6.2 反比例函数的图象与性质 同步练习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

6.2 反比例函数的图象与性质
一．选择题（共4小题）
1．（2025 河东区校级模拟）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
2．（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象上有两点P1（m1，n1），P2（m2，n2）．若n1+n2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．m1+m2＝0 B．m1﹣m2＜0 C．m1﹣m2＝0 D．m1﹣m2＞0
3．（2025 高新区校级四模）如图， OABC的一边OA在y轴上，反比例函数的图象过 OABC的顶点C和对角线OB的中点D，已知点B的坐标为（4，8），则点A的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，6） D．（0，8）
4．（2025 杏花岭区二模）已知反比例函数，其图象与直线y＝﹣2x有交点，且交点的横坐标为1，则关于该反比例函数的性质，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．函数图象关于y轴对称
C．函数图象位于第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
二．填空题（共4小题）
5．（2025春 海州区校级期中）设函数与y＝x+6的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　 　 ．
6．（2025 广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与y＝x+3的图象交于点P（a，b），则代数式a2+b2的值为　 　 ．
7．（2025 荷塘区三模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△EBC的面积为 　 　 ．
8.（2025 邗江区三模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … a b c d …
若a＞b，则c 　 　 d．（填“＞”“＜”或“＝”）
三．解答题（共3小题）
9．（2025 方城县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A（1，0），B（0，3），以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E（即对角线的交点）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）求k的值．
10．（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象经过（﹣3，2），（m，n）两点．
（1）当m＞2时，求n的取值范围．
（2）设一次函数y2＝ax+3a+2（a＜0），当x＜0时，比较y1与y2的大小．
11．（2024秋 定西期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（4，1），且过点B（0，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是12，求点P的坐标．
6.2 反比例函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2025 河东区校级模拟）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的增减性，即可解答．
【解答】解：由条件可知该反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0＜2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象上有两点P1（m1，n1），P2（m2，n2）．若n1+n2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．m1+m2＝0 B．m1﹣m2＜0 C．m1﹣m2＝0 D．m1﹣m2＞0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意可得，根据n1+n2＝0得到，据此可得答案．
【解答】解：由条件可知，
∵n1+n2＝0，
∴，
∴，
∵k＞0，
∴m1+m2＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025 高新区校级四模）如图， OABC的一边OA在y轴上，反比例函数的图象过 OABC的顶点C和对角线OB的中点D，已知点B的坐标为（4，8），则点A的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，6） D．（0，8）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用点D是OB的中点求出点D的坐标和反比例函数解析式，再由BC∥OA得到点C的横坐标，代入反比例函数解析式求得点C的坐标，再根据点D是AC的中点求出点A的坐标．
【解答】解：连接AC，
由条件可知点D是AC的中点，BC∥OA，
又∵B（4，8），
∴D（2，4），
将点D（2，4）代入得：，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式是．
∵BC∥OA，
∴点C的横坐标是4，
当x＝4时，，
∴C（4，2），
又∵点D是AC的中点，C（4，2），D（2，4），
∴A（0，6），
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2025 杏花岭区二模）已知反比例函数，其图象与直线y＝﹣2x有交点，且交点的横坐标为1，则关于该反比例函数的性质，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．函数图象关于y轴对称
C．函数图象位于第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象与性质及正比例函数图象性质逐项解答判断即可．
【解答】解：A、反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大，故原说法错误，不符合题意；
B、反比例函数关于原点对称，不关于y轴对称，原说法错误，不符合题意；
C、反比例函数与y＝﹣2x有交点，所以反比例函数在二、四象限，故原说法错误，不符合题意；
D、当x＞0时，反比例函数在第四象限，y随x的增大而增大，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
二．填空题（共4小题）
5．（2025春 海州区校级期中）设函数与y＝x+6的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　﹣2　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】把交点坐标代入2个函数解析式后，得到ab＝﹣3，b﹣a＝6，再利用整体代入法求的值即可．
【解答】解：由条件可知与b＝a+6，
∴ab＝﹣3，b﹣a＝6，
∴．
故答案为：﹣2．
【点评】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查反比例函数与一次函数图象上点的特征，分式的化简求值，解题的关键是求出ab与b﹣a的值，然后将所求代数式化为ab与b﹣a的形式，采用整体代入的思想解决问题．
6．（2025 广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与y＝x+3的图象交于点P（a，b），则代数式a2+b2的值为　13　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据两函数相交可得：a b＝2，a+3＝b，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解；
【解答】解：由条件可知a b＝2，a+3＝b，
∴a﹣b＝﹣3，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025 荷塘区三模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△EBC的面积为 　4.5　 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；反比例函数的性质．
【专题】数形结合；应用意识．
【答案】4.5．
【分析】易得矩形ABCD的面积等于两个反比例函数的比例系数的绝对值的和，那么△EBC的面积等于矩形ABCD的面积一半，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：∵点A、D分别在函数、的图象上，
∴S矩形ABCD＝3+6＝9，
∴S△EBCBC ABS矩形ABCD＝4.5，
故答案为4.5．
【点评】本题考查反比例函数的k的几何意义的相关知识．用到的知识点为：反比例函数上任意一点向坐标轴引垂线，所形成的矩形的面积等于反比例函数的比例系数的绝对值．
8．（2025 邗江区三模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … a b c d …
若a＞b，则c 　＞　 d．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义．
【专题】反比例函数及其应用；数感．
【答案】＞．
【分析】根据反比例函数的变化性质判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1，a＞b，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴c＞d．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
9．（2025 方城县三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A（1，0），B（0，3），以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E（即对角线的交点）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）求k的值．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；中心对称；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣3x+3；
（2）4．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CFB＝90°，证明△BOA≌△CFB（AAS）求得点C坐标，再利用中点公式求得点E坐标，代入即可解答．
【解答】解：（1）由条件可知，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+3；
（2）由条件可知OA＝1，OB＝3，
如图，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CFB＝90°．
由条件可知AB＝BC，∠ABC＝90°．
∴∠CBF+∠OBA＝90°．
∵∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠CBF＝∠BAO．
∵∠BOA＝∠CFB＝90°，
∴△BOA≌△CFB（AAS），
∴CF＝OB＝3，OA＝BF＝1，
∴OF＝OB+BF＝3+1＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
∵点A（1，0），
∴点E的坐标为，即E（2，2），
∵反比例函数的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E，
∴k＝2×2＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，利用一线三等角模型求得点C坐标是解题的关键．
10．（2025 浙江模拟）已知反比例函数的图象经过（﹣3，2），（m，n）两点．
（1）当m＞2时，求n的取值范围．
（2）设一次函数y2＝ax+3a+2（a＜0），当x＜0时，比较y1与y2的大小．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）﹣3＜n＜0；
（2）当﹣3＜x＜0时，y1＞y2．
【分析】（1）首先求出y1的函数表达式为，然后根据反比例函数的增减性求解即可；
（2）首先判断出直线经过点（﹣3，2），得到y1与y2函数图象的一个交点为（﹣3，2），进而求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知k＝﹣3×2＝﹣6，
∴y1的函数表达式为．
∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，
在图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当m＞2时，﹣3＜n＜0．
（2）由y2＝ax+3a+2＝a（x+3）+2可知，直线经过点（﹣3，2）
∴y1与y2函数图象的一个交点为（﹣3，2）．
又∵a＜0，
∴y2随x的增大而减小，
∴当x＜﹣3时，y1＜y2；
当x＝﹣3时，y1＝y2；
当x＜0时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，一次函数和反比例函数交点问题，熟记相关结论是解题关键．
11．（2024秋 定西期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（4，1），且过点B（0，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是12，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】常规题型；函数的综合应用；模型思想；应用意识．
【答案】（1）y；y＝x﹣3；
（2）P（9，0）．
【分析】（1）将点A（4，1）代入y，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，将点A（4，1）B（0，﹣3）代入y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（m≠0）的图象过点A（4，1），
∴m＝4．
∴反比例函数的表达式为y．
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（4，1）和B（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣3；
（2）如图，设一次函数y＝x﹣3的图象与x轴的交点为C．
令y＝0，则x﹣3＝0，x＝3，
∴点C的坐标为（3，0）．
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝12，
∴PC×1PC×3＝12，
∴PC＝6，
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，C（3，0）．
∴P（9，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP列方程是解题的关键．