专题强化6 带电粒子在电场和重力场中的运动
[学习目标] 1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在电场和重力场中的运动问题(重难点)。2.会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题(重难点)。
一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动
例1 (1)如图甲，一带电液滴沿直线从b点运动到d点，bd与水平面成30°角，匀强电场方向竖直向下，液滴的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g，则液滴带 (填“正”或“负”)电，电场强度E=，液滴做 运动。
(2)如图乙，若其他条件不变，电场方向调整为 ，电场强度为 ，液滴做 运动，加速度大小a= 。
带电粒子在电场中做直线运动的条件
不可忽略重力的带电粒子(如油滴、小球等)在匀强电场中做直线运动时，重力与静电力的合力为恒力。
1.若合力的方向与运动方向在同一条直线上，带电粒子做匀变速直线运动；
2.合力为0，带电粒子做匀速直线运动，此种情况下，电场通常为竖直方向。
二、带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
例2 在水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB=BC，如图所示。重力加速度为g，由此可知小球带 (填“正”或“负”)电，小球从A到B与从B到C的运动时间 (填“相等”或“不相等”)，静电力大小为 ，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小 (填“相等”或“不相等”)。
处理带电粒子在电场和重力场中“抛体”运动的方法
1.明确研究对象并对其进行受力分析。
2.将运动正交分解，分方向进行分析，把曲线运动转化为分方向的直线运动，利用牛顿运动定律、运动学公式求解。
3.涉及到功和能量问题可利用功能关系和动能定理处理。
①功能关系：静电力做的功等于电势能的减少量，W电=Ep1-Ep2。
②动能定理：合力做的功等于动能的变化量，W=Ek2-Ek1。
三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
例3 将光滑绝缘圆轨道置于竖直面内，一带正电，质量为m的小球能在圆轨道内完成完整的圆周运动，圆轨道的圆心为O。重力加速度为g，轨道半径为R。
(1)在图甲中作图确定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
(2)若将此轨道置于竖直向上匀强电场中，电场强度大小为E=。
①小球受到重力与静电力合力大小为 ，方向 。
②在图乙中作图确定小球速度最大时所处的位置C及小球速度最小时所处的位置D。
③若小球恰好完成圆周运动，则vD= ，vC= 。
(3)若将此轨道置于水平向右的电场中，电场强度大小为E=，tan 53°=。
①小球受重力与静电力的合力大小为 ，方向为 。
②在图丙中作图确定小球速度最大时所处的位置M和速度最小时所处的位置N。
③若小球恰好完成圆周运动，则vN= vM= 。
解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
②物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
答案精析
例1 (1)负 匀速直线
(2)水平向左 匀加速直线 2g
例2 负 相等 2mg 相等
解析 由题意可知，小球受到的静电力向上，与电场方向相反，所以小球带负电，两个运动过程水平方向的位移相等，所以运动时间也相等，在竖直方向有h=gt2，h=×t2，解得F=2mg，速度变化量等于加速度与时间的乘积，即Δv=at，结合以上的分析可得，AB过程Δv=gt，BC过程|Δv|=|·t|=gt，故速度变化量的大小相等。
例3 (1)见解析图(a) (2)①mg 竖直向上
②见解析图(b) ③ (3)①mg
与水平方向成53°角斜向右下方 ②见解析图(c)
③
解析 (1)
(2)①F合=Eq-mg=mg，方向竖直向上
②小球速度最大和最小时所处位置如图(b)
③在D点：qE-mg=m
得：vD=，从D→C的过程中：
(qE-mg)·2R=m-m
得：vC=。
(3)①如图(d)所示，重力与静电力的合力F合大小为mg，方向与水平方向成53°角斜向右下方。
②过圆心O作与F合方向一致的直线，交圆周于M、N两点，如图(c)。
③在N点：F合=mg=m，得：vN=
从N→M的过程中，F合·2R=m-m
得：vM=。 专题强化练6 带电粒子在电场和重力场中的运动
分值：70分
[1~3题，每题4分]
1.(多选)(2024·抚州市高二期中)如图所示，某一空间为真空，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有初速度为v0的带电微粒，恰能沿图示虚线由A点向B点做直线运动。下列说法正确的是
A.微粒只能带负电荷
B.微粒可能做匀加速直线运动
C.仅改变初速度的方向(与原速度不共线)，微粒将做曲线运动
D.运动过程中微粒电势能减小
2.(多选)如图所示，真空中存在竖直向下的匀强电场，一个带电油滴(考虑重力)沿虚线由a向b运动，以下判断正确的是
A.油滴一定带负电
B.油滴的电势能一定增加
C.油滴的动能一定减少
D.油滴的动能与电势能之和一定减少
3.(多选)(2024·南阳市高二月考)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
4.(8分)(2025·天津市高二期中)如图所示，纸面内存在方向与水平成θ角的匀强电场，在电场中的A点以速度v1=3 m/s水平向右抛出一带正电的小球，小球沿直线向右运动的最大距离LAB=0.6 m。已知小球的质量m=0.02 kg，电荷量q=1.25×10-6 C，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)(2分)A、B两点间电势差UAB；
(2)(3分)小球由A到B的时间t；
(3)(3分)电场强度E的大小。
[5、6题，每题6分]
5.(多选)(2024·厦门市高二期中)如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度为E=1×104 N/C的匀强电场。在匀强电场中有一根长L=2 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08 kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2。下列说法正确
A.小球的带电荷量q=6×10-5 C
B.小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有动能的最小值
C.小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D.小球绕O点在竖直平面内做圆周运动过程中电势能和机械能之和保持不变
6.(多选)(2025·渭南市高二阶段练习)一个质量为m的带电小球，在一匀强电场中，以某一水平速度抛出，小球运动时的加速度方向竖直向下，大小为，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g，则小球在竖直方向下落h高度时，以下说法正确的是
A.小球的机械能减少
B.小球的电势能增加
C.小球的动能增加
D.小球的重力势能减少mgh
7.(11分)(2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)(3分)电场强度E的大小。
(2)(8分)小球在A、B两点的速度大小。
8.(11分)(2024·漳州市高二期末)如图，竖直平面内有水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E，场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定O点，另一端系着质量为m的带正电小球，初始时小球静止于电场中的A点，此时细线与竖直方向夹角为θ=37°，已知重力加速度大小为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)(3分)求O、A两点间电势差UOA；
(2)(3分)求小球的带电荷量q；
(3)(5分)现给小球一个方向与细线垂直的初速度，让小球恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球运动的最小速度vmin。
[9、10题，每题8分]
9.(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中
A.动能减小，电势能增大
B.动能增大，电势能增大
C.动能减小，电势能减小
D.动能增大，电势能减小
10.(多选)(2025·天津市高二期末)如图所示，在范围足够大的水平向右的匀强电场中，将一个带电小球以一定的初速度从A点竖直向上抛出，经过最高点B之后又运动至与抛出点等高的位置C点(图中未画出)的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.在整个运动过程中，小球运动到B点时速度最小
B.在整个运动过程中，小球的机械能一直在增大
C.AB和BC两段过程的水平距离相等
D.AB和BC两段过程，小球速度的变化量相同
答案精析
1.AC [由题意可知，重力竖直向下，静电力只能水平向左，故微粒只有带负电荷才能做直线运动且一定是匀减速，故A正确，B错误；合力方向一定，仅改变初速度方向(与原速度不共线)，则初速度和合力不共线，将做曲线运动，故C正确；静电力方向与运动方向夹角为钝角，则静电力做负功，电势能变大，故D错误。]
2.AD [物体做曲线运动时，受到的合力的方向指向物体运动轨迹弯曲的凹侧，由此可知，该油滴受到的静电力的方向是向上的，与电场方向相反，所以油滴一定带负电，故A正确； 该油滴受到的静电力做正功，电势能减小，故B错误；该油滴受到合外力做正功，油滴的动能增加，故C错误；重力对油滴做负功，重力势能增加，根据能量守恒，油滴的动能和电势能之和一定减小，故D正确。]
3.AC [当重力等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa=qφa，当小球运动到最高点a时，带负电小球的电势能一定最小，故C正确。]
4.(1)-7.2×104 V (2)0.4 s (3)2×105 N/C
解析 (1)小球由A到B过程根据动能定理有
qUAB=0-m
解得UAB=-7.2×104 V
(2)根据速度位移关系式有0-=-2aLAB
根据速度时间关系式有0=v1-at
联立解得a=7.5 m/s2，t=0.4 s
(3)根据Eqsin θ=mg，Eqcos θ=ma
解得E=2×105 N/C。
5.AD [小球静止时悬线与竖直方向成37°角，受到重力、静电力和拉力，受力分析如图
根据平衡条件，有qE=mgtan 37°
解得q==6×10-5 C，故A正确；小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，动能最小，故B错误；根据能量守恒定律，电势能和机械能之和保持不变，所以机械能最小的位置是电势能最大的位置，即与O点等高的最左的位置，故C错误；小球在运动过程中只有重力与静电力做功，所以电势能和机械能之和保持不变，故D正确。]
6.BCD [由牛顿第二定律可知，小球所受的合力F合=ma=mg，方向向下，对小球下落过程，根据动能定理可知，小球的动能增加ΔEk=mgh，C正确；
下落h高度过程中，对小球由牛顿第二定律有静电力F=mg-ma=mg，且方向竖直向上，则下落过程静电力做功W=-mgh，故小球的电势能增加mgh，B正确；
小球在竖直方向上下降h高度时重力做正功mgh，因此，小球的重力势能减少mgh，D正确；
小球的电势能增加，根据能量守恒定律可知，小球的机械能减少mgh，A错误。]
7.(1) (2)
解析 (1)由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E=
(2)在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得Eq-mg=m
A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=m-m
联立解得vA=，vB=。
8.(1) (2) (3)
解析 (1)O、A两点间电势差为UOA=ELsin θ
解得UOA=
(2)小球静止时，由平衡条件得=tan θ
解得q==
(3)重力和静电力都是恒力，它们的合力G等也是恒力，等效重力为
G等==
如图所示
小球做圆周运动过程，在等效最高点B点时速度最小，恰能通过B点有G等=m
解得vmin=。
9.D [根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虚线(如题图)，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的位移方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小，故选D。]
10.BD [在整个运动过程中受向下的重力和水平向右的静电力，其合力方向指向右下方，则当速度方向与合力方向垂直时(等效“最高点”)小球的速度最小，则小球运动到B点时速度不是最小，选项A错误；在整个运动过程中，静电力一直对小球做正功，则小球的机械能一直在增大，选项B正确；竖直方向受重力作用做竖直上抛运动，则AB和BC两段过程的时间相等，水平方向做初速度为零的匀加速运动，可知AB和BC两段过程的水平距离之比为1∶3，小球所受重力和静电力均为恒力，其合力也为恒力，则小球的加速度恒定，根据Δv=aΔt可知，AB和BC两段过程小球速度的变化量相同，选项C错误，D正确。](共52张PPT)
带电粒子在电场和重力场中的运动
专题强化6
第
十
章
1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在电场和重力场中的运动问题(重难点)。
2.会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题(重难点)。
学习目标
内容索引
专题强化练
一、带电粒子在电场和重力场中的直线运动
二、带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
三、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
< 一 >
带电粒子在电场和重力场中的直线运动
(1)如图甲，一带电液滴沿直线从b点运动到d点，bd与水平面成30°角，匀强电场方向竖直向下，液滴的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g，则液滴带 (填“正”或“负”)电，电场强度E＝，液滴做 运动。
例1
负
匀速直线
(2)如图乙，若其他条件不变，电场方向调整
为 ，电场强度为 ，液滴做
运动，加速度大小a＝ 。
水平向左
匀加速直线
2g
带电粒子在电场中做直线运动的条件
不可忽略重力的带电粒子(如油滴、小球等)在匀强电场中做直线运动时，重力与静电力的合力为恒力。
1.若合力的方向与运动方向在同一条直线上，带电粒子做匀变速直线运动；
2.合力为0，带电粒子做匀速直线运动，此种情况下，电场通常为竖直方向。
总结提升
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< 二 >
带电粒子在电场和重力场中的“抛体”运动
在水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且AB＝BC，如图所示。重力加速度为g，由此可知小球带 (填“正”或“负”)电，小球从A到B与从B到C的运动时间 (填“相等”或“不相等”)，静电力大小为 ，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小_______(填“相等”或“不相等”)。
例2
负
相等
2mg
相等
由题意可知，小球受到的静电力向上，与电场方向相反，所以小球带负电，两个运动过程水平方向的位移相等，所以运动时间也相等，在竖直方向有h＝gt2，h＝×t2，解得F＝2mg，速度变化量等于加速度与时间的乘积，即Δv＝at，结合以上的分析可得，AB过程Δv＝gt，BC过程|Δv|＝|·t|＝gt，故速度变化量的大小相等。
处理带电粒子在电场和重力场中“抛体”运动的方法
1.明确研究对象并对其进行受力分析。
2.将运动正交分解，分方向进行分析，把曲线运动转化为分方向的直线运动，利用牛顿运动定律、运动学公式求解。
3.涉及到功和能量问题可利用功能关系和动能定理处理。
①功能关系：静电力做的功等于电势能的减少量，W电＝Ep1－Ep2。
②动能定理：合力做的功等于动能的变化量，W＝Ek2－Ek1。
总结提升
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< 三 >
带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
将光滑绝缘圆轨道置于竖直面内，一带正电，质量为m的小球能在圆轨道内完成完整的圆周运动，圆轨道的圆心为O。重力加速度为g，轨道半径为R。
(1)在图甲中作图确定小球速度最大的位置A及小球速度最小的位置B。
例3
答案 见解析图(a)
(2)若将此轨道置于竖直向上匀强电场中，电场强度大小为E＝。
①小球受到重力与静电力合力大小为 ，方向 。
F合＝Eq－mg＝mg，方向竖直向上
mg
竖直向上
②在图乙中作图确定小球速度最大时所处的位置C及小球速度最小时所处的位置D。
答案 见解析图(b)
小球速度最大和最小时所处位置如图(b)
③若小球恰好完成圆周运动，则vD＝ ，vC＝ 。
在D点：qE－mg＝m
得：vD＝，从D→C的过程中：(qE－mg)·2R＝mm
得：vC＝。
(3)若将此轨道置于水平向右的电场中，电场强度大小为E＝，tan 53°＝。
①小球受重力与静电力的合力大小为 ，方向为 。
与水平方向成53°角斜向右下方
如图(d)所示，重力与静电力的合力F合大小为mg，方向与水平方向成53°角斜向右下方。
②在图丙中作图确定小球速度最大时所处的位置M和速度最小时所处的位置N。
答案 见解析图(c)
过圆心O作与F合方向一致的直线，交圆周于M、N两点，如图(c)。
③若小球恰好完成圆周运动，则vN＝ vM
＝ 。
在N点：F合＝mg＝m，得：vN＝
从N→M的过程中，F合·2R＝mm
得：vM＝。
解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法
1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
2.用“等效法”的思想找出带电体在电场和重
力场中的等效“最高点”和“最低点”。
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场
中的“竖直向下”方向。a＝视为等效重力场中的“等效重力加速度”。
总结提升
(2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)
①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
②物理最高点(最低点)：是指
总结提升
“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
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< 四 >
专题强化练
题号 1 2 3 4 5
答案 AC AD AC (1)－7.2×104 V (2)0.4 s (3)2×105 N/C AD
题号 6 7 8 9 10
答案 BCD D BD
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.(多选)(2024·抚州市高二期中)如图所示，某一空间为真空，只有水平向右的匀强电场和竖直向下的重力场，在竖直平面内有初速度为v0的带电微粒，恰能沿图示虚线由A点向B点做直线运动。下列说法正确的是
A.微粒只能带负电荷
B.微粒可能做匀加速直线运动
C.仅改变初速度的方向(与原速度不共线)，微粒
将做曲线运动
D.运动过程中微粒电势能减小
基础强化练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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答案
由题意可知，重力竖直向下，静电力只能水平向左，故微粒只有带负电荷才能做直线运动且一定是匀减速，故A正确，B错误；
合力方向一定，仅改变初速度方向(与原速度不共线)，则初速度和合力不共线，将做曲线运动，故C正确；
静电力方向与运动方向夹角为钝角，则静电力做负功，电势能变大，故D错误。
2.(多选)如图所示，真空中存在竖直向下的匀强电场，一个带电油滴(考虑重力)沿虚线由a向b运动，以下判断正确的是
A.油滴一定带负电
B.油滴的电势能一定增加
C.油滴的动能一定减少
D.油滴的动能与电势能之和一定减少
√
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答案
√
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答案
物体做曲线运动时，受到的合力的方向指向物体运动轨迹弯曲的凹侧，由此可知，该油滴受到的静电力的方向是向上的，与电场方向相反，所以油滴一定带负电，故A正确；
该油滴受到的静电力做正功，电势能减小，故B错误；
该油滴受到合外力做正功，油滴的动能增加，故C错误；
重力对油滴做负功，重力势能增加，根据能量守恒，油滴的动能和电势能之和一定减小，故D正确。
3.(多选)(2024·南阳市高二月考)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
1
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答案
√
√
当重力等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；
当重力小于静电力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；
根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa＝qφa，当小球运动到最高点a时，带负电小球的电势能一定最小，故C正确。
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答案
4.(2025·天津市高二期中)如图所示，纸面内存在方向与水平成θ角的匀强电场，在电场中的A点以速度v1＝3 m/s水平向右抛出一带正电的小球，小球沿直线向右运动的最大距离LAB＝0.6 m。已知小球的质量m＝0.02 kg，电荷量q＝1.25×10－6 C，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)A、B两点间电势差UAB；
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答案
答案 －7.2×104 V
小球由A到B过程根据动能定理有qUAB＝0－m
解得UAB＝－7.2×104 V
(2)小球由A到B的时间t；
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答案
答案 0.4 s
根据速度位移关系式有0－＝－2aLAB
根据速度时间关系式有0＝v1－at
联立解得a＝7.5 m/s2，t＝0.4 s
(3)电场强度E的大小。
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答案
答案 2×105 N/C
根据Eqsin θ＝mg，Eqcos θ＝ma
解得E＝2×105 N/C。
5.(多选)(2024·厦门市高二期中)如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度为E＝1×104 N/C的匀强电场。在匀强电场中有一根长L＝2 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08 kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。下列说法正确
A.小球的带电荷量q＝6×10－5 C
B.小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有动能的最小值
C.小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D.小球绕O点在竖直平面内做圆周运动过程中电势能和机
械能之和保持不变
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答案
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能力综合练
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答案
小球静止时悬线与竖直方向成37°角，受到重力、静电力和拉力，受力分析如图
根据平衡条件，有qE＝mgtan 37°
解得q＝＝6×10－5 C，故A正确；
小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最
高点A速度最小，动能最小，故B错误；
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答案
根据能量守恒定律，电势能和机械能之和保持不变，所以机械能最小的位置是电势能最大的位置，即与O点等高的最左的位置，故C错误；
小球在运动过程中只有重力与静电力做功，所以电势能和机械能之和保持不变，故D正确。
6.(多选)(2025·渭南市高二阶段练习)一个质量为m的带电小球，在一匀强电场中，以某一水平速度抛出，小球运动时的加速度方向竖直向下，大小为，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g，则小球在竖直方向下落h高度时，以下说法正确的是
A.小球的机械能减少
B.小球的电势能增加
C.小球的动能增加
D.小球的重力势能减少mgh
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答案
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√
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答案
由牛顿第二定律可知，小球所受的合力F合＝ma＝mg，方向向下，对小球下落过程，根据动能定理可知，小球的动能增加ΔEk＝mgh，C正确；
下落h高度过程中，对小球由牛顿第二定律有静电力F＝mg－ma＝mg，且方向竖直向上，则下落过程静电力做功W＝－mgh，故小球的电势能增加mgh，B正确；
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小球在竖直方向上下降h高度时重力做正功mgh，因此，小球的重力势能减少mgh，D正确；
小球的电势能增加，根据能量守恒定律可知，小球的机械能减少mgh，A错误。
7.(2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小。
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答案
由匀强电场中电势差与电场强度的关系，电场强度E＝
(2)小球在A、B两点的速度大小。
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在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m
A到B过程根据动能定理得
qU－mgL＝mm
联立解得vA＝，vB＝。
8.(2024·漳州市高二期末)如图，竖直平面内有水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E，场中有一根长为L的绝缘细线，一端固定O点，另一端系着质量为m的带正电小球，初始时小球静止于电场中的A点，此时细线与竖直方向夹角为θ＝37°，已知重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求O、A两点间电势差UOA；
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O、A两点间电势差为UOA＝ELsin θ
解得UOA＝
(2)求小球的带电荷量q；
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答案
小球静止时，由平衡条件得＝tan θ
解得q＝
(3)现给小球一个方向与细线垂直的初速度，让小球恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球运动的最小速度vmin。
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答案
重力和静电力都是恒力，它们的合力G等也是恒力，
等效重力为
G等＝
如图所示
小球做圆周运动过程，在等效最高点B点时速度最小，恰能通过B点有
G等＝m
解得vmin＝。
9.(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中
A.动能减小，电势能增大
B.动能增大，电势能增大
C.动能减小，电势能减小
D.动能增大，电势能减小
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尖子生选练
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答案
根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虚线(如题图)，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的位移方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小，故选D。
10.(多选)(2025·天津市高二期末)如图所示，在范围足够大的水平向右的匀强电场中，将一个带电小球以一定的初速度从A点竖直向上抛出，经过最高点B之后又运动至与抛出点等高的位置C点(图中未画出)的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.在整个运动过程中，小球运动到B点时速度最小
B.在整个运动过程中，小球的机械能一直在增大
C.AB和BC两段过程的水平距离相等
D.AB和BC两段过程，小球速度的变化量相同
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答案
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答案
在整个运动过程中受向下的重力和水平向右的静电力，其合力方向指向右下方，则当速度方向与合力方向垂直时(等效“最高点”)小球的速度最小，则小球运动到B点时速度不是最小，选项A错误；
在整个运动过程中，静电力一直对小球做正功，则小球的机械能一直在增大，选项B正确；
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答案
竖直方向受重力作用做竖直上抛运动，则AB和BC两段过程的时间相等，水平方向做初速度为零的匀加速运动，可知AB和BC两段过程的水平距离之比为1∶3，小球所受重力和静电力均为恒力，其合力也为恒力，则小球的加速度恒定，根据Δv＝aΔt可知，AB和BC两段过程小球速度的变化量相同，选项C错误，D正确。
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第
十
章
