【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练17相似②（含解析）

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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练17相似②
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共8小题）
（2025 河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
（2025 长春）将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN
C．AN＝BQNQ D．
（2025 陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
（2025 宜宾）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2025 遂宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（　　）
A． B． C．6 D．
（2025 连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
（2025 宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　）
A． B．4 C．2 D．2
（2025 黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF，②∠EAH＝∠EHA，③EN BF＝EC HN，④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC，⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
1 、填空题（本大题共8小题）
（2025 烟台）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（6，），△ABC的顶点A的坐标为（4，3）．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧，以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐标为　 　 ．
（2025 黑龙江）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM＝3，则AMBM的最小值为 　 　 ．
（2025 浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ．
（2025 宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则的最小值是 　 　 ．
（2025 青岛）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD的中点．连接BF并延长交AE于点G，交CD的延长线于点M，H为BE的中点，连接GH，CH，CG．下列结论：①CH∥AE，②∠M＝30°，③S△CGHS正方形ABCD，④AG MF＝CD AF．正确的是 　 　 （填写序号）．
（2025 兰州）如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　 　 ．（结果用π表示）
（2025 宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是　 　 ．
（2025 成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，则tan∠ACB的值为 　 　 ，点E在BC的延长线上，连接DE，若∠CED＝∠ABD，则CE的长为 　 　 ．
1 、解答题（本大题共5小题）
（2025 南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G．
（1）求证：AG＝2GC，
（2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I．
①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离，
②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值．
（2025 广元）综合与实践
（1）【初步感知】
如图①，△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE AB＝AD AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数，
（2）【深入探究】
如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段BC上一点，连接AE，过点A在AE上方作FA⊥EA，使S△AEFS矩形ABCD，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F到BC的距离的最大值，
（3）【学以致用】
如图③，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，点E是线段AB的中点，点F是线段BC上一点，连接EF，过点E在EF上方作GE⊥FE，使S△EFGS梯形ABCD，当△ADG的面积最小时，求EG的长．
（2025 乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程，
【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹），
【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD，
【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
（2025 江西）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ，
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值，
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由，
（4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）．
（2025 成都）如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点Q．
【特例感知】
（1）如图1，当CE＝BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ，
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若CG＝3，GQ＝5，求DQ的长，
【拓展延伸】
（3）如图2，当CE＝2BE时，点P在BC边上，若，求的值．（用含n的代数式表示）
【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练17相似②答案解析
1 、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进行判断，当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对B选项进行判断，当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断，当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断．
解：∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，
当添加∠B+∠4＝180°时，
∵∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意，
当添加CD∥AB时，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意，
当添加∠1＝∠4时，
∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意，
当添加∠2＝∠3时，
∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，
∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性质．
【考点】相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），平行线分线段成比例
【分析】由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
解：由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意，
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴，，
∴BC＝2DE，DE＝2MN，
∴BC＝4MN，
∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意，
∵MN∥PQ∥BC，
∴，，，
∴，，故C正确，不符合题意，
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
∴，，，
∴，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质
【分析】根据正方形性质及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE，证明△BCE和△AEF相似得EF，再根据三角形的面积公式即可得出△CEF的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BEAB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，
∴△BCE∽△AEF，
∴，
∴EF，
∴△CEF的面积为：CE EF5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积
【分析】如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，证明出△AFD∽△ACB，得到，，设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，表示出，然后得到，进而求解即可．
解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F，
∵AD＝2DB，
∴2，
∴
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s，
∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
【考点】相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM＝MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△MBC，再根据相似三角形的性质求解即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴，
由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG，
设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，
则CM＝MN，
设CM＝MN＝x，
∵S△ABC＝S△MBC+S△ABM，
∴，
即5×12＝5x+13x，
解得：，即，
则，
由作图痕迹可知：AQ⊥BH，
∴∠AQB＝∠C＝90°，
∵∠CBG＝∠ABG，
∴△ABQ∽△MBC，
∴，即，
解得：．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键．
【考点】含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质
【分析】设BC＝x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB＝2x，，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的长，等角的正弦值相等，得到，求出BE的长，进而求出的长即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC，，
设BC＝x，则AB＝2x，，
∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，
∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAD，
∴，即：，
∴，
∴，
解法二：延长AC与BE相交于点F，
利用相似三角形求出比值，
故选：A．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理，矩形的判定与性质
【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．
解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，
∵直线l∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAG＝90°，
∵EF⊥CE，，
∴，
∴，
∵∠CEF＝∠CAG＝90°，
∴△CEF∽△CAG，
∴，∠ECF＝∠ACG，
∴，∠GCF＝∠ACE，
∴△GCF∽△ACE，
∴∠CGF＝∠CAE＝90°，
∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°，
∴∠HGF＝∠ACG，
∵tan∠ACG，
∴∠ACG和∠HGF都是定值，
∴点F在射线GF上运动，
∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N，
∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°，
∴四边形ACNH是矩形，
∴HN＝AC＝4，AH＝CN，
∵BF⊥GF，∠CGF＝90°，
∴BF∥CG，
∴∠FBN＝∠GCN，
∵AH∥CN，
∴∠CGA＝∠GCN，
∴∠FBN＝∠CGA，
∵∠FNB＝∠CAG＝90°，
∴△FNB∽△CAG，
∴，
∵AGAC，
∴FN＝2BN，
设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x，
∴FH＝4﹣2x，
∴AH＝CN＝x+5，
∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3，
∵tan∠ACG＝tan∠HGF，
∴，
∴，
解得x＝1，
∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4，
∴GF2，，
∵△GCF∽△ACE，
∴，
∴，
解得AE＝4，
∴当BF最短时，则AE的长度为4．
故选：B．
【点评】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段BF最短时的几何图形是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【分析】根据题意容易证明△AEB≌△AFB（SAS），从而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，进而可得∠EAH＝∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≌∠BCK（AAS），结合四边形BMNK是平行四边形可得MN＝BK＝AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC﹣△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN BF＝CN AF＝CN AE＝EC HN，从而得出结论③正确，过点F作FP⊥AC，设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出，从而求出 故结论④正确，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误．
解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，
在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，
∴△AEB≌△AFB（SAS），
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵EG⊥AF，
∴∠NEC+∠AFE＝90°，
又∵∠BAF+∠AFE＝90°，
∴∠NEC＝∠BAF，
∵BK∥EN，
∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，
∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，
设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，
∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，
∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确，
∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，
∵在△ABF和△BCK中，
，
∴△ABF≌∠BCK（AAS），
∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，
∵BK∥EN，AB∥CD，
∴四边形BMNK是平行四边形，
∴MN＝BK，
∴MN＝AF，故结论①正确，
∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴△NEC﹣△BAF，
∴，
∴EN BF＝CN AF，
∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，
∴△AEC∽△HNC，
∴，
∴CN AE＝EC HN，
∵AE＝AF，
∴CN AF＝EC HN，
∴EN BF＝EC HN，故结论③正确，
过点F作FP⊥AC，如图2，
设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，
∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，
∵
∴AP5，
∴，
故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，
∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，
∴△CNH不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形，全等三角形的判定与性质等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．
1 、填空题
【考点】位似变换，规律型：点的坐标
【分析】利用待定系数法求出直线AP的解析式，利用两点间的距离公式求出AP，根据位似变换的性质求出AP3，再根据两点间的距离公式列出方程，解方程得到答案．
解：设直线AP的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线AP的解析式为yx+6，
AP，
由题意得：AP1＝2AP＝5，AP2＝2AP1＝10，AP3＝2AP2＝20，
设A3的坐标为（m，m+6），
则（m﹣6）2+（m+6）2＝202，
解得：m1＝﹣10，m2＝22（舍去），
当m＝﹣10时，m+6，
∴点A3的坐标为（﹣10，），
故答案为：（﹣10，）．
【点评】本题考查的是位似变换，图形的变化规律，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用，勾股定理
【分析】在BC上取点G，使CG＝1，构造出△MCG﹣△BCM，得，再根据两点之间线段最短得出即当M在AG上时， 取最小值．
解：在BC上取点G，使CG＝1，
又∵BC＝9，CM＝3，，
又∵∠MCG＝∠MCB，
∴△MCG∽△BCM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即当M在AG上时，取最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出．
【考点】相似三角形的判定与性质，矩形的性质，垂径定理，圆周角定理
【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD，则⊙O的直径AC2．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AF＝1，EG＝FG＝3，
∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，
∴△CDG∽△AEG，
∴1，
∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD，
∴AC2，
∴⊙O的直径为2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，利用计算出CF，证△EDK∽△CDF，推出，可得EK取最大值时，取最小值，点D运动过程中，始终保持AE⊥CD，所以点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，EK取最大值，分两种情况讨论：当点E在弧AF上时，当点E在弧CF上时，进一步解答即可．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，
由勾股定理得：，
∵，
∴．
∵CF⊥AB，EK⊥AB，
∴∠EKD＝∠CFD＝90°，
又∵∠EDK＝∠CDF，
∴△EDK∽△CDF，
∴，
∵，是定值，
∴EK取最大值时，取最小值，
∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD，
∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上，
当点E在弧AF上时，当点E，K，O共线时，即点E在E′位置时，EK取最大值，
∵∠AK′O＝∠ACB＝90°，∠K′AO＝∠CAB，
∴△K′AO∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴，即EK的最大值为，
∴，
∴的最小值是3，
当点E在弧CF上时，
同理可知，E与点C重合时，D与B重合，EK最大，
∴的最小值是1，
综上所述，的最小值是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，找出点E的运动轨迹是解题的关键．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形
【分析】证明△ADE≌△BCE（SAS），推出∠AED＝∠BEC，再由直角三角形斜边中线的性质求得∠HCE＝∠BEC，推出∠HCE＝∠AED，可得到CH∥AE，故①正确，证明∠M＝∠ABF，由正切函数的定义可判断②错误，由平行线的性质求得S△CGH＝S△CEH，即可求得，故③错误，证明△AFG∽△MFD，推出，再等量代换即可证明④正确．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠AED＝∠BEC，
∵点H为BE的中点，
∴，
∴∠HCE＝∠BEC，
∴∠HCE＝∠AED，
∴CH∥AE，故①正确，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，即AB∥DM，
∴∠M＝∠ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAF＝90°，
∵点F为AD的中点，
∴，
∴，
∴∠M≠30°，故②错误，
∵CH∥AE，
∴S△CGH＝S△CEH，
设正方形ABCD的边长为2a，
∴S正方形ABCD＝（2a）2＝4a2，，
∴S正方形ABCDS正方形ABCD，故③错误，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAF＝90°，
∵点E，F分别为CD，AD的中点，
∴DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠EAD＝∠FBA，
∵∠M＝∠FBA，
∴∠M＝∠EAD，
∵AB∥DM，
∴△ABF∽△DMF，
∴，
∵点F为AD的中点，
∴．
∴DM＝AB＝CD，
∵∠AFG＝∠MFD，∠M＝∠EAD，
∴△AFG∽△MFD，
∴，
∵DM＝CD，
∴．
∴AG MF＝CD AF，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
【考点】黄金分割，矩形的性质，正方形的判定与性质
【分析】先根据黄金矩形ABCD中，且 AD＝2，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”AFHK的长．
解∵黄金矩形ABCD中，且 AD＝2，
∴，
∵四边形ABFE是正方形，
∴，
∴，
∵四边形FGHC是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形LKDH是正方形，
∴，
∴“黄金螺线”AFHK的长为
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式，根据黄金矩形的定义求出AB的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，圆周角定理，旋转的性质
【分析】先整理得AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，则，结合∠BCE＝∠ACD＝90°，整理得∠ACB＝∠ECD，证明△CED∽△ACB，即∠EDC＝∠ABC＝90°，运用定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1，运用勾股定理得，即可作答．
解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，连接DE，
∴∠ACD＝90°，
∵△ACD面积为24，
∴，
∴AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，
∵BC＝6，
∴BC×CE＝6×8＝48，即AC×CD＝BC×CE，
∴，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
∴∠ACB＝∠ECD，
∵，
∴△CED∽△CAB，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∵CE＝8，
即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上，
记圆心为直径CE的中点O，
即⊙O的半径OD＝4，
连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1，
此时BD1为BD的最大值，
故，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以CE为直径的圆上是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】作AH⊥BC．DG⊥BC．DF⊥AH，垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG＝FH，DF＝HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG＝DG，三线合一得到BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，证明△ADF∽△ACH，得到，设DF＝3x，CH＝5x，求出DG，CG的长，正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED，列出比例式进行求解即可．
解：作AH⊥BC，DG⊥BC，DF⊥AH，垂足分别为H，G，F，则四边形DFHG为矩形，
∴DG＝FH，DF＝HG，DF∥HG，DG∥AH，
∵∠DBC＝45°
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BG＝DG，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，∠ABC＝∠ACB，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACH，
∴，
∴设DF＝3x，CH＝5x，
则HG＝DF＝3x，BH＝CH＝5x，
∴DG＝BG＝BH+HG＝8x，CG＝CH﹣HG＝2x，
∴，
∴在Rt△CGD中，，
由勾股定理，得（2x）2+（8x）2＝22，
∴（负值舍去），
∴，BC＝2CH＝10x，
∵∠CED＝∠ABD，∠ACB＝∠E+∠CDE，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
又∵∠E＝∠E，
∴△DEC∽△BED，
∴，
∴，DE2＝BE CE＝（BC+CE） CE，
∴，
解得：CE＝0（舍去）或CE，
故答案为：4，．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键．
1 、解答题
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到，得到BC＝2CM，求得AD＝2CM，得到，于是得到AG＝2GC，
（2）①根据勾股定理得到，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，得到r＝2，于是得到结论，
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由AB+AC＝2BC得，在△BCD中，，解方程得到，根据相似三角形的性质得到，求得，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADG∽△CMG，
∴，
∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM，
∴AD＝2CM，
∴，
∴AG＝2GC，
（2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴BD＝AC＝10，
如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，
设IH＝r，则（BC+CD+BD） rBC CD，
∴r＝2，
即IH＝2，
∴点I到BC的距离为2，
②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，
设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，
由AB+AC＝2BC得，
在△BCD中，，
∴，
∵GQ∥AB，
∴△CGQ∽△CAB，
∴，
∵AG＝2GC，
∴AC＝3GC，
∴，
∴，
∴GQ＝IH，
∵IH⊥BC，GQ⊥BC，
∴GQ∥IH，
∴四边形GQHI是平行四边形，
∴GI∥BC，
即EF∥BC，
∴，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∴．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由∠CAD＝∠EAB推出∠CAB＝∠DAE，结合AE AB＝AD AC得比例式，证明△ABC∽△ADE，利用∠C＝90°得出∠E的度数．
（2）由矩形面积和△AEF面积关系得AE AF的定值，结合FA⊥EA和矩形中∠ABE＝90°，证明△ABE∽△AFD，得出∠AFD＝90°，即可得出F在以AD为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解．
（3）先计算梯形的面积和△EFG的面积，结合GE⊥FE得FE GE的定值，根据（2）构造矩形QPEB，证明△PEG∽△FEB，得出∠PGE＝∠FBE＝90°，得出G在PE为直径的圆上，进而求得出当△ADG的面积最小时，得出△PGE是等腰直角三角形，勾股定理即可得出EG的长．
（1）解：∵∠CAD＝∠EAB，
∴∠CAD+∠DAB＝∠EAB+∠DAB，
即∠CAB＝∠DAE，
∵AE AB＝AD AC，
∴，
∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等），
∵∠C＝90°，
∴∠E＝∠C＝90°，
（2）证明：∵FA⊥EA，，
∴，
即AF AE＝AB AD，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴∠BAD＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，
∵FA⊥EA，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAD＝∠BAE＝90°﹣∠DAE，
∴△ABE∽△AFD，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上运动，
∴F到BC的最大距离为，
（3）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝AB＝8，BC＝16，
∴，
∵GE⊥FE，
∴，
即GE EF＝24，
∵点E是线段AB的中点，
∴，
如图，取BQ＝6，作矩形QPEB，则PE＝QB＝6，∠PEB＝∠B＝90°，连接PG，
∴EB PE＝4×6＝24，
∴EB PE＝GE EF，
∴，
又∵∠GEF＝∠PEB＝90°，
∴∠GEP＝∠FEB＝90°﹣∠PEF，
∴△PEG∽△FEB，
∴∠PGE＝∠FBE＝90°，
∴G在PE为直径的圆上，
∴当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时△PGE是等腰直角三角形，
∴．
【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解．
【考点】相似形综合题
【分析】【问题初探】AC＝x，则BC＝1﹣x．根据黄金分割点，得，代入数值计算，即可作答，
【问题再探】根据题意作出图形即可，
【知识迁移】由正方形和矩形的性质得出∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，由点C为线段AB的黄金分割点，根据相似三角形的性质即可得出结论，
【延伸拓展】根据正五边形的性质得到∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，推出△AME∽△AED，根据相似三角形的性质得到AE：AD＝AM：AE，得到AE2＝AD AM，等量代换即可得到结论．
【问题初探】解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为，
【问题再探】解：如图所示，点E即为AC的黄金分割点，
【知识迁移】证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD，
【延伸拓展】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、黄金分割、正方形的性质、矩形的性质、正五边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握黄金分割和正方形的性质以及正五边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可，
（2）由题意得△AEF∽△AOB，推出∠EAB＝∠EAO，，再得到△AFB∽△AEO，推出，根据正方形的性质求解即可，
（3）同理可证△AFB∽△AEO，得到，根据线段垂直平分线的性质求得AB＝2BG，再根据余弦函数的定义求解即可，
（4）同理可证，，，根据BE＝OE+OB，求解即可．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA，
∴旋转角为45°，k，
∴k，
故答案为：45°，，
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB，，
∴∠FAB＝∠EAO，，
∴△AFB∽△AEO，
∴，
∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴，
∴，
（3）的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∴，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO＝BO，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2BG，cos∠ABO，
∴，
∴，
∴的值与α无关，
（3）同理可证，∠BAO，2cos，
∴BF＝OE 2cos，BA＝OB 2cos，
∵BE＝OE+OB，
∴BF+BA＝OE 2cos
＝2（OE+OB）cos，
即BF+BA＝2BEcos．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，再结合平行四边形的性质可得∠PCG＝∠QFG，然后根据三角形内角和定理可得∠CQE＝∠P，即可求证，
（2）根据全等三角形的性质可得EQ＝EP，从而得到FQ＝CP，可证明△FQG≌△CPG，从而得到FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，再由折叠的性质得：AF＝AB，再根据△CGP∽△BAP，可得AB＝12，即可求解，
（3）延长AD，EQ交于点M，设CQ＝a，BE＝b，证明△DQM∽△CQE得出DM＝2bn，证明△FEP∽△CEQ，得出，证明△AMF∽△PEF，得出，进而求得，根据PC∥AD得出△GPC∽△GAD，根据相似三角形的性质，即可求解．
解：（1）由折叠的性质得：∠B＝∠AFE，BE＝FE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠PCG，
∴∠AFE＝∠PCG，
∵∠AFE＝∠QFG，
∴∠PCG＝∠QFG，
∵∠FGQ＝∠CGP，
∴∠CQE＝∠P，
∵CE＝BE，BE＝EF，
∴EF＝EC，
又∵∠CEQ＝∠FEP，
∴△EFP≌△ECQ（AAS），
（2）∵△EFP≌△ECQ，
∴EQ＝EP，
∵EF＝EC，
∴FQ＝CP，
∵∠FGQ＝∠CGP，∠CQE＝∠P，
∴△FQG≌△CPG（AAS），
∴FG＝CG＝3，GQ＝GP＝5，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△CGP∽△BAP，
∴，
∴，解得：AB＝12，
∴CD＝12，
∴DQ＝CD﹣CG﹣QG＝4，
（3）如图，延长AD，EQ交于点M，
设CQ＝a，BE＝b
∴，CE＝2BE，
∴DQ＝an，EC＝2b，
∴AB＝CD＝（n+1）a，AD＝3b，
∵△ABE关于AE折叠，
∴AF＝AB＝（n+1）a，
∵AD∥BC，即DM∥EC，
∴△DQM∽△CQE，
∴，即，
∴DM＝2bn
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADQ，
又∵△ABE关于AE折叠，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFQ+∠AFE＝180°，
∴∠AFQ+∠ADQ＝180°，
∴∠DAF+∠DQF＝180°，
∵∠EQC+∠DQF＝180°，
∴∠EQC＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠FPE，
∴∠EQC＝∠FPE，
又∵∠FEP＝∠CEQ，
∴△FEP∽△CEQ，
∴，即，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AMF∽△PEF，
∴，
∴，
解得：，
∴，
又∵PC∥AD，
∴△GPC∽△GAD，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
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