海南省2024年初中学业水平考试数学试卷
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1．（2024·海南）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零上记作，则零下应记作，
故答案为：A．
【分析】根据正负数是一对具有相反意义的量，即可求得.
2．（2024·海南）福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
3．（2024·海南）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式的值为5，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，求解即可．
4．（2024·海南）下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看得到的图形是，即左视图为.
故答案为：B．
【分析】根据从左边看得到的图形即为左视图，即可求得.
5．（2024·海南）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A项不符合题意；
B、，故B项不符合题意；
C、，故C项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故D项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方，合并同类项法则即可求得.
6．（2024·海南）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：A．
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母“x-2”约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程求出x的值，最后检验即可．
7．（2024·海南）平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点A向右平移3个单位长度得到点，
∴点A的坐标是，即．
故答案为：C．
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左减右加横坐标，下减上加纵坐标，即可求得.
8．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理可得直角三角形的两锐角互余，据此可得y与x的关系式．
9．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．（2024·海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：作于点，
∵，
∴，
∴ ∠BCF=30°，
∴ BF=1，CF=，
∵ ∠CAF=30°，
∴ AC=2CF=，即AE=，
∴点A表示的数是，
故答案为：D．
【分析】作于点，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得CF，再求出AC，即可求得.
11．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，由圆心角、弧、弦得关系得∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得∠OBC=∠OBA=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BPC=∠BOC=30°，由三角形的内角和定理求出∠PBC=20°，由角的构成算出∠PBO=40°，∠ABP=100°.
12．（2024·海南）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC，CD=AB=8
∴ ∠DCE=∠BEC，
∵ ∠BCE=∠DCE，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC，
设BC为x，则AD=x，AE=8-x，
由尺规作图可得，DE⊥AB，
∴ AD2=DE2+AE2，即x2=(8-x)2+42，
解得，x=5，
∴四边形的周长是，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可得 AB∥CD，AD=BC，根据平行线的性质和等角对等边可得BE=BC，根据勾股定理列出方程求得BC的长，即可求得周长.
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（2024·海南）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．（2024·海南）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
【答案】64
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵点在该函数图象上，
∴（V），
故答案为：64．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标得乘积都等于比例系数，把代入可得U的值．
15．（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
【答案】80
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作BN⊥CD于N，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABN，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．（2024·海南）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
【答案】6；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值为6，
由折叠的性质可得，
∴的最小值为6；
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最大，即最大时，最大，
∴当与点B重合时，最大，
设此时，则，
∴，
解得，
∴的最大值为
故答案为：，．
【分析】过点E作EH⊥BC于H，易得四边形ABHE是矩形，由矩形的对边相等得AB=EH=6，根据垂线段最短得D'E≥EH，可得D'E的最小值为6，则由折叠的性质可得DE=D'E，从而可得DE的最小值；如图所示，连接DF，由折叠性质得∠D'EF=∠DEF，DE=D'E及DF=D'F，由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠D'FE，则∠D'FE=∠D'EF，由等角第等边得D'E=D'F，则DE=DF；在Rt△CDF中，利用勾股定理得到当DF最大时，CF最大，即DE最大时，CF最大，则当D'与点B重合时，DE最大，设此时CF=x，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
三、解答题（本大题满分72分）
17．（2024·海南）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算术平方根性质、绝对值代数意义、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及有理数的乘方运算法则分别计算，再计算有理数的除法和乘法，最后计算加减法即可；
（2）先根据解不等式的步骤，求出每个不等式组中每一个不等式的解集，再根据 “同小取小”求出不等式组的解集即可．
18．（2024·海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
【答案】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，
依题意得，
解得，
，
答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，则促销活动前每个五花肉粽的售价(x-5)元，根据单价乘以数量等于总价及标价乘以折扣率等于售价，由打折后购买10个瘦肉粽的费用+购买5个五花肉粽的费用=160元列方程求解即可．
19．（2024·海南）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
（2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
（3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
（4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
（5）请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】（1）抽样调查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解答（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
【分析】（1）普查就是针对研究对象的全体个体进行全面调查；抽样调查就是从总体中随机抽取部分样本进行调查，据此可判断得出答案；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中视力低于5.0的人数所占的百分比即可估计该校八年级右眼视力不良的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
20．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】（1）30；75；5
（2）解：设海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作于D，则∠ADP=90°，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
故答案为：30；75；5；
【分析】（1）过点P作于D，则∠ADP=90°，根据方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠PAB的度数；然后根据角的构成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度数，最后根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段AB的长度；
（2）设海里，由正切函数的定义及特殊锐角三角形函数值得到，由∠A的正切函数及特殊锐角三角函数值得到海里，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AP=2x海里，根据AD=AB+BD建立方程求解可得AP的长；由三角形内角和定理证明，由等角对等边得海里，再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
21．（2024·海南）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当时，求点P的坐标；
（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴；
设与抛物线交于，
联立
得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【知识点】圆周角定理；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线y=-x2+bx+4可算出b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PT⊥AB于T，根据A、C、P三点的坐标得出OA=4，OT=2，OC=4，PT=6，则AT=2，然后利用割补法，根据列式求解即可；
（3）取，连接，由等腰直角三角形的性质得，则线段与抛物线的交点即为所求；利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线BH1得解析式求解可得点P1的坐标；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；综上可得答案；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到AC为过A、O、C三点的圆的直径，如图所示，取AC中点R，连接AE、AF、EF、ER、FR，根据中点坐标公式可得根据两点间的距离公式算出AC的长；设与抛物线交于，根据两点间的距离及同圆半径相等可得，根据抛物线上点的坐标特点可得-m2-3m+4=n，得联立两式求解可得点E、F的坐标，然后再根据两点间的距离公式分贝计算出AE、AF、EF，即可判断得出结论.
（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
22．（2024·海南）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①证明：连接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴点P在的平分线上；
②，理由如下：
由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∴，
同理四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形的对角线的交点为，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直定义可得∠ABE=∠G=90°，从而利用AAS即可证明△ABE≌△EGF；
（2）①根据直角三角形两锐角互余、等量代换可得∠AEB+∠FEG=90°，根据平角的定义可推出∠AEF=90°，则△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠APE=90°，∠AEP=∠FEP=45°，从而根据确定圆的条件判断出A、B、E、P四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠ABP=∠AEP=45°，据此即可证明结论成立；
②由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线BD上，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABP∽△HDP，由相似三角形对应边成比例即可求解；
③根据确定圆的条件判断出M、D、H、P四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠PMH=∠PDH=45°，由内错角相等两直线平行推出MH∥EN，从而由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形MNEH是平行四边形，推出△PHQ和PHM都是等腰直角三角形，设PM=PH=a，则MQ=2a，ME=2MQ=4a，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△APM∽△ADH，由相似三角形对应边成比例可求出DH，利用勾股定理算出AH，进而结合AH的长度求出a的值，最后利用勾股定理可算出BE的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①证明：连接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴点P在的平分线上；
②，理由如下：
由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∴，
同理四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形的对角线的交点为，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1海南省2024年初中学业水平考试数学试卷
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1．（2024·海南）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南）福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·海南）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
4．（2024·海南）下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·海南）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·海南）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·海南）平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·海南）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·海南）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
11．（2024·海南）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·海南）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．（2024·海南）因式分解： .
14．（2024·海南）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
15．（2024·海南）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
16．（2024·海南）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ．
三、解答题（本大题满分72分）
17．（2024·海南）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（2024·海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
19．（2024·海南）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领数分布表
右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）．
（1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
（2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：，这组数据的中位数是________；
（3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______人；
（4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率是________；
（5）请为做好近视防控提一条合理的建议．
20．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
21．（2024·海南）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当时，求点P的坐标；
（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
22．（2024·海南）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，于点P，交于点M．
①求证：点P在的平分线上；
②当时，猜想与的数量关系，并证明；
③作于点N，连接，当时，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零上记作，则零下应记作，
故答案为：A．
【分析】根据正负数是一对具有相反意义的量，即可求得.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式的值为5，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，求解即可．
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看得到的图形是，即左视图为.
故答案为：B．
【分析】根据从左边看得到的图形即为左视图，即可求得.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A项不符合题意；
B、，故B项不符合题意；
C、，故C项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故D项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方，合并同类项法则即可求得.
6．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：A．
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母“x-2”约去分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程求出x的值，最后检验即可．
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点A向右平移3个单位长度得到点，
∴点A的坐标是，即．
故答案为：C．
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左减右加横坐标，下减上加纵坐标，即可求得.
8．【答案】D
【知识点】函数解析式；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理可得直角三角形的两锐角互余，据此可得y与x的关系式．
9．【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：作于点，
∵，
∴，
∴ ∠BCF=30°，
∴ BF=1，CF=，
∵ ∠CAF=30°，
∴ AC=2CF=，即AE=，
∴点A表示的数是，
故答案为：D．
【分析】作于点，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得CF，再求出AC，即可求得.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，由圆心角、弧、弦得关系得∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB与△BOC都是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得∠OBC=∠OBA=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BPC=∠BOC=30°，由三角形的内角和定理求出∠PBC=20°，由角的构成算出∠PBO=40°，∠ABP=100°.
12．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC，CD=AB=8
∴ ∠DCE=∠BEC，
∵ ∠BCE=∠DCE，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC，
设BC为x，则AD=x，AE=8-x，
由尺规作图可得，DE⊥AB，
∴ AD2=DE2+AE2，即x2=(8-x)2+42，
解得，x=5，
∴四边形的周长是，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可得 AB∥CD，AD=BC，根据平行线的性质和等角对等边可得BE=BC，根据勾股定理列出方程求得BC的长，即可求得周长.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．【答案】64
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵点在该函数图象上，
∴（V），
故答案为：64．
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标得乘积都等于比例系数，把代入可得U的值．
15．【答案】80
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作BN⊥CD于N，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABN，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．【答案】6；
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值为6，
由折叠的性质可得，
∴的最小值为6；
如图所示，连接，
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最大，即最大时，最大，
∴当与点B重合时，最大，
设此时，则，
∴，
解得，
∴的最大值为
故答案为：，．
【分析】过点E作EH⊥BC于H，易得四边形ABHE是矩形，由矩形的对边相等得AB=EH=6，根据垂线段最短得D'E≥EH，可得D'E的最小值为6，则由折叠的性质可得DE=D'E，从而可得DE的最小值；如图所示，连接DF，由折叠性质得∠D'EF=∠DEF，DE=D'E及DF=D'F，由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠D'FE，则∠D'FE=∠D'EF，由等角第等边得D'E=D'F，则DE=DF；在Rt△CDF中，利用勾股定理得到当DF最大时，CF最大，即DE最大时，CF最大，则当D'与点B重合时，DE最大，设此时CF=x，据此利用勾股定理建立方程求解即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算术平方根性质、绝对值代数意义、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及有理数的乘方运算法则分别计算，再计算有理数的除法和乘法，最后计算加减法即可；
（2）先根据解不等式的步骤，求出每个不等式组中每一个不等式的解集，再根据 “同小取小”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，
依题意得，
解得，
，
答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，则促销活动前每个五花肉粽的售价(x-5)元，根据单价乘以数量等于总价及标价乘以折扣率等于售价，由打折后购买10个瘦肉粽的费用+购买5个五花肉粽的费用=160元列方程求解即可．
19．【答案】（1）抽样调查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解答（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
【分析】（1）普查就是针对研究对象的全体个体进行全面调查；抽样调查就是从总体中随机抽取部分样本进行调查，据此可判断得出答案；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中视力低于5.0的人数所占的百分比即可估计该校八年级右眼视力不良的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：；
（3）解：调查数据中，视力低于的人数有：（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
（人）
故答案为：；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：；
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
20．【答案】（1）30；75；5
（2）解：设海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作于D，则∠ADP=90°，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
故答案为：30；75；5；
【分析】（1）过点P作于D，则∠ADP=90°，根据方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠PAB的度数；然后根据角的构成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度数，最后根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段AB的长度；
（2）设海里，由正切函数的定义及特殊锐角三角形函数值得到，由∠A的正切函数及特殊锐角三角函数值得到海里，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AP=2x海里，根据AD=AB+BD建立方程求解可得AP的长；由三角形内角和定理证明，由等角对等边得海里，再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
21．【答案】（1）解：将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴；
设与抛物线交于，
联立
得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【知识点】圆周角定理；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线y=-x2+bx+4可算出b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PT⊥AB于T，根据A、C、P三点的坐标得出OA=4，OT=2，OC=4，PT=6，则AT=2，然后利用割补法，根据列式求解即可；
（3）取，连接，由等腰直角三角形的性质得，则线段与抛物线的交点即为所求；利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线BH1得解析式求解可得点P1的坐标；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；综上可得答案；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到AC为过A、O、C三点的圆的直径，如图所示，取AC中点R，连接AE、AF、EF、ER、FR，根据中点坐标公式可得根据两点间的距离公式算出AC的长；设与抛物线交于，根据两点间的距离及同圆半径相等可得，根据抛物线上点的坐标特点可得-m2-3m+4=n，得联立两式求解可得点E、F的坐标，然后再根据两点间的距离公式分贝计算出AE、AF、EF，即可判断得出结论.
（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①证明：连接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴点P在的平分线上；
②，理由如下：
由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∴，
同理四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形的对角线的交点为，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直定义可得∠ABE=∠G=90°，从而利用AAS即可证明△ABE≌△EGF；
（2）①根据直角三角形两锐角互余、等量代换可得∠AEB+∠FEG=90°，根据平角的定义可推出∠AEF=90°，则△AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠APE=90°，∠AEP=∠FEP=45°，从而根据确定圆的条件判断出A、B、E、P四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠ABP=∠AEP=45°，据此即可证明结论成立；
②由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线BD上，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABP∽△HDP，由相似三角形对应边成比例即可求解；
③根据确定圆的条件判断出M、D、H、P四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等得∠PMH=∠PDH=45°，由内错角相等两直线平行推出MH∥EN，从而由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形MNEH是平行四边形，推出△PHQ和PHM都是等腰直角三角形，设PM=PH=a，则MQ=2a，ME=2MQ=4a，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△APM∽△ADH，由相似三角形对应边成比例可求出DH，利用勾股定理算出AH，进而结合AH的长度求出a的值，最后利用勾股定理可算出BE的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①证明：连接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，，
∴点P在的平分线上；
②，理由如下：
由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，
∴，
同理四点共圆，则，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形的对角线的交点为，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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