沪科版数学七年级上册 4.3 第2课时 线段的中点-课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
4.3 线段的长短
第4章 直线与角
第2课时 线段的中点
情境导入
如何找到一条绳子的中点呢？
线段AB上有一点C，且点C到点A，B的距离相等，那么点C是线段AB的什么点呢？
C
B
A
思考
问题：描述一下线段中点的概念呢？(对照图形)
点 C在线段 AB 上,且AC=BC，像这样把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.
因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 AC = CB = AB ，
（或 AB = 2AC = 2CB）.
中点定义
数学语言：
注意:（1）线段的中点一定在直线上，并且只有一个.
（2）若点C是线段AB的中点，则AC=CB；但反过来，若AC=CB , 点C不一定是AB的中点，如图所示.
知识拓展:
线段的三等分点：如图，若点C，D将线段AB分成相等的三条线段AC，CD，DB，则点C，D叫作线段AB的三等分点，这时AC=CD=DB= AB（类似地，还有四等分点、五等分点等）.
解：如图，
因为AB=4，点D为AB的中点，所以AD= AB=2.
又因为AC=11，点E为AC中点，所以AE= AC =5.5.
所以DE=AE-AD =5.5-2 =3.5.
例1 已知线段AB=4，延长AB至点C，使AC=11.点D是AB的中点，点E是AC的中点，求DE的长.
A
C
D
B
E
变式　如图，在直线上有 A，B，C 三点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果 O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长度.
解：因为 AB＝4 cm，BC＝3 cm，
所以 AC＝AB＋BC＝7 cm.
因为点 O 是线段 AC 的中点，
所以 OC＝ AC＝3.5 cm.
所以 OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm).
(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．
计算线段长度的一般方法：
(2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．
归纳总结
例2 如图，B、C 两点把线段 AD 分成 2 : 3 : 4 的三部分，点 E 是线段 AD 的中点，EC＝2 cm，求：
(1) AD 的长； (2) AB : BE.
解：(1) 设 AB＝2x，则 BC＝3x，CD＝4x，
由线段的和差，得 AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由 E 为 AD 的中点，得 ED＝ AD＝ x.
由线段的和差，得 CE＝DE－CD＝ x－4x＝ ＝2.
解得 x＝4. ∴ AD＝9x＝36 (cm).
（2）AB : BE.
解：AB＝2x＝8 cm，BC＝3x＝12 cm.
由线段的和差，
得 BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
所以 AB : BE＝8 : 10＝4 : 5.
方法总结：在遇到线段之间比的问题时，往往设出未知数，列方程解答.
变式：如果线段 AB＝6，点 C 在直线 AB 上，BC＝4，D 是 AC 的中点，那么 A、D 两点间的距离是（　　）
A. 5 B. 2.5 C. 5 或 2.5 D. 5 或 1
【解析】本题有两种情形：
（1）当点 C 在线段 AB 上时，如图：
所以 AC＝AB－BC＝6－4＝2.
因为 D 是 AC 的中点，
所以 AD＝1.
（2）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图：
所以 AC＝AB＋BC＝6＋4＝10，
因为 D 是 AC 的中点，
所以 AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解.
合作探究


A
B
如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你在图上画出最短路线.
发现：两点之间的所有连线中，线段最短
两点之间线段最短
思考：2. 如图，人们修建公路遇到大山阻隔时，常会打一条隧道直穿过去，为什么？
因为修隧道可以缩短两地之间的路程， 实现路途近的目的。
线段有如下的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短.
两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离.
这5条线中，
线段AB最短.
线段AB的长度就是A，B两点之间的距离.
A
B
注意:
（1）两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB;
（2）两点间的连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段、折线和曲线，有无数条.
典例精析
[解析] 在 MN 上任选一点 P，它到 A，B 的距离即线段 PA 与 PB 的长，结合两点之间线段最短可求．
例3 如图所示，直线 MN 表示一条铁路，铁路两旁各有一点 A 和 B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
解：连接 AB，交 MN 于点 P，则这个货站应建在点 P 处.
P
P
(1) 两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．
(2) 在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”．
归纳总结
1. 如图，P是线段MN的中点，那么MN=____MP=____PN，MP=PN=______MN.
M
N
P
2
2
2. 如图，用刻度尺量出AB，AC，BC的长度，并比较AB+AC与BC的长短．不通过测量，你能比较AB+AC与BC的长短吗？依据是什么？
A
B
C
解:
AB+AC >BC.
能，依据是“两点之间的所有连线中，线段最短”.
3.下列说法中正确的是（ ）
A.连结两点的线段叫作两点间的距离
B.在所有连接两点的线中，直线最短
C.线段AB就是表示点A到点B的距离
D.点A到点B的距离就是线段AB的长度
D
4.已知A、B、C三点在同一直线上，如果
线段AB=6cm，BC=3cm，A、C两点的
距离为d，那么（ ）
A. d=9cm B. d=3cm
C. d=9cm或d=3cm D. d大小不确定
C
5.如图，已知线段AB=6 cm，C是AB的中点，D是AC的中点，求线段BD的长.
A
B
C
D
解:因为AB=6 cm，C是AB的中点，
所以AC=BC= AB=3 cm.
因为D是AC的中点，所以AD=CD= AC=1.5 cm.
所以BD=BC+CD=3+1.5=4.5 （ cm ）.
2.线段的基本事实：
两点之间的所有的连线中，线段最短.
3.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离.
1.线段的中点
点 C在线段 AB 上,且AC=BC，像这样把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点.
课堂小结