5.4 平衡条件的应用 学案 (2)

5.4
平衡条件的应用之弹簧问题
学案2
【学习目标】
熟练运用平衡条件解决弹簧平衡问题
【知识要点】
在中学阶段，不考虑质量的“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型，在弹性限度内其弹力遵从胡克定律．借助“轻弹簧”设置复杂的物理情景，来考查胡克定律的应用、物体的平衡．
①用解析法来解动态平衡的图象问题时，通常是对研究对象进行受力分析，建立平衡方程，解出纵轴代表的因变量与横轴代表的自变参量之间的的函数关系，然后根据函数关系来确定其对应的具体图象．
②对于选择题中动态平衡的图象问题，尝试用假设法解，有时快捷有效．
例1：如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态，现对球施加一个水平向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态．若外力F方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角θ
<
90°，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出的弹簧的伸长量x与cosθ的函数关系图象中，最接近的是（
）
[分析]思路一：通常采用解析法找出弹簧的伸长量x与cosθ之间的函数关系来解题．
思路二：根据四个选项中各个图象的特点，结合本题动态平衡也可以用假设法来解题．
[解答]解法一：弹簧与竖直方向的夹角为θ时，钢球P受到重力G、水平力F和弹簧拉力kx作用而平衡，如图所示，则有kxcosθ=
G，即x
=
，，可见x与cosθ之间的关系图象是一条双曲线．
解法二：假设θ趋近于90°即弹簧趋近于水平位置，则cosθ趋近于0，在这种情况下，由平衡条件可知，弹簧的拉力应趋近于无穷大，弹簧的伸长量x也应趋近于无穷大，四个选项中只有D选项符合：当cosθ趋近于0时，x趋近于无穷大．
答案D．
注意：球缓慢偏移的过程中弹簧受到的拉力变大，本题极易受到“弹簧的伸长量与受到的弹力成正比”的影响而错选A。
例2：如图所示，把重为20N的物体放在倾角θ
=
30°的粗糙斜面上，物体上端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，弹簧与斜面平行．若整个系统处于静止状态，物体与斜面间的最大静摩擦力为12N，则弹簧对物体的弹力（
）
A．可能为24N，方向沿斜面向上
B．可能为零
C．可能为4N，方向沿斜面向上
　　D．可能为4N，方向沿斜面向下
[分析]因为斜面对物体静摩擦力的情况不清楚，弹簧是被压缩还是被拉伸也不清楚，所以需要讨论加以判断．
[解答]
因为下滑力F1
=
mgsin30°
=
10N小于最大静摩擦力Fm，所以弹簧可能被压缩、可能被拉伸、也可能处于自然状态（即选项B正确）．
假设斜面对物体的静摩擦力方向沿斜面向上、大小刚好达到12N，则弹簧对物体的弹力方向沿斜面向下、大小为12N
–
10N
=
2N，所以若弹簧对物体的弹力方向沿斜面向下，则弹力大小不超过2N，可见选项D错误．
假设斜面对物体的静摩擦力方向沿斜面向下、大小刚好达到12N，则弹簧对物体的弹力方向沿斜面向上、大小为12N
+10N
=
22N，所以若弹簧对物体的弹力方向沿斜面向上，则弹力大小不超过22N，可见选项C正确，A错误．
答案BC
[规律小结]由于弹簧可能被压缩、可能被拉伸、也可能处于自然状态，静摩擦力的大小不超过最大静摩擦力，所以弹簧弹力与静摩擦力结合的题目往往要讨论加以判断．
注意：本题极易认为弹簧对物体的弹力大小F满足：Fm
-
F1
≤
F
≤
Fm
+
F1即2N
≤
F
≤
22N，因没有考虑方向问题而错选CD。
同步训练：
1、如图所示，质量相等的A、B两物体，在平行于固定斜面的推力F的作用下沿光滑斜面匀速运动．A、B间轻弹簧的劲度系数为k，则弹簧的压缩量为（
）
A．
B．
C．
D．
2、如图，一木板B放在水平面上，木块A放在B的上面，A的右端通过水平轻质弹簧秤固定在墙壁上．用水平力F向左拉动B，使它以速度υ做匀速运动，这时弹簧秤示数恒为F1．下列说法中正确的是（
）
A．A受到的滑动摩擦力的大小等于F
B．地面受到的滑动摩擦力的大小等于F
C．若B以2υ的速度运动，A受到摩擦力的大小等于2F1
D．若用2F的力作用在B上，A受到的摩擦力的大小仍等于F1．
3、如图甲所示，一根轻质弹簧竖直地放在桌面上，下端固定，上端放一个重物，稳定后弹簧的长度为L．现将弹簧截成等长的两段，将重物等分成两块，如图乙所示连接后，稳定时两段弹簧的总长度为L′，则（
）
A．L′
=
L
B．L′
>
L
C．L′
<
L
D．因不知弹簧的原长，故无法确定
4、一根弹簧的伸长量△L
=
L
–
L0和所受的外力F之间的关系如图所示，若弹簧原长L0
=
50cm，试就图线回答：
⑴要使弹簧伸长到60cm，需要多大的拉力？
⑵如果用30N的力压弹簧，则弹簧长度变为多少？
5、质量为m的物体A压在放在地面上的竖直轻弹簧B上，现用细绳跨过定滑轮将物体A与另一轻弹簧C连接，当弹簧C处在水平位置且右端位于a点时，它没有发生形变，这时OA绳竖直，Oc绳水平．已知弹簧B和弹簧C的劲度系数分别为k1和k2，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦．现将弹簧C的右端由a点沿水平方向拉到b点时，弹簧B刚好没有形变，求a、b两点间的距离．
[参考答案]
1、B[解析]对A、B及弹簧整体，由平衡条件得F
=
2mgsin30°；对B，有kx
=
mgsin30°，解得x
=
．
2、D[解析]对A，由平衡条件得，A受到摩擦力的大小Ff1等于F1，只要A与B相对滑动，Ff1与F、B的速度均无关，所以选项C均错误，D正确；用F力作用时，对A、B整体，有F
=
F1
+
Ff2
=
Ff1
+
Ff2，所以选项A、B错误．
3、B[解析]把甲图中的弹簧视为等长的两段连接起来，显然甲、乙两图中的四段弹簧的劲度系数均相同．由于甲、乙两图中下段弹簧受到的压力一样大，其长度相同；由于甲图中上段弹簧受到的压力是乙图中上段弹簧受到的压力的两倍，所以甲图中上段弹簧的长度较短，L′
>
L．
4、[解析]根据图象可知斜率的倒数表示劲度系数k，k
=
EQ
\A(
)
=
30N/cm
⑴当△L1
=
L1
–
L0
=
60cm
–
50cm
=
10cm时，F1
=
k△L1
=
30×10N
=
300N．
⑵当F2
=
30N时，△L2
=
EQ
\A(
)
=
cm
=
1cm
所以弹簧长度变为L2
=
L0
-
△L2
=
50cm
-
1cm
=
49cm
5、解析：开始时，弹簧B被压缩长度△x1
=
，当弹簧B无形变时，m上升距离为△x1，c点右移△x1．这时，弹簧C
弹力k2△x2
=
mg，得弹簧C
的伸长量为△x2
=
，所以a、b间距离为△x1
+
△x2
=
mg
(
+
)．
【反思】
收获
疑问
cosθ
cosθ
cosθ
cosθ
30°
O
F/102N
30
20
10
2
4
6
8
ΔL/cm
C