - x) = 34
要点归纳
解二元一次方程组的基本思路：“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.
这里的消元方法是，从一个方程中求出某一个未知数的表达式，并把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
典例精析
将 y = 1 代入② ，得 x = 4.
经检验， x = 4，y = 1 适合原方程组.
所以原方程组的解是
x = 4，
y = 1.
解：将②代入①，得 3(y + 3) + 2y = 14
3y + 9+ 2y = 14
5y = 5
y = 1.
例1 解方程组
3x + 2y = 14 ①
x = y + 3 ②
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
解：由②，得 x = 13 - 4y. ③
将③代入①，得 2(13 - 4y) + 3y = 16.
26 - 8y + 3y = 16.
-5y = -10.
y = 2.
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 2.
例2 解方程组
2x + 3y = 16 ①
x + 4y = 13 ②
将 y = 2 代入③ ，得 x = 5.
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
1.将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
变
代
2.用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
求
3.把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
写
4.写出方程组的解.
由①直接代入②
下列各方程组中，应怎样代入消元？
由①得 y = 7x –11. ③
将③代入②
x = 4y - 1 ①
3x + y = 10 ②
7x - y = 11 ①
5x + 2y = 0 ②
小技巧： 用代入法时，往往对方程组中系数为 1 的未知数所在的方程进行变形代入.
练一练
例3 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 20 场比赛中得到 35 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解： 设胜的场数是 x，负的场数是 y，可列方程组：
由①得 y＝20 - x .
将③代入②，得 2x + 20 - x = 35 ，
解得 x = 15.
将 x = 15 代入③得 y = 5. 则这个方程组的解是
答：这个队胜 15 场，负 5 场.
①
②
1. 二元一次方程组 的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
y = 2x，　　
x + y = 12；　
(1)
(2)
2x = y - 5，
4x + 3y = 65.
解：
(1)
x = 4，
y = 8.
(2)
2. 解下列方程组：
x = 5，
y = 15.
3. 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 (500 g) 和小瓶装 (250 g)，两种产品的销售数量 (按瓶计算) 的比为 2∶5. 某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装 x 瓶大瓶、y 瓶小瓶.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
答：这些消毒液应分装 20000 瓶大瓶，50000 瓶小瓶.
小技巧：当相同未知数的系数成倍数关系时，我们常用整体代入法会使解法更加快捷简便！
解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
代：用这个式子替代另一个方程中相应未知数
求：求出两个未知数的值
写：写出方程组的解
课堂小结