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分课时学案
课题 4.1函数 单元 第四单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解函数的概念，能识别问题中的自变量、函数，判断两个变量是否构成函数关系。 2.掌握函数的三种表示方法，能结合实例进行转换与应用。 3.经历从实例抽象出函数概念的过程，提升观察、归纳和抽象能力，发展模型观念。 4.感受函数与生活的联系，激发用数学工具分析现实问题的兴趣。
重点 1.理解函数概念的核心：两个变量间的 “唯一对应” 关系。 2.掌握函数的三种表示方法及其特点。
难点 理解并判断 “对于自变量的每一个值，函数有唯一确定的值与之对应” 这一核心内涵，区分相关关系与函数关系。
教学过程
导入新课 情境引入：如下表为某运动 APP 的模拟数据： 问题：1.“当你走了 5000 步时，能确定消耗多少卡路里吗？ 2.这两个量之间有什么关系？”
新知讲解 探究活动一： 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 图4-1反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系。 (1)根据图4-1填写下表。 t/min012345…h/m…
(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 探究活动二： 操作思考： 1.圆柱形物体常常像图4-2那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 请填写下表： 层数n12345…物体总数y…
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系:T=t+273， T≥0. (1)当t分别为-43℃， -27℃， 0℃， 18℃时，相应的热力学温度T是多少？ (2)给定一个大于-273℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 总结归纳： 探究活动三： 思考交流： 在上面我们研究了三个问题.下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？ 函数的概念: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 表示函数的方法一般有：___________________________________________________ 探究活动四： 尝试思考： 上述问题中，自变量能取哪些值？ 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有 的对应值，这个对应值称为_______________________________________
课堂练习 巩固训练 1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数中，自变量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 4.如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后走路回家，中途去早餐店吃早餐，然后接着走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离.根据图象提供的信息，以下四个说法中错误的有( ) A.体育场离张强家3.5千米 B.张强在体育场锻炼了15分钟 C.体育场离早餐店1.5千米 D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 5.老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量与售价y(元)之间的关系如下表： 重量123…售价y/元…
根据表中数据可知，售价y(元)与重量之间的关系式为____________________. 6.小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示. (1)根据函数的定义，变量h______(填“是”或者“不是”)关于t的函数，变量h的取值范围是______. (2)结合图象回答： ①当时，h的值是______，它的实际意义是______； ②秋千摆动第二个来回需多少时间？
作业布置 基础达标： 1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数的自变量x的取值范围是( ) A.且 B.且 C. D.且 3.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 012345101112
下列说法错误的是( ) A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B.弹簧不挂重物时的长度为 C.当时，物体质量每增加，弹簧长度y增加 D.当时，x与y满足的关系式是 4.如图1，小亮家 报亭 羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( ) A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟 能力提升： 5.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表): 温度/℃0102030声速/318324330336342348
下列说法错误的是( ) A.在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声速为 D.当温度每升高，声速增加 6.清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山.小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶.小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达.如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程.则下列说法错误的是( ) A.爸爸的爬山速度为 B.1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C.山脚到山顶的总路程为 D.小明最后一段速度为 7.某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为___. x12345……y2325272931……
8.如图是某种杆秤.在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点.当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡.秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡.测得x与y的几组对应数据如下表： x/克024610y/毫米1014182230
由表中数据的规律可知，当克时，__________毫米. 拓展迁移： 9.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时是甲乙同时到达终点 ④甲的速度是乙速度的一半.其中，正确结论是________(填序号) 10.小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知自行车离家的距离与时间之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题： （1）小明骑自行车离家的最远距离是____； （2）小明骑自行车行驶过程中，最快的行驶速度是______，最慢的行驶速度是_____； （3）途中小明共休息了_____次，共休息了______； （4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是______.
参考答案：
巩固训练：
1. A；2. C；3. B；4. D
5.答案：
解析：由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
则y与x之间的关系式为，
故答案为：.
6.答案：(1)是；
(2)①；秋千摆动时，秋千离地面的高度为
②
解析：(1)由图像可知，对于每一个摆动的时间t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数，变量h的取值范围是，
故答案为：是；；
(2)①当时，，它的意义是：秋千摆动时，秋千离地面的高度为；
故答案为：；秋千摆动时，秋千离地面的高度为；
②由图像可知：秋千摆动第二个来回需，
∴秋千摆动第二个来回需.
作业设计：
1. D；2. B；3. B；4. D；5. D；6. D；7. 41；8. 50
9.①②④
10.答案：（1）35
（2）20，10
（3）2，1.5h
（4）17.5
解析：（1）利用图象的纵坐标得出小明骑自行车离家的最远距离是35km；
故答案为：35；
（2）小明行驶中第一段行驶时间为小时，行驶距离为15千米，故行驶速度为；
小明行驶中第二段行驶时间为小时，行驶距离为千米，故行驶速度为；
小明行驶中第三段行驶时间为小时，行驶距离为千米，故行驶速度为；，
小明行驶中第四段行驶时间为小时，行驶距离为千米，故行驶速度为；，
故最快的车速是20km/h，最慢的车速是10km/h；
故答案是：20，10；
（3）根据图象得出有两段时间纵坐标标不变，得出途中小明共休息了2次；
利用横坐标得出休息时间为：；
故答案是：2；1.5h；
（4）返回时所走路程为35km，使用时间为2小时，
返回时的平均速度17.5km/h.
故答案是：17.5km/h.
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第四章 函数
4.1函数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解函数的概念,能识别问题中的自变量、函数,判断两个变量是否构成函数关系。
01
掌握函数的三种表示方法,能结合实例进行转换与应用。
02
经历从实例抽象出函数概念的过程,提升观察、归纳和抽象能力,发展模型观念。
03
感受函数与生活的联系,激发用数学工具分析现实问题的兴趣。
04
02
新知导入
情境引入：
如下表为某运动 APP 的模拟数据：
问题：1.“当你走了 5000 步时,能确定消耗多少卡路里吗？
消耗了200卡路里
2.这两个量之间有什么关系？”
每25步可以消耗1大卡,即步数=25×卡路里.
03
新知探究
你坐过摩天轮吗？想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的？
图4-1反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系。
(1)根据图4-1填写下表
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
3
14
36
47
36
14
03
新知探究
你坐过摩天轮吗？想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的？
图4-1反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系。
(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗？
对于给定的时间t,相应的高度h也随之确定.
03
新知探究
一个变量t的值对应唯一一个变量h的值.
概括
03
新知探究
请填写下表：
1.圆柱形物体常常像图4-2那样堆放。随着层数的增加,物体的总数是如何变化的？
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
1
3
6
10
15
一个变量n的值对应唯一一个变量y的值；
03
新知探究
(1)当t分别为-43℃, -27℃, 0℃, 18℃时,相应的热力学温度T是多少
2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系:T=t+273, T≥0.
解:(1)当t分别为-43℃, -27℃, 0℃, 18℃时,相应的热力学温度T是230K,246K,273K,291K;
03
新知探究
(2)给定一个大于-273℃的t值,你都能求出相应的T值吗
2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系:T=t+273, T≥0.
(2)能,直接代入关系式：T=t+273即可.
一个变量t的值对应唯一一个变量T的值；
03
新知探究
相同点:这三个问题中都研究了两个变量.
不同点:在第一个问题中,是以图象的形式表示两个变量之间的关系;在第二个问题中,是以表格的形式表示两个变量间的关系;在第三个问题中,是以关系式来表示两个变量间的关系的.
通过对这三个问题的研究,明确“给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性.
在上面我们研究了三个问题.下面大家探讨一下,在这三个问题中的共同点是什么 不同点又是什么
03
新知探究
在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定另一个变量的值.
函数的概念：一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
表示函数的方法一般有：列表法、关系式和图象法.
概括
03
新知探究
注意:理解函数的概念应抓住以下三点：
(1)函数的概念由三句话组成：“两个变量”,“x的每一个值”,“y有唯一的值”；
(2)判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系的存在,更重要的是看对于x的每一个确定的值,y是否有唯一确定的值与之对应；
(3)函数不是数,它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.
03
新知探究
上述问题中,自变量能取哪些值
问题1中t≥0;
问题2中自变量n>0的整数;
问题3中自变量t为任意实数.
自变量取值范围要根据具体问题考虑,同时要考虑关系式有意义。
04
新知讲解
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
方法总结
1.下列图象中,不能表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
05
巩固训练
A
2.函数中,自变量x的取值范围是( )
A. B. C. D.
C
3.小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会太极拳,然后沿原路慢步走到家,下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
B
4.如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后走路回家,中途去早餐店吃早餐,然后接着走回家,其中x表示时间,y表示张强离家的距离.根据图象提供的信息,以下四个说法中错误的有( )
A.体育场离张强家3.5千米
B.张强在体育场锻炼了15分钟
C.体育场离早餐店1.5千米
D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
05
课堂练习
D
05
课堂练习
5.老张购进一批柚子,在集贸市场零售,已知卖出的柚子重量x(kg)与价y(元)之间的关系如下表：
根据表中数据可知,售价y(元)与重量x(kg)之间的关系式为_______________.
重量 1 2 3 …
售价y/元 …
6.小红帮弟弟荡秋千(如图①),秋千离地面的高度h (m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示.
(1)根据函数的定义,变量h______(填“是”或者“不是”)关于t的函数,变量h的取值范围是__________________.
05
课堂练习
是
6.小红帮弟弟荡秋千(如图①),秋千离地面的高度h (m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示.
(2)结合图象回答：
①当t=0.7s时,h的值是______,它的实际意义是______；
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
05
课堂练习
秋千摆动时,秋千离地面的高度为；
由图像可知：秋千摆动第二个来回需,
∴秋千摆动第二个来回需.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
知识:①函数的概念:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们就称y是x的函数.其中x是自变量.
②表示函数的方法:列表法、关系式法和图象法.
1.下列图象中,不能表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
06
作业设计
基础达标：
D
2.函数的自变量x的取值范围是( )
A.且 B.且 C. D.且
B
3.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y (cm)与所挂的物体的质量x (kg)间有下面的关系：
下列说法错误的是( )
A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量,
B.弹簧不挂重物时的长度为0cm,
C.当0D.当006
作业设计
B
基础达标：
0 1 2 3 4 5
10 11 12
06
作业设计
B
基础达标：
4.如图1,小亮家 报亭 羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟
5.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表):
下列说法错误的是( )
A.在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速
B.温度越高,声速越快
C.当空气温度为时,声速为
D.当温度每升高,声速增加
06
作业设计
能力提升：
温度/℃ 0 10 20 30
声速/ 318 324 330 336 342 348
D
06
作业设计
能力提升：
6.清明假期第一天天气晴朗,小明与爸爸去爬山.小明与爸爸同时从山脚出发,由于爸爸有爬山经验,始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶.小明刚开始的时候比爸爸速度快,累了之后减速继续爬山,和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸,最终爸爸用2个小时爬上了山顶,小明比爸爸晚了6分钟到达.如图,横坐标为时间,纵坐标为爬山的路程.则下列说法错误的是( )
A.爸爸的爬山速度为,
B.1.5小时的时候爸爸与小明的距离为,
C.山脚到山顶的总路程为,
D.小明最后一段速度为.
D
06
作业设计
能力提升：
7.某电影院第x排的座位数为y个,y与x的关系如表格所示,第10排的座位数为___.
x 1 2 3 4 5 ……
y 23 25 27 29 31 ……
8.如图是某种杆秤.在秤杆的点A处固定提纽,点B处挂秤盘,点C为0刻度点.当秤盘不放物品时,提起提纽,秤砣所挂位置移动到点C,秤杆处于平衡.秤盘放入x克物品后移动秤砣,当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡.测得x与y的几组对应数据如下表：
41
06
作业设计
能力提升：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知,当克时,__________毫米.
50
06
作业设计
迁移拓展：
9.甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位：千米),甲行驶的时间为t(单位：小时),s与t之间的函数关系如图所示,有下列结论：
①出发1小时时,甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时,乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时是甲乙同时到达终点
④甲的速度是乙速度的一半.其中,正确结论是________(填序号)
①②④
06
作业设计
迁移拓展：
10.小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼,15时回家,已知自行车离家的距离与时间之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)小明骑自行车离家的最远距离是__________；
(2)小明骑自行车行驶过程中,最快的行驶速度是_________,最慢的行驶速度是________；
(3)途中小明共休息了________次,共休息了_________；
(4)小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是_________.
Thanks!
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4.1函数教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 四单元
课题 4.1函数 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生从实际情境中抽象出函数概念，理解两个变量间的对应关系，掌握函数的三种表示方法（列表法、关系式法、图象法）。通过具体实例，发展抽象能力和模型观念，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，培养学生运用数学眼光观察现实生活的意识，提升分析和解决问题的能力。
教材分析 本节是函数的入门课，教材以摩天轮高度与时间、物体堆放总数与层数等生活实例为载体，引导学生观察变量间的依赖关系，逐步抽象出函数的核心要素——“唯一对应”。内容编排由具体到抽象，既衔接了七年级变量关系的学习，又为后续一次函数等具体函数的学习奠定基础，注重让学生经历概念形成过程，渗透数学建模思想。
学情分析 学生已接触过具体情境中的变量关系，但对 “抽象对应关系” 的认知空白。八年级学生抽象思维处于发展初期，对 “唯一性” 的理解易停留在表面，易将 “相关关系” 等同于 “函数关系”，需通过多实例对比突破认知难点，借助具象操作加深对抽象概念的理解。
教学目标 1.理解函数的概念，能识别问题中的自变量、函数，判断两个变量是否构成函数关系。 2.掌握函数的三种表示方法，能结合实例进行转换与应用。 3.经历从实例抽象出函数概念的过程，提升观察、归纳和抽象能力，发展模型观念。 4.感受函数与生活的联系，激发用数学工具分析现实问题的兴趣。
教学重点 1.理解函数概念的核心：两个变量间的 “唯一对应” 关系。 2.掌握函数的三种表示方法及其特点。
教学难点 理解并判断 “对于自变量的每一个值，函数有唯一确定的值与之对应” 这一核心内涵，区分相关关系与函数关系。
教法与学法分析 教法采用情境链驱动，通过摩天轮等实例串引导学生观察归纳；学法以自主探究为主，学生通过列表、分析关系式、解读图象，小组合作提炼函数本质特征，主动建构概念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情境引入： 如下表为某运动 APP 的模拟数据： 问题：1.“当你走了 5000 步时，能确定消耗多少卡路里吗？ 消耗了200卡路里 2.这两个量之间有什么关系？” 每25步可以消耗1大卡，即步数=25×卡路里. 情景导入，引起学生学兴趣 通过生活中的问题引入，积极思考 从学生熟悉的生活场景切入，通过具象数据感知 “一个量确定另一个量唯一确定” 的特征，为函数概念的引入搭建直观桥梁，体现数学与生活的联系。
探究活动一： 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？ 图4-1反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度h(单位：m)与旋转时间t(单位：min)之间的关系。 (1)根据图4-1填写下表。 (2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ t/min012345…h/m3 14 36 47 36 14 …
对于给定的时间t，相应的高度h也随之确定. 归纳：“一个变量t的值对应唯一一个变量h的值”，强调“对应”和“唯一”。 引导学生利用图象分析，理解两个变量之间的关系 积极思考，小组合作，由图象探究两个变量之间的关系 通过生活情境，结合图象，继续探究两个变量之间的关系，让学生利用图象填写表格，进一步理解两个变量的“唯一对应”关系.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 操作思考： 1.圆柱形物体常常像图4-2那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 请填写下表： 层数n12345…物体总数y1361015…
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(单位：K)与摄氏温度t(单位：℃)之间有如下数量关系：T=t+273， T≥0. (1)当t分别为-43℃， -27℃， 0℃， 18℃时，相应的热力学温度T是多少 解：(1)当t分别为-43℃， -27℃， 0℃， 18℃时，相应的热力学温度T是230K，246K，273K，291K； (2)给定一个大于-273℃的t值，你都能求出相应的T值吗 (2)能. 总结归纳： 一个变量n的值对应唯一一个变量y的值；一个变量t的值对应唯一一个变量T的值，强调“对应”和“唯一”。 通过两个问题，进一步探究两个变量之间的关系 积极思考，小组合作交流，进一步探究两变量之间的关系. 继续利用表格和关系式探究两个变量之间的关系，进一步理解“唯一对应”
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： 在上面我们研究了三个问题.下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么 不同点又是什么 相同点：这三个问题中都研究了两个变量. 不同点：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；在第二个问题中，是以表格的形式表示两个变量间的关系；在第三个问题中，是以关系式来表示两个变量间的关系的. 通过对这三个问题的研究，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性. 函数的概念： 在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定另一个变量的值. 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 表示函数的方法一般有：列表法、关系式和图象法. 强调：理解函数的概念应抓住以下三点： （1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有唯一的值”； （2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系的存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应； （3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系. 探究活动四： 尝试思考： 上述问题中，自变量能取哪些值 问题1中t≥0；问题2中自变量n>0的整数；问题3中自变量t为任意实数. 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 引导学生思考三个问题中的变量的异同点，总结函数的概念 小组合作，总结归纳函数的概念 通过上面问题的展示，小组合作交流，学生展示后教师点评，强调易错点，归纳总结重点.从具体实例中得出函数的概念，进一步感悟抽象的数学思维.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数中，自变量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 4.如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后走路回家，中途去早餐店吃早餐，然后接着走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离.根据图象提供的信息，以下四个说法中错误的有( ) A.体育场离张强家3.5千米 B.张强在体育场锻炼了15分钟 C.体育场离早餐店1.5千米 D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 5老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量与售价y(元)之间的关系如下表： 重量123…售价y/元…
根据表中数据可知，售价y(元)与重量之间的关系式为______. 6.小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示. (1)根据函数的定义，变量h______(填“是”或者“不是”)关于t的函数，变量h的取值范围是______. (2)结合图象回答： ①当时，h的值是______，它的实际意义是______； ②秋千摆动第二个来回需多少时间？ 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：①函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数.其中x是自变量.
②表示函数的方法：列表法、关系式法和图象法. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.1函数 1.函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数.其中x是自变量.
2.表示函数的方法：列表法、关系式法和图象法. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数的自变量x的取值范围是( ) A.且 B.且 C. D.且 3.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 012345101112
下列说法错误的是( ) A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B.弹簧不挂重物时的长度为 C.当时，物体质量每增加，弹簧长度y增加 D.当时，x与y满足的关系式是 4.如图1，小亮家 报亭 羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( ) A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟 能力提升： 5.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)： 温度/℃0102030声速/318324330336342348
下列说法错误的是( ) A.在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B.温度越高，声速越快 C.当空气温度为时，声速为 D.当温度每升高，声速增加 6.清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山.小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶.小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达.如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程.则下列说法错误的是( ) A.爸爸的爬山速度为 B.1.5小时的时候爸爸与小明的距离为 C.山脚到山顶的总路程为 D.小明最后一段速度为 7.某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为___. x12345……y2325272931……
8.如图是某种杆秤.在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点.当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡.秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡.测得x与y的几组对应数据如下表： x/克024610y/毫米1014182230
由表中数据的规律可知，当克时，__________毫米. 拓展迁移： 9.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时是甲乙同时到达终点 ④甲的速度是乙速度的一半.其中，正确结论是________(填序号) 10.小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知自行车离家的距离与时间之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题： （1）小明骑自行车离家的最远距离是____； （2）小明骑自行车行驶过程中，最快的行驶速度是______，最慢的行驶速度是_____； （3）途中小明共休息了_____次，共休息了______； （4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是______.
教学反思 本节课通过实例探究，学生对函数概念有了初步认识，但对 “唯一性” 的理解仍有模糊处。后续需增加反例辨析练习，强化核心特征认知；可结合动态课件演示变量变化过程，帮助抽象思维较弱的学生突破难点，提升概念理解的精准度。
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