北师大版（2024）八年级数学上册 6.1 第4课时 方差的应用 表格式教案

第六章 数据的分析
6.1 平均数与方差
第4课时 方差的应用
教学设计
课题 6.1 第4课时 方差的应用 授课人
教学目标 1.理解方差的概念，掌握方差的计算公式。 2.理解组内离差平方和最小的含义，并能运用其解决实际问题。 3.能够运用方差分析数据，比较不同组数据的离散程度。
教学重点 掌握方差和组内离差平方和最小的计算方法。
教学难点 能运用方差和组内离差平方和最小解决实际问题。
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 通过回顾旧知为学习新知做好准备。
探究新知 1.方差的应用 试一试：如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题： （1）不进行计算，说说A、B两地这一天气候的特点。 （2）分别计算这一天A、B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？ 答：(1)A、B两地平均气温相近，但A地日温差较大， B地日温差较小． (2)A地平均气温20.42 ℃，方差7.76； B地平均气温21.35 ℃，方差2.78． 思考 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？ 议一议：某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表： （1）他们的平均成绩分别是多少？ （2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ （3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ （4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？ （1）甲601.6 cm，乙599.3 cm. （2）甲65.84，乙284.21. （3）甲运动员成绩较稳定，因为其方差比较小；还可以说乙较有潜质，因为乙的最远成绩比甲的最远成绩好等. (答案不唯一，合理即可) （4）在10次比赛中，甲运动员有9次超过596cm，而乙仅有5次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛。 若要打破610cm的跳远记录，则一般应选乙运动员。 （1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？ 反映数据的波动大小。方差越大,数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小。 （2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 　　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况。 2.离差平方和的应用 试一试：10个苹果的直径如图所示。 (1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分 说说你分组的理由。 (2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则 与同伴进行交流。 （1）可以将直径较大的一组分为：81、80、80、78、76；直径较小的一组分为：76、75、75、70、69。理由是使两组数据整体水平相近。 （2）分组原则是先确定最大最小值及差值，再确定合适组距，保证每组数据个数大致相等并按序分组 。 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 （链接例1） 针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识,设计了一个现实生活中的例子,旨在消除学生的这种片面的看法,从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响,体会数据的波动是广泛而有特点的。
典例精析 【例1（教材P153例题）】 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组。 【解】将10个数据由小到大排序： 65, 69, 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80, 81。 把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69, …, 81}; 第一组2个数据{65, 69}, 第二组8个数据{70, …,81}; ……; 第一组9个数据{65, …, 80}, 第二组1个数据{81}。 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和 S1=(65－67) +(69－67) =8;第二组有 8个数据{70，75，76，76，78，80, 80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和: S2 = (70 - 77) + (75 - 77) + …+ (81 - 77) = 90。 因此第 2 种分组情况的组内离差平方和S= S1＋S2=8+90= 98。 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65, 69, 70}, {75, 76, 76, 78, 80, 80, 81}。 通过例题讨论中学生的反应,使教师及时了解学生对“组内离差平方和达到最小”的方法的理解和掌握情况,以便教师及时对学生进行矫正。
随堂检测 1.已知一组数据的方差为4，现将每个数据都加上3，则新数据的方差为（ B ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 16 2.下列哪种情况适合使用组内离差平方和最小的原理？（ C ） A. 比较两种药物的疗效 B. 将学生按成绩分组 C. 分析股票价格波动 D. 预测天气变化 3. 若一组数据 x1 + 1，x2 + 1，…，xn + 1 的方差为 1，则另一组数据 x1 + 2，x2 + 2，…，xn + 2 的方差是 1 ；数据 3x1 + 2，3x2 + 2，…，3xn + 2 的方差是 9 。 4. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下： （1）填写下表： （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价. 【解】从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好； 从甲、乙的平均数看，平均数都是 84 分，两人成绩一样好； 从方差看，s2甲 = 14.4，s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定； 从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好. 5.为考查某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高（单位：cm），结果如下：21，21，22，23，23，24，25，25。按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组。 【解】计算不同分组的组内离差平方和如下： 其中组内离差平方和最小的分组是{21，21，22}，{23，23，24，25，25}和{21，21，22，23，23},{24,25,25}. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.方差的作用　　 2.利用方差解决实际问题 3.利用组内离差平方和最小对数据进行分组 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 6.1 第4课时 方差的应用 1.方差的应用 反映数据的波动大小。方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 2.离差平方和的应用 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。
教学反思