北师大版（2024）八年级数学上册 4.2 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 表格式教案

第四章 一次函数
4.2 认识一次函数
第2课时 一次函数与正比例函数的概念
教学设计
课题 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 授课人
教学目标 1.知道一次函数和正比例函数的概念以及它们之间的关系。 2.能写出实际问题中一次函数和正比例函数的关系式并能解决简单的实际问题。 3.渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性。 4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学重点 1.一次函数与正比例函数的概念。 2.一次函数与正比例函数的关系。 3.会根据已知信息写出一次函数与正比例函数的表达式。
教学难点 一次函数知识的运用。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情境导入 一个蛤蟆一张嘴， 两只眼睛四条腿， 扑通一声跳下水。 两个蛤嫫两张嘴， 四只眼睛八条腿， 扑通、扑通跳下水。 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？ 通过游戏感知生活中的变化关系；易于聚焦课堂，适时渗透德育。
探究新知 1.一次函数、正比例函数的概念 在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示： (1)随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的吗？ (2)写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由。 解：（1）观察表格，每次所挂物体质量增加 1 kg，弹簧长度都增长 0.5 cm，所以随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的。 （2）y＝0.5x＋3.0由前面可知，所挂物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增长 0.5 cm，且当 x＝0 时，y＝3 cm， ∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝3＋0.5x。 思考 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。 （1）完成下表： （2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式。 解：由题意，得汽车每行驶1km的耗油量为 L， ∴ 耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式为 y＝ x。 （3）写出油箱剩余油量 z (单位：L)与汽车行驶 x 之间的关系式。 解：z＝40－ x。 探究 （1）在上面情境中，我们得到下列关系式，它们有什么共同的特征？ （2）请你写出具有一个这种特点的关系式。 a＝5＋2b 教师归纳： 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。 函数是一次函数→关系式为：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 函数是正比例函数→关系式为：y＝kx( k 为常数，k≠0) 注意 对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。 针对练习 1．下列函数中，正比例函数是（ C ） A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝x D.y＝ 2．下列函数：①y＝2x；②y＝4x－1；③y＝3－x；④y＝。其中一次函数的个数是（ D ） A．1 B．2 C．3 D．4 教师总结 1.判定一个函数是一次函数的条件： 答：① k，b为常数，k≠0； ② x 的次数是 1。 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 答：① k，b为常数，k≠0； ② x 的次数是 1； ③ b = 0。 正比例函数是一种特殊的一次函数。 2.根据条件列正比例函数、一次函数关系式 （链接例1、例2） 3.实际情境中k，b的意义 探究 (1)例(1)中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ (2)一般地，k，b 对一次函数 y＝kx＋b 有怎样的影响？ 解：（1）例(1)中的两个一次函数分别是 y＝60x 和 y＝15＋5x， y＝60x 的一次项系数 k＝60 ，常数项 b＝0； y＝15＋5x 的一次项系数 k＝5 ，常数项 b＝15。 k 表示自变量每增加 1 个单位时因变量的变化量， b 表示当自变量为 0 时因变量的值。 （2）k 决定函数图象的升降及陡峭程度， b 决定函数图象与 y 轴的交点位置。 （链接例3） 与问题 1衔接，根据学生已有的知识基础和生活经验，巧设问题，培养学生独立思考的能力；另一方面培养学生的合作意识，在简单交流后达成共识。
典例精析 【例1(教材P81例1)】写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (单位：km)与行驶时间 x (单位：h)之间的关系； （2）圆的面积 y (单位：cm2)与它的半径 x (单位：cm)之间的关系； （3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度 5 m3/h,经过 x h 这个水池内有水 y m3。 【解】（1）由路程＝速度×时间，得 y＝60x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。 （2）由圆的面积公式，得 y＝πx2，y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数。 （3）这个水池每小时增加水 5 m3，x h 增加水 5 x m3， 因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。 【例2】已知函数 y＝(m－5) 24＋m＋1。 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。 【解】（1）∵ y＝(m－5) 24＋m＋1 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。 ∴ m＝±5 且 m≠5。 ∴ m＝－5。 ∴ 当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5) 24＋m＋1 是一次函数。 （2）∵ y＝(m－5) 24＋m＋1 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。 ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。 这样的 m 不存在。 ∴ y＝(m－5) 24＋m＋1 不可能是正比例函数。 【例3(教材P82例2)】在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。 （1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间 t (单位：s)之间的关系式 y＝kt＋b，并说明 k 和 b 的实际意义。 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。 【解】（1）刹车开始时汽车的速度为 120 km/h， 每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h， 于是经过 t s 汽车的速度减少了 35 t km/h， 所以 y 与 t 的关系式是 y＝－35t＋120。 其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量， b＝120 表示刹车开始时汽车的速度。 （2） 汽车停止时速度 y＝0， 解方程 0＝－35t＋120， 得 t＝≈3.43。 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s。 通过例题再次强化对概念的理解，并让学生们体会一次函数的应用价值；指出一次函数的定义可以帮助我们方便地计算，从而指导我们的生活。
随堂检测 1．一段导线，在 0 ℃ 时的电阻为 2 欧，温度每增加 1 ℃，电阻增加 0.008 欧，那么电阻 R 欧表示为温度 t ℃的函数关系为（ B ） A．R＝－1.992t＋2 B．R＝0.008t＋2 C．R＝2.008t＋2 D．R＝2t＋2 2．如果 y＝kx＋2k＋x 是关于 x 的正比例函数，则 k 的值为 0 。 3．当 m＝ ±3 时，函数 y＝ 8＋(3－m)是一次函数。 4．有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为 0.5 公顷每小时的小麦收割机来收割。 (1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x (单位：时) 之间的函数关系式； (2) 求收割完这块麦田需用的时间。 解：(1) y＝0.5x； (2) 把 y＝10 代入 y＝0.5x 中，得 10＝0.5x。 解得 x＝20，即收割完这块麦田需要 20 小时。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。
课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。
作业布置
板书设计 第2课时 一次函数与正比例函数的概念
教学反思