第一章三角形 单元测试—基础卷（含解析）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第一章 三角形（单元测试—基础卷）数学鲁教五四制2024版七年级上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组中的两个图形为全等形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，≌，点在边上，，和相交于点．下列说法：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若≌，，则．
其中正确的有（　　）个．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．下列说法正确的个数（　　）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，交于点，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（ ）

A． B． C． D．
6．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
7．如图，要测量河两岸相对的两点A． B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C． D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A． C． E在同一条直线上(如图所示)，可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是( )
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
8．如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（ ）
①以为圆心，长为半径画，交于点．
②作射线，则．
③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点．
④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F
A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-②
9．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在和中，点，分别在线段，上，，与相交于点，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是 只需写一个，不添加辅助线．
12．如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹弧②的作法是 ．
13．为三角形三边长，化简的结果是 ．
14．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为 ．
16．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
三、解答题
17．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，，，求证：．
18．如图所示，分别是的高，已知．
(1)请画出的高和；
(2)求的面积；
(3)若，求的长．
19．如图，已知线段a、b及，用直尺和圆规画图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)画一条线段AC，使它等于；
(2)求作：使
20．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
21．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A，B，C均在格点上．
(1)过点C作，垂足为点D；
(2)连接，线段，的大小关系是________（用“”连接）；
(3)连接，在方格纸中找一格点E，使得的面积与的面积相等（不含点C，画出一个即可）．
23．将正方形的顶点放置在直线上，．
(1)如图①，若，则的度数为______；
(2)如图②，若（），请在直线下方用尺规作，使得（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(3)如图③，若（），射线平分，射线平分，直接写出的度数．
24．“一线三等角”学习探究．
“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．
(1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由．
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《第一章 三角形（单元测试—基础卷）数学鲁教五四制2024版七年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B D B D B C
1．C
【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意；
C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意；
D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
【详解】∵是的中线，
∴，A说法正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，B说法正确，不符合题意；
∵是高，
∴，
∴，C说法正确，不符合题意；
∵，
∴，D说法错误，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】依据全等三角形的性质，即可得到∠BED=∠EDC，进而得出BE∥AC；依据全等三角形的性质，即可得到∠1=∠DEO=36°，∠1=∠AEB=36°，∠C=72°，即可得出∠C+∠BEC=180°，进而得出BE∥AC．
【详解】∵△AEC≌△BED，
∴∠BED=∠AEC，
∴∠1=∠AEB，
由∠B=∠A，∠1=∠AEB，不能得到BE∥AC，故（1）错误；
∵△AEC≌△BED，
∴BD=AC，∠BDE=∠C，
又∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE，
∵ED=EC，
∴∠C=∠EDC，
∴∠BED=∠EDC，
∴BE∥AC，故（2）正确；
∵△ECD≌△EOD，
∴∠1=∠DEO=36°，
又∵∠1=∠AEB=36°，CE=DE，
∴∠C=72°，
∴∠C+∠BEC=180°，
∴BE∥AC，故（3）正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质以及平行线的判定，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
4．D
【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确；
②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α，
（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确；
④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确；
⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确；
⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确．
故选D．
【点睛】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键.
5．B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、可利用证明，故此选项不合题意；
B、由不可利用证明，故此选项符合题意；
C、由可得可利用证明，故此选项不合题意；
D、由、、可利用证明，故此选项不合题意；
故选：B．
6．D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
7．B
【分析】先根据题意及图像挖掘出相等的边或角，再根据全等三角形的判定方法即得．
【详解】∵AB是BF的垂线，BF是DE的垂线
∴
∵与互为对顶角
∴
在与中
∴
∴判定三角形全等的方法是：角边角．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定的实际问题及数形结合思想等，将题目文字信息转化为几何语言是解题关键．
8．D
【分析】本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
【详解】解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，；
①以为圆心，长为半径画，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交于点；
②作射线，则，
故正确的顺序是④①③②，
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键．
根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得．
【详解】解：∵点是的中点， 的面积为，
∴，
∵点是的中点，
∴，同理可得，
同理可得，．
故选B．
10．C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：因为是的平分线，所以．
在与中，
，
所以，
所以题图（1）中有1对全等三角形．
同理，题图（2）中，，所以．
因为，所以．
又因为，所以，
所以题图（2）中有3对全等三角形．
同理，题图（3）中有6对全等三角形
……
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
11．答案不唯一
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．
由已知条件和公共角，再添加，可利用定理证明，即可得出结论．
【详解】解：添加条件：，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．以点E为圆心，长为半径画弧
【分析】根据做一个角等于已知角的作图方法，即可求解，
本题考查了，作图做一个角等于已知角，解题的关键是：熟练掌握作图做一个角等于已知角．
【详解】解：以点E为圆心，长为半径画弧，
故答案为：以点E为圆心，长为半径画弧．
13．0
【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长，
所以，
，
，
．
故答案为：0．
14．
【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半．
【详解】解：为中点，
，
为中点，
，
，
为中点，
，即阴影部分的面积为，
故答案为：．
15．或或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．
⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
16．12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．
【详解】标记角度如下：
∵在等腰中，，，
∴与等高，底边比值为
∴与的面积比为，
∵的面积为18
∴的面积为6，的面积为12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：12．
17．见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定定理，根据平行线的性质得到然后利用""证明，即可求解．
【详解】解：
，
在和中，

18．(1)见详解
(2)30
(3)
【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可；
（2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得；
（3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得．
本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示：
；
（2）解：∵，是的高，
∴．
（3）解：∵是的高，且
∴，
∴，
∴．
19．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键．
（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取和即可；
（2）根据作一个角等于已知角的知识进行尺规作图，进行作答，即可求解．
【详解】（1）解：作出线段，
先在纸上任取一直线，在其上截取线段，使和给定线段相等；
再以相同方法在上截取线段，使和给定线段相等；
则，如图：
故线段即为所求；
（2）解：作得到 (使)，
用圆规以为圆心，截取同一半径分别与、相交于、，
在另一直线上取一点，以同样的半径在处作弧，与该直线相交于，
调整圆规使两脚分别跨在、间的弧长上，再以为一脚，在刚才的弧上截出，
连接与，得到的即与相等，如图：
故即为所求；
20．爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键.
【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下：
由题意可知，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵分别为和，
∴
∵，
∴，
∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的.
21．（1）；（2）；（3）10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出即可．
（2）利用面积法求出高与的比即可．
（3）利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．
22．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、垂线段的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
（1）根据网格线的特征作图；
（2）根据垂线段最短求解；
（3）根据同底等高面积相等，作是格点即可．
【详解】（1）解：如图所所示：即为所求；
（2）解：由垂线段最短得：，
故答案为：；
（3）解：如图所示：点E即为所求．
23．(1)40°
(2)见解析
(3)135°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及基本作图，正确找出各角之间的数量关系是本题解题的关键．
（1）根据平角的定义求解即可；
（2）以为圆心，为半径向下画弧，交于，以为圆心，为半径作弧，两弧交点为，作直线即可；
（3）根据角平分的定义，求出和的角度和，再根据平角的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
故答案为：40；
（2）如图：
（3）解：，，
，
射线平分，射线平分，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)全等，见解析
(3)，与的夹角为，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）利用已知求得，进而证明；
（2）根据题意证明，进而即可证明；
（3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解；
【详解】（1）解：（1），，
，，
又，
，
，
在和中，，
（2）和全等，理由如下：
，
，且，
，
在和中，，
（3），与所成夹角为，理由如下：
，
，且，
，
和均为等边三角形，
，
在和中，，
，
，，
又在等边和等边中，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
综上所述：，与的夹角为．
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