山东省淄博市2024年中考真题数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（2024·淄博）下列运算结果是正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类；化简含绝对值有理数；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，是正数，故A符合题意；
B、，是负数，故B不符合题意；
C、，是负数，故C不符合题意；
D、是负数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据负整数指数幂、有理数的乘方、绝对值的化简，算术平方根的意义，结合正数的定义逐项进行判断即可.
2．（2024·淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】可：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；
因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：C．
【分析】根据将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形，即可求解.
3．（2024·淄博）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
则，
故选：B．
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．（2024·淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
平分，
．
∵AD∥BC
．
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补求出∠ABC=70°，由角平分线的定义得∠DBC=35°，最后根据二直线平行，内错角相等得∠D=∠DBC，从而得出答案.
5．（2024·淄博）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数=（分）；
方差=；
因此平均数和方差分别是96分、10，
故答案为：D．
【分析】本题考查折线图数据的分析、平均数和方差计算。
平均数，即将所有的数据求和，再除以数据数量；方差，即将所有数据与平均数的差的平方再求和，最后除以数据数量。本题中的五个数据分别是92分、96分、93分、100分和99分，可以先计算出平均数，然后利用方差公式计算即可。
6．（2024·淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
在中，，
∴，
∴计算器的按键为 ，
故答案为：A．
【分析】在中，解直角三角形得到，结合选项进行判断即可．
7．（2024·淄博）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：设门的高和宽分别是尺和尺，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”，然后结合勾股定理即可列出方程组.
8．（2024·淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，设，则，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，垂直平分，再根据边之间的关系可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根据勾股定理可得MF，再根据正切定义即可求出答案.
9．（2024·淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
10．（2024·淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出发，图像显示，当时，，即在甲出发50min后，甲乙相遇，
乙出发时，两人第一次相遇，
即乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值m，
即甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：B．
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用等知识。
①根据条件“甲先出发、 乙因故比甲晚出发 ”，结合图象可以发现，在甲出发50min后，甲乙相遇。因此计算可得出乙出发时两人第一次相遇；
②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为；
③在50min的时候甲乙相遇，此时甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的时候，此时乙到达B第，即乙的路程（86-30）y减去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程组，解出，的值，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；
④利用路程=速度×时间，即可求出，两地之间的距离是．
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．（2024·淄博）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算。
首先对进行化简，然后再计算二次根式减法即可．
12．（2024·淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点坐标为，
即，
故答案为：
【分析】根据平移的性质：左加右减，上加下减，然后再结合已知点，的坐标，即可得到答案。
13．（2024·淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
14．（2024·淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
15．（2024·淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-图形的递变规律；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，
∴，即
∴，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质。
首先根据条件可以推出，即，这样就可以证明出，根据“面积比=相似比的平方”，得到，进行求解即可．
三、解答题（共8题90分）
16．（2024·淄博）解不等式组：并求所有整数解的和．
【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组所有整数解为：，
∴不等式组所有整数解的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，再将各整数解相加即可.
17．（2024·淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
18．（2024·淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
【答案】解：根据条件可以得出，，
而且为整数，又，∴，
；
将，代入，原式．
【知识点】无理数的估值；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算。
首先根据对话内容可推出，的值，然后利用因式分解法将原分式进行合并化简，最后将a和b代入计算即可。
19．（2024·淄博）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
（2）补全周家务劳动时间的频数直方图：
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）100，126；
（2）解：根据题意，得第③组的人数为：（人），
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下图所示：
（3）解：根据题意，得被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人），
∴（人），
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）解：画树状图如下：
∴共有25种等可能的结果数，其中两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得参与本次调查的学生总人数为：（名），
∴第④组所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：100，126.
【分析】（1）先用家务劳动时间为②组的人数除以其所占百分比得到参与本次调查的学生总人数，再用360°乘以第④组人数所占比即可求解；
（2）先用调查总人数减去第①②④⑤组的人数得到第③组的人数，再补全周家务劳动时间的频数直方图即可；
（3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比即可；
（4）画出树状图得到所有的可能结果数，从而得两人恰好选到同一门课程的结果数，进而利用概率公式进行求解即可.
（1）解：调查总人数为：（名），
第④组所对应扇形的圆心角的度数为：
（2）解：第③组的人数为：（人），
可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人）
（人），
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）解：树状图如图所示：
则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
两人恰好选到同一门课程的概率为：．
20．（2024·淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21．（2024·淄博）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
22．（2024·淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【答案】【操作发现】解：与相切，理由如下：
如图，连接并延长交于点，连接，
是的直径，
，
，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【实践探究】解：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
，
设，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
当时，有最大值为；
【问题解决】证明：如图，过点作交于点，
，
由旋转的性质知：，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，即点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等.
【知识点】二次函数的最值；切线的判定；旋转的性质；手拉手相似模型；圆与三角形的综合
【解析】【分析】【操作发现】连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，然后由旋转的性质以及圆周角定理，进行等量代换得到，进而证明，最后根据切线的判定得证；
【实践探究】根据“旋转相似”模型证明，结合等腰三角形”等边对等角“的性质可得到，由三角形外角的性质得到，从而推出，得到，然后设，则，得到，最后利用二次函的最值知识进行求解；
【问题解决】过点作交于点，根据平行线、旋转、等腰三角形”等边对等角“的性质可得，，从而由等腰三角形的判定推出，进而进行等量代换得，然后证明，得到，最后进行等量代换即可得证结论.
23．（2024·淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
【答案】（1）解：，变形为，
解得，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为。
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点。（1）利用因式分解法解一元二次方程，得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
1 / 1山东省淄博市2024年中考真题数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（2024·淄博）下列运算结果是正数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·淄博）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024·淄博）如图，已知，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·淄博）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
6．（2024·淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·淄博）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2024·淄博）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
10．（2024·淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．（2024·淄博）计算： ．
12．（2024·淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
13．（2024·淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
14．（2024·淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
15．（2024·淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ．
三、解答题（共8题90分）
16．（2024·淄博）解不等式组：并求所有整数解的和．
17．（2024·淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
18．（2024·淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）
19．（2024·淄博）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
（2）补全周家务劳动时间的频数直方图：
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
20．（2024·淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
21．（2024·淄博）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
22．（2024·淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
23．（2024·淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类；化简含绝对值有理数；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，是正数，故A符合题意；
B、，是负数，故B不符合题意；
C、，是负数，故C不符合题意；
D、是负数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据负整数指数幂、有理数的乘方、绝对值的化简，算术平方根的意义，结合正数的定义逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】可：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；
因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：C．
【分析】根据将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
则，
故选：B．
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
平分，
．
∵AD∥BC
．
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补求出∠ABC=70°，由角平分线的定义得∠DBC=35°，最后根据二直线平行，内错角相等得∠D=∠DBC，从而得出答案.
5．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数=（分）；
方差=；
因此平均数和方差分别是96分、10，
故答案为：D．
【分析】本题考查折线图数据的分析、平均数和方差计算。
平均数，即将所有的数据求和，再除以数据数量；方差，即将所有数据与平均数的差的平方再求和，最后除以数据数量。本题中的五个数据分别是92分、96分、93分、100分和99分，可以先计算出平均数，然后利用方差公式计算即可。
6．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
在中，，
∴，
∴计算器的按键为 ，
故答案为：A．
【分析】在中，解直角三角形得到，结合选项进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：设门的高和宽分别是尺和尺，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”，然后结合勾股定理即可列出方程组.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，设，则，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，垂直平分，再根据边之间的关系可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根据勾股定理可得MF，再根据正切定义即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出发，图像显示，当时，，即在甲出发50min后，甲乙相遇，
乙出发时，两人第一次相遇，
即乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值m，
即甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：B．
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用等知识。
①根据条件“甲先出发、 乙因故比甲晚出发 ”，结合图象可以发现，在甲出发50min后，甲乙相遇。因此计算可得出乙出发时两人第一次相遇；
②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为；
③在50min的时候甲乙相遇，此时甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的时候，此时乙到达B第，即乙的路程（86-30）y减去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程组，解出，的值，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；
④利用路程=速度×时间，即可求出，两地之间的距离是．
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算。
首先对进行化简，然后再计算二次根式减法即可．
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点坐标为，
即，
故答案为：
【分析】根据平移的性质：左加右减，上加下减，然后再结合已知点，的坐标，即可得到答案。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值.
14．【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；探索规律-图形的递变规律；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，
∴轴，
∴，即
∴，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质。
首先根据条件可以推出，即，这样就可以证明出，根据“面积比=相似比的平方”，得到，进行求解即可．
16．【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组所有整数解为：，
∴不等式组所有整数解的和为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，再将各整数解相加即可.
17．【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
18．【答案】解：根据条件可以得出，，
而且为整数，又，∴，
；
将，代入，原式．
【知识点】无理数的估值；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算。
首先根据对话内容可推出，的值，然后利用因式分解法将原分式进行合并化简，最后将a和b代入计算即可。
19．【答案】（1）100，126；
（2）解：根据题意，得第③组的人数为：（人），
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下图所示：
（3）解：根据题意，得被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人），
∴（人），
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）解：画树状图如下：
∴共有25种等可能的结果数，其中两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得参与本次调查的学生总人数为：（名），
∴第④组所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：100，126.
【分析】（1）先用家务劳动时间为②组的人数除以其所占百分比得到参与本次调查的学生总人数，再用360°乘以第④组人数所占比即可求解；
（2）先用调查总人数减去第①②④⑤组的人数得到第③组的人数，再补全周家务劳动时间的频数直方图即可；
（3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比即可；
（4）画出树状图得到所有的可能结果数，从而得两人恰好选到同一门课程的结果数，进而利用概率公式进行求解即可.
（1）解：调查总人数为：（名），
第④组所对应扇形的圆心角的度数为：
（2）解：第③组的人数为：（人），
可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人）
（人），
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；
（4）解：树状图如图所示：
则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，
两人恰好选到同一门课程的概率为：．
20．【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
22．【答案】【操作发现】解：与相切，理由如下：
如图，连接并延长交于点，连接，
是的直径，
，
，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【实践探究】解：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
，
设，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
当时，有最大值为；
【问题解决】证明：如图，过点作交于点，
，
由旋转的性质知：，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，即点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等.
【知识点】二次函数的最值；切线的判定；旋转的性质；手拉手相似模型；圆与三角形的综合
【解析】【分析】【操作发现】连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，然后由旋转的性质以及圆周角定理，进行等量代换得到，进而证明，最后根据切线的判定得证；
【实践探究】根据“旋转相似”模型证明，结合等腰三角形”等边对等角“的性质可得到，由三角形外角的性质得到，从而推出，得到，然后设，则，得到，最后利用二次函的最值知识进行求解；
【问题解决】过点作交于点，根据平行线、旋转、等腰三角形”等边对等角“的性质可得，，从而由等腰三角形的判定推出，进而进行等量代换得，然后证明，得到，最后进行等量代换即可得证结论.
23．【答案】（1）解：，变形为，
解得，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为。
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点。（1）利用因式分解法解一元二次方程，得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
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