第2章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,x2≠x”的否定是( )
[A] x∈R,x2≠x [B] x∈R,x2=x
[C] x R,x2≠x [D] x∈R,x2=x
【答案】 D
【解析】 全称量词命题的否定为存在量词命题,原命题的否定为 x∈R,x2=x.故选D.
2.已知a,b为实数,若α:ab=0,β:a2+=0,则α是β的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 当ab=0时,若a=1,b=0,不能推出a2+=0,不满足充分性;
若a2+=0,则a=b=0,有ab=0,满足必要性.
所以α是β的必要且不充分条件.故选B.
3.已知p: x∈R,x2-x<-2;q: x∈(0,1),|x-1|<1,则( )
[A]p假q假 [B]p假q真
[C]p真q真 [D]p真q假
【答案】 B
【解析】 由x2-x<-2 x2-x+2<0 +<0,得该不等式的解集为 ,所以p为假命题;
因为|x-1|<1 -1
4.设A,B,C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B=C”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 由A∩B=A∩C不一定得到B=C,但由B=C一定可得A∩B=A∩C,所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要且不充分条件.故选B.
5.若不等式|x-1|[A]{a|a≥3} [B]{a|a≥1}
[C]{a|a≤3} [D]{a|a≤1}
【答案】 A
【解析】 因为不等式|x-1|设不等式的解集为A,则{x|0当a≤0时,A= ,不满足要求;
当a>0时,A={x|1-a若{x|06.对于任意实数x,用[x]表示不大于x的最大整数,例如:[π]=3,[0.1]=0,[-2.1]=-3.则“[x]>[y]”是“x>y”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 对任意的x∈R,记{x}=x-[x],则0≤{x}<1,
若[x]>[y],则[x]≥[y]+1,即x-{x}≥y-{y}+1,则x-y≥{x}-{y}+1,
因为0≤{x}<1,0≤{y}<1,则-1<-{y}≤0,由不等式的基本性质可得-1<{x}-{y}<1,
所以0<{x}-{y}+1<2,所以x-y≥{x}-{y}+1>0,即x>y,
所以“[x]>[y]” “x>y”;
若x>y,如取x=2.5,y=2.3,则[x]=[y]=2,故“x>y”“[x]>[y]”.
因此,“[x]>[y]”是“x>y”的充分且不必要条件.故选A.
7.命题p: x∈(2,3),3x2-a>0,若命题p是真命题,则a的取值范围为( )
[A]{a|a>27} [B]{a|a≤12}
[C]{a|a<12} [D]{a|a≥27}
【答案】 B
【解析】 由命题p: x∈(2,3),3x2-a>0为真命题,得不等式a<3x2在x∈(2,3)上恒成立.
当x∈(2,3)时,可得12<3x2<27,所以a≤12.故选B.
8.设m,n∈R,当mn≥0时,m n=m+n;当mn<0时,m n=|m+n|.例如-6 4=2,则“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 当a=0,b=-1或a=-1,b=0时,ab=0.由当mn≥0时,m n=m+n知,a b=-1+0=-1.当a b=-1时,根据定义可知ab≥0,所以a+b=-1,故只要满足ab≥0且a+b=-1即可,显然不止a=0,b=-1或a=-1,b=0这两种情况,比如a=b=-,a=-,b=-等也满足,所以“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的充分且不必要条件.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中是真命题的是( )
[A]方程2x2-3x+4=0没有实数根
[B] x∈{1,-1,0},2x+1>0
[C] x∈N,使≤x
[D] x∈N*,使x为29的约数
【答案】 ACD
【解析】 对于A,因为方程2x2-3x+4=0,Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以方程2x2-3x+4=0没有实数根成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,故D为真命题.故选ACD.
10.下列各个选项中,p是q的充分且不必要条件的是( )
[A]在△ABC中,p:∠A是钝角,q:△ABC是钝角三角形
[B]p:a,b均为无理数,q:ab为无理数
[C]p:a-b>3,q:a>b
[D]p:>1,q:a>b
【答案】 AC
【解析】 钝角三角形中三个角都有可能为钝角,p是q的充分且不必要条件,故A正确;
若a=1+,b=1-,则ab=-1,所以p不是q的充分条件,故B不正确;
由a-b>3,可得a>b+3>b,但由a>b推不出a-b>3,p是q的充分且不必要条件,故C正确;
若a=-2,b=-1,则=2>1,但a11.已知集合A={x|a+1[A]a<7 [B]a<6 [C]a<5 [D]a<4
【答案】 AB
【解析】 因为集合A={x|a+1当A= 时,a+1≥2a-3,解得a≤4,此时A∩B= ;
当A≠ 时,a+1<2a-3,解得a>4,若A∩B= ,则解得-3≤a≤5,
又a>4,则4则A∩B= 的充要条件为a≤5,
所以A∩B= 的必要且不充分条件可能是a<7,a<6.故选AB.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若p是q的充分且不必要条件,q是r的充分且不必要条件,那么r是p的 条件.
【答案】 必要且不充分
【解析】 由已知得p q r,所以p r,但由r不能推出p,故r是p的必要且不充分条件.
13.“0【答案】 充分且不必要 必要且不充分
【解析】 若方程ax2+2x+1=0只有负实根,
当a=0时,方程2x+1=0的根为x=-,符合题意;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a,
当Δ=0,即a=1时,方程的根为x1=x2=-1,符合题意,
当Δ>0,即a<1且a≠0时,方程有两个不相等的实数根x1,x2,若都是负根,
则解得a>0,所以0综上所述,0≤a≤1.
反之,若0≤a≤1,则方程只有负实根,也就是说ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件是0≤a≤1.
故“014.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,命题q: x∈R,2x2+5x+a=0,若p的否定是假命题,q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 {a|3≤a≤}
【解析】 由 x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,得a≥3.
由p的否定是假命题,得p是真命题,于是得a≥3;
x∈R,2x2+5x+a=0,即方程2x2+5x+a=0有实根,则Δ=25-8a≥0,解得a≤,又q是真命题,
则a≤.
因此,由p的否定是假命题,q是真命题,可得3≤a≤,所以实数a的取值范围是{a|3≤a≤}.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题,并判断真假,说明理由.
(1)对所有的实数a,b,关于x的方程ax+b=0有唯一解或无解;
(2)存在实数x,使得=2.
【解】 (1) a∈R,b∈R,方程ax+b=0有唯一解或无解.
该命题为假命题.
理由:当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数个解.
(2) x∈R,=2.该命题为假命题.
理由:因为|x+1|+1≥1,所以≤1.
所以不存在x∈R,使得=2.
16.(本小题满分15分)
已知命题p:{x|2≤x≤10},命题q:{x|x2a+1}(a>0),若p是q的充分且不必要条件,求a的取值范围.
【解】 因为p是q的充分且不必要条件,
所以p q,qp,
所以{x|2≤x≤10} {x|x2a+1}(a>0).
画出数轴:
结合数轴得a>10或2a+1<2,
故a的取值范围为{a|a>10,或017.(本小题满分15分)
已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p与q中有且仅有一个为真一个为假,求实数m的取值范围.
【解】 (1)若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,则解得m>2.
因为命题p的否定为真命题,所以命题p为假命题,所以实数m的取值范围为(-∞,2].
(2)若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,则Δ=16(m-2)2-16<0,所以(m-2)2<1,即-1当p真q假时,解得m≥3;
当p假q真时,解得1综上可得,实数m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).
18.(本小题满分17分)
已知集合A={x||x-4|≤6},B={x||x-m|≤2}.
(1)当m=1时,求集合B.
(2)若“ x∈A,使得x∈B”为真命题,求m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解】 因为B={x||x-m|≤2},所以B={x|m-2≤x≤m+2}≠ .
(1)当m=1时,解得B={x|-1≤x≤3}.
(2)因为A={x||x-4|≤6},所以A={x|-2≤x≤10},
因为“ x∈A,使得x∈B”为真命题,所以A∩B≠ ,
所以-2≤m+2≤10或-2≤m-2≤10,解得-4≤m≤12,
所以m的取值范围是[-4,12].
(3)存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件.
若存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,则B A,
所以(等号不能同时成立),解得0≤m≤8,
当m=0时,B={x|-2≤x≤2},符合题意,
当m=8时,B={x|6≤x≤10},符合题意,
所以存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,此时m的取值范围是[0,8].
19.(本小题满分17分)
已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10,11是否属于集合A.
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.
(3)写出所有满足集合A的偶数.
【解】 (1)因为8=32-12,9=52-42,11=62-52,所以8∈A,9∈A,11∈A;
假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,
由10=1×10=2×5,得或显然均无整数解,所以10 A.
综上,8∈A,9∈A,10 A,11∈A.
(2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z},
因为恒有2k+1=(k+1)2-k2,所以2k+1∈A,
即一切奇数都属于A,即x∈B,则必有x∈A;
又8∈A,而8 B,即x∈A,推不出x∈B.
所以“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.
(3)集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z},m2-n2=(m+n)(m-n),
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,(m+n)(m-n)为4的倍数;
②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,(m+n)(m-n)为奇数.
综上,所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).章末复习提升
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知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.已知p q,则q的充分条件是p,p的必要条件是q.( √ )
2.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”,但即使q成立,p也未必会成立.( √ )
3.q是p的必要条件是指“要使p成立,必须要有q成立”,也就是说“若q不成立,则p一定不成立”.( √ )
4.对命题“若p,则q”,A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A=B,那么p是q的充要条件.( √ )
5.如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.( √ )
6.命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.( √ )
7.命题“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题.( √ )
8.命题“ x∈M,p(x)”与“ x∈M, ﹁p(x)”的真假性相反.( √ )
题型一 充分条件、必要条件的判断
[例1](多选)下列命题为真命题的是( )
[A]“x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件
[B]“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
[C]“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac>0”
[D]“a2+b2+c2=ab+bc+ca”的充要条件是“a=b=c”
【答案】 AD
【解析】 对于A,由于“x>4”与“x<5”互相不能推出,所以A正确;
对于B,正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分且不必要条件,所以B错误;
对于C,“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac≥0”,所以C错误;
对于D,若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=2ab+2bc+2ca,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,所以a=b=c,若a=b=c,则a2+b2+c2=3a2=ab+bc+ca,所以D正确.
故选AD.
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn.
[跟踪训练]若集合M={-1,a2},N={-1,1,2},则“a=1”是“M N”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 若a=1,则M={-1,1},则M N;
反之,若M N,则a2=1或a2=2,可得a=±1或a=±,故由M N不一定推出a=1.
故“a=1”是“M N”的充分且不必要条件.故选A.
题型二 充分条件、必要条件的应用
[例2] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,求实数m的
取值范围.
【解】 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要且不充分条件,
所以q是p的充分且不必要条件,
所以{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10},
所以或解得m≤3.
又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0[变式探究1] 若本例中“p是q的必要且不充分条件”改为“p是q的充分且不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解】 设p代表的集合为A,q代表的集合为B,
因为p是q的充分且不必要条件,所以A B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9,
所以m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
[变式探究2] 若本例中p,q不变,是否存在实数m,使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【解】 不存在实数m,使p是q的充要条件,理由如下:若p是q的充要条件,则解得m∈ ,所以不存在实数m,使p是q的充要条件.
已知充分条件、必要条件求参数取值范围的解题策略
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后列出有关参数的不等式(组)求解,利用集合知识,结合数轴解决问题.
(2)涉及参数问题,直接解决较为困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
(3)要注意区间端点值的检验,端点值取舍代进去验证.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
题型三 充分条件、必要条件的探求与证明
[例3] 已知m,n∈R,证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
【证明】 ①(充分性)
因为m2-n2=1,
所以m2=n2+1,
所以m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1,
所以m4-n4=2n2+1成立;
②(必要性)
因为m4-n4=2n2+1,
所以m4=n4+2n2+1=(n2+1)2,
又m2≥0,n2+1≥0,
所以m2=n2+1,即m2-n2=1,
所以m2-n2=1成立.
综上,m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
(1)充要条件的证明.
①证明p是q的充要条件,既要证明p q,又要证明q p,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性;
②证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.
(2)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解“充分性”即“有它就行”,“必要性”即“没它不行”.
[跟踪训练] 设x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为( )
[A]x,y至少有一个为1
[B]x,y都为1
[C]x,y都不为1
[D]x2+y2=2
【答案】 A
【解析】 若xy+1=x+y,则(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y=1,即x,y至少有一个为1,
所以“xy+1=x+y”的充要条件为“x,y至少有一个为1”,故只有A符合,其他选项均不符合.
故选A.
题型四 全称量词命题与存在量词命题的否定及真假的判断
[例4]写出下列命题的否定,并判断它们的真假.
(1) x∈R,x2>0;
(2) x∈R,x2=1;
(3) x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根;
(4)等腰梯形的对角线互相垂直.
【解】 (1)命题的否定: x∈R,使x2≤0.
因为x=0时,02=0,所以命题的否定为真.
(2)命题的否定: x∈R,使x2≠1.
因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假.
(3)命题的否定: x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根.
因为x=1时,12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假.
(4)命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不互相垂直.是真命题.
(1)对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法.
①改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词.
②否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
(2)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法.
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
[跟踪训练](多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
[A] x∈R,x2-x+<0
[B]所有的正方形都是矩形
[C] x∈R,x2+2x+2≤0
[D]至少有一个实数x,使x3+1=0
【答案】 AC
【解析】 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,故排除D.故选AC.
题型五 根据全称(存在)量词命题的真假求参数
[例5] 已知命题p: 2≤x≤3,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2x+2a=0.
(1)若命题p的否定为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题q的否定和p均为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 (1)若命题p的否定为假命题,则命题p为真命题,即a≤x2在x∈[2,3]时恒成立,
所以a≤=4,即实数a的取值范围是(-∞,4].
(2)命题q的否定: x∈R,x2+2x+2a≠0,
若命题q的否定为真命题,则Δ=22-8a<0,解得a>,
又由(1)可知,当命题p为真命题时,a≤4,
所以实数a的取值范围为(,4].
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,任意性即恒成立更容易列式计算,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
[跟踪训练] 已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出命题p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.
【解】 (1)根据题意,命题p的否定: x∈R,使x2-2x+k=0.
若命题p的否定为真命题,则方程x2-2x+k=0有实数解,Δ=4-4k≥0,解得k≤1.
所以实数k的取值范围为(-∞,1].
(2)若命题p的否定为真,q为假,有得k≤-2.
若命题p的否定为假,q为真,有得1综上所述,若命题p的否定与q一真一假,则实数k的取值范围为(-∞,-2]∪(1,2).
第2章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ x∈R,x2≠x”的否定是( )
[A] x∈R,x2≠x [B] x∈R,x2=x
[C] x R,x2≠x [D] x∈R,x2=x
【答案】 D
【解析】 全称量词命题的否定为存在量词命题,原命题的否定为 x∈R,x2=x.故选D.
2.已知a,b为实数,若α:ab=0,β:a2+=0,则α是β的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 当ab=0时,若a=1,b=0,不能推出a2+=0,不满足充分性;
若a2+=0,则a=b=0,有ab=0,满足必要性.
所以α是β的必要且不充分条件.故选B.
3.已知p: x∈R,x2-x<-2;q: x∈(0,1),|x-1|<1,则( )
[A]p假q假 [B]p假q真
[C]p真q真 [D]p真q假
【答案】 B
【解析】 由x2-x<-2 x2-x+2<0 +<0,得该不等式的解集为 ,所以p为假命题;
因为|x-1|<1 -14.设A,B,C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B=C”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 由A∩B=A∩C不一定得到B=C,但由B=C一定可得A∩B=A∩C,所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要且不充分条件.故选B.
5.若不等式|x-1|[A]{a|a≥3} [B]{a|a≥1}
[C]{a|a≤3} [D]{a|a≤1}
【答案】 A
【解析】 因为不等式|x-1|设不等式的解集为A,则{x|0当a≤0时,A= ,不满足要求;
当a>0时,A={x|1-a若{x|06.对于任意实数x,用[x]表示不大于x的最大整数,例如:[π]=3,[0.1]=0,[-2.1]=-3.则“[x]>[y]”是“x>y”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 对任意的x∈R,记{x}=x-[x],则0≤{x}<1,
若[x]>[y],则[x]≥[y]+1,即x-{x}≥y-{y}+1,则x-y≥{x}-{y}+1,
因为0≤{x}<1,0≤{y}<1,则-1<-{y}≤0,由不等式的基本性质可得-1<{x}-{y}<1,
所以0<{x}-{y}+1<2,所以x-y≥{x}-{y}+1>0,即x>y,
所以“[x]>[y]” “x>y”;
若x>y,如取x=2.5,y=2.3,则[x]=[y]=2,故“x>y”“[x]>[y]”.
因此,“[x]>[y]”是“x>y”的充分且不必要条件.故选A.
7.命题p: x∈(2,3),3x2-a>0,若命题p是真命题,则a的取值范围为( )
[A]{a|a>27} [B]{a|a≤12}
[C]{a|a<12} [D]{a|a≥27}
【答案】 B
【解析】 由命题p: x∈(2,3),3x2-a>0为真命题,得不等式a<3x2在x∈(2,3)上恒成立.
当x∈(2,3)时,可得12<3x2<27,所以a≤12.故选B.
8.设m,n∈R,当mn≥0时,m n=m+n;当mn<0时,m n=|m+n|.例如-6 4=2,则“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 当a=0,b=-1或a=-1,b=0时,ab=0.由当mn≥0时,m n=m+n知,a b=-1+0=-1.当a b=-1时,根据定义可知ab≥0,所以a+b=-1,故只要满足ab≥0且a+b=-1即可,显然不止a=0,b=-1或a=-1,b=0这两种情况,比如a=b=-,a=-,b=-等也满足,所以“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a b=-1”的充分且不必要条件.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中是真命题的是( )
[A]方程2x2-3x+4=0没有实数根
[B] x∈{1,-1,0},2x+1>0
[C] x∈N,使≤x
[D] x∈N*,使x为29的约数
【答案】 ACD
【解析】 对于A,因为方程2x2-3x+4=0,Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以方程2x2-3x+4=0没有实数根成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,故D为真命题.故选ACD.
10.下列各个选项中,p是q的充分且不必要条件的是( )
[A]在△ABC中,p:∠A是钝角,q:△ABC是钝角三角形
[B]p:a,b均为无理数,q:ab为无理数
[C]p:a-b>3,q:a>b
[D]p:>1,q:a>b
【答案】 AC
【解析】 钝角三角形中三个角都有可能为钝角,p是q的充分且不必要条件,故A正确;
若a=1+,b=1-,则ab=-1,所以p不是q的充分条件,故B不正确;
由a-b>3,可得a>b+3>b,但由a>b推不出a-b>3,p是q的充分且不必要条件,故C正确;
若a=-2,b=-1,则=2>1,但a11.已知集合A={x|a+1[A]a<7 [B]a<6 [C]a<5 [D]a<4
【答案】 AB
【解析】 因为集合A={x|a+1当A= 时,a+1≥2a-3,解得a≤4,此时A∩B= ;
当A≠ 时,a+1<2a-3,解得a>4,若A∩B= ,则解得-3≤a≤5,
又a>4,则4则A∩B= 的充要条件为a≤5,
所以A∩B= 的必要且不充分条件可能是a<7,a<6.故选AB.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若p是q的充分且不必要条件,q是r的充分且不必要条件,那么r是p的 条件.
【答案】 必要且不充分
【解析】 由已知得p q r,所以p r,但由r不能推出p,故r是p的必要且不充分条件.
13.“0【答案】 充分且不必要 必要且不充分
【解析】 若方程ax2+2x+1=0只有负实根,
当a=0时,方程2x+1=0的根为x=-,符合题意;
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a,
当Δ=0,即a=1时,方程的根为x1=x2=-1,符合题意,
当Δ>0,即a<1且a≠0时,方程有两个不相等的实数根x1,x2,若都是负根,
则解得a>0,所以0综上所述,0≤a≤1.
反之,若0≤a≤1,则方程只有负实根,也就是说ax2+2x+1=0只有负实根的充要条件是0≤a≤1.
故“014.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,命题q: x∈R,2x2+5x+a=0,若p的否定是假命题,q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 {a|3≤a≤}
【解析】 由 x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,得a≥3.
由p的否定是假命题,得p是真命题,于是得a≥3;
x∈R,2x2+5x+a=0,即方程2x2+5x+a=0有实根,则Δ=25-8a≥0,解得a≤,又q是真命题,
则a≤.
因此,由p的否定是假命题,q是真命题,可得3≤a≤,所以实数a的取值范围是{a|3≤a≤}.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题,并判断真假,说明理由.
(1)对所有的实数a,b,关于x的方程ax+b=0有唯一解或无解;
(2)存在实数x,使得=2.
【解】 (1) a∈R,b∈R,方程ax+b=0有唯一解或无解.
该命题为假命题.
理由:当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数个解.
(2) x∈R,=2.该命题为假命题.
理由:因为|x+1|+1≥1,所以≤1.
所以不存在x∈R,使得=2.
16.(本小题满分15分)
已知命题p:{x|2≤x≤10},命题q:{x|x2a+1}(a>0),若p是q的充分且不必要条件,求a的取值范围.
【解】 因为p是q的充分且不必要条件,
所以p q,qp,
所以{x|2≤x≤10} {x|x2a+1}(a>0).
画出数轴:
结合数轴得a>10或2a+1<2,
故a的取值范围为{a|a>10,或017.(本小题满分15分)
已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.
(1)若命题p的否定为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p与q中有且仅有一个为真一个为假,求实数m的取值范围.
【解】 (1)若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,则解得m>2.
因为命题p的否定为真命题,所以命题p为假命题,所以实数m的取值范围为(-∞,2].
(2)若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,则Δ=16(m-2)2-16<0,所以(m-2)2<1,即-1当p真q假时,解得m≥3;
当p假q真时,解得1综上可得,实数m的取值范围为(1,2]∪[3,+∞).
18.(本小题满分17分)
已知集合A={x||x-4|≤6},B={x||x-m|≤2}.
(1)当m=1时,求集合B.
(2)若“ x∈A,使得x∈B”为真命题,求m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解】 因为B={x||x-m|≤2},所以B={x|m-2≤x≤m+2}≠ .
(1)当m=1时,解得B={x|-1≤x≤3}.
(2)因为A={x||x-4|≤6},所以A={x|-2≤x≤10},
因为“ x∈A,使得x∈B”为真命题,所以A∩B≠ ,
所以-2≤m+2≤10或-2≤m-2≤10,解得-4≤m≤12,
所以m的取值范围是[-4,12].
(3)存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件.
若存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,则B A,
所以(等号不能同时成立),解得0≤m≤8,
当m=0时,B={x|-2≤x≤2},符合题意,
当m=8时,B={x|6≤x≤10},符合题意,
所以存在实数m,使“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,此时m的取值范围是[0,8].
19.(本小题满分17分)
已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10,11是否属于集合A.
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.
(3)写出所有满足集合A的偶数.
【解】 (1)因为8=32-12,9=52-42,11=62-52,所以8∈A,9∈A,11∈A;
假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,
由10=1×10=2×5,得或显然均无整数解,所以10 A.
综上,8∈A,9∈A,10 A,11∈A.
(2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z},
因为恒有2k+1=(k+1)2-k2,所以2k+1∈A,
即一切奇数都属于A,即x∈B,则必有x∈A;
又8∈A,而8 B,即x∈A,推不出x∈B.
所以“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.
(3)集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z},m2-n2=(m+n)(m-n),
①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,(m+n)(m-n)为4的倍数;
②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,(m+n)(m-n)为奇数.
综上,所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z).(共29张PPT)
章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.已知p q,则q的充分条件是p,p的必要条件是q.( )
2.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”,但即使q成立,p也未必会成立.( )
3.q是p的必要条件是指“要使p成立,必须要有q成立”,也就是说“若q不成立,则p一定不成立”.( )
√
√
√
4.对命题“若p,则q”,A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A=B,那么p是q的充要条件.
( )
5.如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.( )
6.命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.( )
7.命题“存在一个菱形,它的四条边不相等”是存在量词命题.( )
8.命题“ x∈M,p(x)”与“ x∈M, ﹁p(x)”的真假性相反.( )
√
√
√
√
√
核心题型突破
[例1](多选)下列命题为真命题的是( )
[A]“x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件
[B]“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
[C]“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac>0”
[D]“a2+b2+c2=ab+bc+ca”的充要条件是“a=b=c”
题型一 充分条件、必要条件的判断
AD
【解析】 对于A,由于“x>4”与“x<5”互相不能推出,所以A正确;
对于B,正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分且不必要条件,所以B错误;
对于C,“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2-4ac≥0”,
所以C错误;
对于D,若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=2ab+2bc+2ca,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,所以a=b=c,若a=b=c,则a2+b2+c2=3a2=ab+bc+ca,
所以D正确.故选AD.
·规律方法·
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn.
[跟踪训练]若集合M={-1,a2},N={-1,1,2},则“a=1”是“M N”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
A
[例2] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,求实数m的取值范围.
题型二 充分条件、必要条件的应用
[变式探究1] 若本例中“p是q的必要且不充分条件”改为“p是q的充分且不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
[变式探究2] 若本例中p,q不变,是否存在实数m,使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
已知充分条件、必要条件求参数取值范围的解题策略
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后列出有关参数的不等式(组)求解,利用集合知识,结合数轴解决问题.
(2)涉及参数问题,直接解决较为困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
·规律方法·
(3)要注意区间端点值的检验,端点值取舍代进去验证.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
·规律方法·
题型三 充分条件、必要条件的探求与证明
[例3] 已知m,n∈R,证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
【证明】 ①(充分性)
因为m2-n2=1,
所以m2=n2+1,
所以m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1,
所以m4-n4=2n2+1成立;
②(必要性)
因为m4-n4=2n2+1,
所以m4=n4+2n2+1=(n2+1)2,
又m2≥0,n2+1≥0,
所以m2=n2+1,即m2-n2=1,
所以m2-n2=1成立.
综上,m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
(1)充要条件的证明.
①证明p是q的充要条件,既要证明p q,又要证明q p,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性;
②证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.
(2)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解“充分性”即“有它就行”,“必要性”即“没它不行”.
·规律方法·
[跟踪训练] 设x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为( )
[A]x,y至少有一个为1
[B]x,y都为1
[C]x,y都不为1
[D]x2+y2=2
A
【解析】 若xy+1=x+y,则(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y=1,即x,y至少有一个为1,
所以“xy+1=x+y”的充要条件为“x,y至少有一个为1”,故只有A符合,其他选项均不符合.故选A.
题型四 全称量词命题与存在量词命题的否定及真假的判断
[例4]写出下列命题的否定,并判断它们的真假.
(1) x∈R,x2>0;
【解】 (1)命题的否定: x∈R,使x2≤0.
因为x=0时,02=0,所以命题的否定为真.
(2) x∈R,x2=1;
【解】 (2)命题的否定: x∈R,使x2≠1.
因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假.
(3) x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根;
【解】 (3)命题的否定: x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根.
因为x=1时,12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假.
(4)等腰梯形的对角线互相垂直.
【解】 (4)命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不互相垂直.是真命题.
(1)对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法.
①改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词.
②否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
·规律方法·
(2)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法.
·规律方法·
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
[跟踪训练](多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
[B]所有的正方形都是矩形
[C] x∈R,x2+2x+2≤0
[D]至少有一个实数x,使x3+1=0
AC
【解析】 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,故排除D.故选AC.
题型五 根据全称(存在)量词命题的真假求参数
[例5] 已知命题p: 2≤x≤3,x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2x+2a=0.
(1)若命题p的否定为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题q的否定和p均为真命题,求实数a的取值范围.
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,任意性即恒成立更容易列式计算,一般先利用等价转化思想将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
·规律方法·
[跟踪训练] 已知命题p: x∈R,均有x2-2x+k≠0,命题q:-2(1)写出命题p的否定,若p的否定为真命题,求实数k的取值范围;
【解】 (1)根据题意,命题p的否定: x∈R,使x2-2x+k=0.
若命题p的否定为真命题,则方程x2-2x+k=0有实数解,Δ=4-4k≥0,解得k≤1.
所以实数k的取值范围为(-∞,1].
(2)若命题p的否定与q一真一假,求实数k的取值范围.