第4章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将化为分数指数幂,其形式是( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 B
【解析】 =(-2=(-2×=(-=-.故选B.
2.化简(1-a)(a-1的结果是( )
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 由题意得,a-1>0,即a>1,
所以(1-a)(a-1=-(a-1)(a-1=-(a-1=-.故选B.
3.若2x=5,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
[A]2.301 [B]2.322 [C]2.507 [D]2.699
【答案】 B
【解析】 由2x=5,得x=log25=log210-log22=-1=-1≈-1≈2.322.故选B.
4.化简()·()÷()的结果为( )
[A]ab [B]ab-1 [C]a [D]a2b
【答案】 C
【解析】 由分数指数幂的运算可得()·()÷()=·=a.故选C.
5.已知log23=a,log25=b,则用a,b表示log3040的结果为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由log23=a,log25=b,得log3040===.故选B.
6.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lg N=n+lg a(0≤
lg a<1).当n>0时,N是n+1位数.则41 000的位数是(lg 2≈0.301 0)( )
[A]601 [B]602 [C]603 [D]604
【答案】 C
【解析】 由lg 41 000=lg 22 000=2 000lg 2≈2 000×0.301 0=602,所以41 000是603位数.故选C.
7.设log34·log48·log8m=log416,那么m等于( )
[A] [B]9 [C]18 [D]27
【答案】 B
【解析】 因为log34·log48·log8m=××==2,所以lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9.故
选B.
8.若lg 2+lg (2x+5)=2lg (2x+1),则x的值为( )
[A]1 [B]0或 [C] [D]log23
【答案】 D
【解析】 因为lg 2+lg (2x+5)=2lg (2x+1),所以2(2x+5)=(2x+1)2,则(2x)2-9=0,即2x=3,解得x=
log23.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列运算结果为1的有( )
[A] [B]lg 2+lg 5
[C]- [D]log23×log34×log42
【答案】 BCD
【解析】 对于选项A,==≠1,故A错误;
对于选项B,lg 2+lg 5=lg 10=1,故B正确;
对于选项C,-=-=22-3=1,故C正确;
对于选项D,log23×log34×log42=××=1,故D正确.故选BCD.
10.下列命题正确的是( )
[A]若lox=3,则x=2
[B]若logx=-,则x=64
[C]若=,则x=4
[D]若lob2=1,则a=b
【答案】 AB
【解析】 对于选项A,若lox=3,则x==2,故A正确;
对于选项B,若logx=-,则==2-4,
所以x==26=64,故B正确;
对于选项C,因为log3=-2,所以=x-2==,可得x2=4,即x=±2,故C错误;
对于选项D,例如a=2,b=-2,则a2=b2=4,可得lob2=1,符合题意,但a=-b,故D错误.故选AB.
11.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
[A]ab+bc=2ac [B]ab+bc=ac
[C]=+ [D]=-
【答案】 AD
【解析】 依题意设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
对于A,ab+bc=2ac,即+=2,因为+=+=log69+ log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于C,+=+=2logk4+ logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C错误;
对于D,-=2logk6- logk4=logk=logk9=,故D正确.故选AD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.lg (-)= .
【答案】 lg 2
【解析】 因为===,
===,
所以lg (-)=lg (-)=lg =lg =lg 2.
13.里氏震级ML的计算公式为ML=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 倍.
【答案】 6 10 000
【解析】 由题意得,此次地震的震级ML=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,
则9=lg A1-lg A0=lg ,则A1=109A0,
5=lg A2-lg A0=lg ,则A2=105A0,所以=104.
故9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000 倍.
14.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为 时,log2a· log2(2b)取得最大值.
【答案】 4
【解析】 因为a>0,b>0,ab=8,所以a=,
所以 log2a·log2(2b)=log2· log2(2b)=(3-log2b)·(1+ log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=
-(log2b-1)2+4,
故当b=2时,log2a· log2(2b)有最大值4,此时a==4.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算下列各式的值:
(1)+;
(2)+-2π0+;
(3)log3+lg 25+lg 4+.
【解】 (1)+=|-3|+|-2|=3-+-2=1.
(2)+-2π0+=+-2+=+-2+=1.
(3)log3+lg 25+lg 4+log3+lg (25×4)+3=log3+lg 100+3=-+2+3=.
16.(本小题满分15分)
已知集合A={x,xy,lg (xy)},集合B={0,|x|,y},若A=B,求 log8(x2+y2)的值.
【解】 根据集合中元素的互异性,x≠0且y≠0,则xy≠0,
又因为A=B,所以lg (xy)=0,即xy=1.①
所以xy=y,②
或xy=|x|,③
由①②联立得x=y=1,与集合元素的互异性矛盾,舍去;
由①③联立得x=y=1(舍去)或x=y=-1,符合题意.
此时 log8(x2+y2)=log82=.
17.(本小题满分15分)
已知P=80.25×+-(-2 026)0,Q=2log32-log3+log38.
(1)分别求P和Q;
(2)若2a=5b=m,且+=Q,求m.
【解】 (1)P=80.25×+-(-2 026)0=+-1=2+-1=,
Q=2log32-log3+log38=log3(4÷×8)=log39=2.
(2)因为2a=5b=m>0,所以a=log2m,b=log5m,
由换底公式得=logm2,=logm5,
则+=logm2+logm5=logm10,
由于+=Q,故logm10=2,
所以m=.
18.(本小题满分17分)
(1)解方程:lg 2x=3lg x-3.
(2)解方程:lo(2x)=4.
(3)设a是非零实数,已知a-a-1=1,求的值.
【解】 (1)由题意可得x>0,lg 2x=3lg x-3=lg x3-lg 1 000=lg ,
则2x=,所以x2=2 000,故x=20.
(2)由题意得x>0且x≠1,因为lo(2x)=4,
所以=2x,即x2-2x=0,得x=2.
(3)因为a-a-1=1,所以=a2+a-2-2=1,所以a2+a-2=3,
又a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=2(a+a-1),
a4-a-4=(a2-a-2)(a2+a-2)=(a-a-1)(a+a-1)·(a2+a-2)=3(a+a-1),
所以==-.
19.(本小题满分17分)
已知loga3=m,loga2=n(a>0且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若m+n=log32+1,解关于x的不等式tx2-(at+1)x+6-a<0(其中t∈R).
【解】 (1)由loga3=m,loga2=n,得am=3,an=2,
所以am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)因为m+n=loga3+loga2=loga6,log32+1=log32+log33=log36,
又m+n=log32+1,所以loga6=log36,解得a=3,
不等式tx2-(at+1)x+6-a<0,即tx2-(3t+1)x+3<0.
①当t=0时,不等式为-x+3<0,解得x>3,不等式的解集为{x|x>3};
②当t≠0时,tx2-(3t+1)x+3<0变形为(tx-1)(x-3)<0,
令f(x)=(tx-1)(x-3),
当t<0时,<3,二次函数f(x)的图象开口向下,不等式的解集为{x|x<或x>3};
当03,二次函数f(x)的图象开口向上,不等式的解集为{x|3当t=时,二次函数的图象开口向上,不等式的解集为;
当t>时,<3,二次函数的图象开口向上,不等式的解集为{x|综上可知,当t<0时,不等式的解集为{x|x<或x<3};
当t=0时,不等式的解集为{x|x>3};
当0当t=时,不等式的解集为;
当t>时,不等式的解集为{x|章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
3.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4.( )
4.对数式log32与log23的意义一样.( )
×
×
×
×
5.因为1α=1,所以log11=α.( )
6.log(-2)(-2)=1.( )
7.loga(xy)=logax·logay.( )
8.loga(-3)3=3loga(-3).( )
×
×
×
×
核心题型突破
题型一 根式性质的应用
C
·规律方法·
题型二 实数指数幂的运算
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.
·规律方法·
题型三 对数的运算
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
·规律方法·
题型四 对数与指数的综合应用
ACD
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
·规律方法·
A
B
题型五 指数式与对数式的实际应用
D
在涉及与指数式和对数式相关的实际应用时,应注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
·规律方法·章末复习提升
网络构建
知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.当n∈N*时,()n都有意义.( × )
2.当a<0时,(a2=a3.( × )
3.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4.( × )
4.对数式log32与log23的意义一样.( × )
5.因为1α=1,所以log11=α.( × )
6.log(-2)(-2)=1.( × )
7.loga(xy)=logax·logay.( × )
8.loga(-3)3=3loga(-3).( × )
题型一 根式性质的应用
[例1] 若=,则实数a的取值范围为( )
[A] (0,) [B] (0,]
[C](-∞,] [D][,+∞)
【答案】 C
【解析】 =|3a-1|,=1-3a.
因为|3a-1|=1-3a,故3a-1≤0,所以a≤.故选C.
当n为奇数时,()n==a,a为任意实数均可;当n为偶数时,a≥0,()n才有意义,且()n=a;而a为任意实数时均有意义,且=|a|.
[跟踪训练] 求下列各式的值:
(1);
(2)(a≤1);
(3)+.
【解】 (1)=-2.
(2)=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
(3)+=a+|1-a|=
题型二 实数指数幂的运算
[例2] 化简求值:
(1)+-+;
(2)-+;
(3)(2)(-6)÷(-3)(4).
【解】 (1)原式=+-+1=+10-10(+2)+1=-.
(2)原式=-+=-+=.
(3)原式=[2×(-6)÷(-3)×4]··=16ab0=16a.
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.
[跟踪训练] 计算:
(1)(-1.8)0+×-+;
(2)若a=27,b=16,求的值.
【解】 (1)原式=1+×-+
=1+×-10+
=1+×-10+27=19.
(2)原式==
=4·=4,
因为a=27,b=16,所以原式=4××=6.
题型三 对数的运算
[例3] 计算下列各式的值:
(1)lg -lg +lg ;
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
【解】 (1)法一 原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)
=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5
=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
法二 原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(×)=lg =.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
[跟踪训练]计算:
(1)log225·log3·log5;
(2)(log43+log83)(log32+log92)-lo.
【解】 (1)法一 log225·log3·log5=2log25·(-4log32)(-2log53)=16log25··=16.
法二 log225·log3·log5=··=··=16.
(2)(log43+log83)(log32+log92)-lo=(+)(log32+)-
=(log23+log23)(log32+log32)+log232=log23×log32+=××log23×log32+=+=.
题型四 对数与指数的综合应用
[例4](多选)已知2m=3n=6,则下列说法正确的是( )
[A]+=1
[B]m·n<4
[C]m+4n>9
[D](m-1)2+(n-1)2>2
【答案】 ACD
【解析】 由2m=3n=6,得m=log26,n=log36,
对于A,因为m=log26,n=log36,所以+=+=log62+log63=log66=1,所以A正确;
对于B,因为m=log26,n=log36,所以m·n=log26×log36=(1+log23)(1+log32)
=1+log32+log23+log32×log23
>2+2=4,所以B错误;
对于C,因为m=log26,n=log36,
所以m+4n=log26+4log36=1+log23+4(1+log32)=5+log23+4log32>5+2=9,所以C正确;
对于D,因为m=log26,n=log36,所以(m-1)2+(n-1)2=+
=+
=+
>2=2log23×log32=2,所以D正确.故选ACD.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式,可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[跟踪训练] (1)已知5x=2,5y=3,则的值为( )
[A] [B] [C] [D]
(2)若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则+等于( )
[A]128 [B]108 [C]2 [D]1
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)因为5x=2,5y=3,所以x=log52,y=log53,
所以===log5=log5,
所以=.故选A.
(2)令2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=log24a=log327b=t,
则4a=2t,27b=3t,a+b=6t,
因为2t×3t=6t,所以4a·27b=a+b,所以+=108.故选B.
题型五 指数式与对数式的实际应用
[例5]围棋棋盘横竖各有19条线,共有19×19=361个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能,因此围棋空间复杂度的上限M≈3361.科学家们研究发现,可观测宇宙中普通物质的原子总数N≈1080.则下列各数中与最接近的是(lg 3≈0.48)( )
[A]1063 [B]1073 [C]1083 [D]1093
【答案】 D
【解析】 因为M≈3361,N≈1080,所以=,
所以lg =lg =lg 3361-lg 1080=361lg 3-80≈93,所以≈1093.故选D.
在涉及与指数式和对数式相关的实际应用时,应注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
[跟踪训练] 把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度为θ ℃满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.08t.研究表明,咖啡的最佳饮用口感会出现在65 ℃.现有一杯85 ℃的热水用来冲咖啡,经测量室温为25 ℃,那么为了获得最佳饮用口感,从冲咖啡开始大约需要等待多长时间.(结果保留整数,参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,
ln 11≈2.4)
【解】 由题意得,65=25+(85-25)e-0.08t,
即e-0.08t=,
所以-0.08t=ln ,
解得t=-×(ln 2-ln 3)≈-×(0.7-1.1)=5,
所以大约需要等待5分钟.
第4章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将化为分数指数幂,其形式是( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 B
【解析】 =(-2=(-2×=(-=-.故选B.
2.化简(1-a)(a-1的结果是( )
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 由题意得,a-1>0,即a>1,
所以(1-a)(a-1=-(a-1)(a-1=-(a-1=-.故选B.
3.若2x=5,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
[A]2.301 [B]2.322 [C]2.507 [D]2.699
【答案】 B
【解析】 由2x=5,得x=log25=log210-log22=-1=-1≈-1≈2.322.故选B.
4.化简()·()÷()的结果为( )
[A]ab [B]ab-1 [C]a [D]a2b
【答案】 C
【解析】 由分数指数幂的运算可得()·()÷()=·=a.故选C.
5.已知log23=a,log25=b,则用a,b表示log3040的结果为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由log23=a,log25=b,得log3040===.故选B.
6.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z),此时lg N=n+lg a(0≤
lg a<1).当n>0时,N是n+1位数.则41 000的位数是(lg 2≈0.301 0)( )
[A]601 [B]602 [C]603 [D]604
【答案】 C
【解析】 由lg 41 000=lg 22 000=2 000lg 2≈2 000×0.301 0=602,所以41 000是603位数.故选C.
7.设log34·log48·log8m=log416,那么m等于( )
[A] [B]9 [C]18 [D]27
【答案】 B
【解析】 因为log34·log48·log8m=××==2,所以lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9.故
选B.
8.若lg 2+lg (2x+5)=2lg (2x+1),则x的值为( )
[A]1 [B]0或 [C] [D]log23
【答案】 D
【解析】 因为lg 2+lg (2x+5)=2lg (2x+1),所以2(2x+5)=(2x+1)2,则(2x)2-9=0,即2x=3,解得x=
log23.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列运算结果为1的有( )
[A] [B]lg 2+lg 5
[C]- [D]log23×log34×log42
【答案】 BCD
【解析】 对于选项A,==≠1,故A错误;
对于选项B,lg 2+lg 5=lg 10=1,故B正确;
对于选项C,-=-=22-3=1,故C正确;
对于选项D,log23×log34×log42=××=1,故D正确.故选BCD.
10.下列命题正确的是( )
[A]若lox=3,则x=2
[B]若logx=-,则x=64
[C]若=,则x=4
[D]若lob2=1,则a=b
【答案】 AB
【解析】 对于选项A,若lox=3,则x==2,故A正确;
对于选项B,若logx=-,则==2-4,
所以x==26=64,故B正确;
对于选项C,因为log3=-2,所以=x-2==,可得x2=4,即x=±2,故C错误;
对于选项D,例如a=2,b=-2,则a2=b2=4,可得lob2=1,符合题意,但a=-b,故D错误.故选AB.
11.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
[A]ab+bc=2ac [B]ab+bc=ac
[C]=+ [D]=-
【答案】 AD
【解析】 依题意设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.
对于A,ab+bc=2ac,即+=2,因为+=+=log69+ log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于C,+=+=2logk4+ logk6=logk96≠=2logk9=logk81,故C错误;
对于D,-=2logk6- logk4=logk=logk9=,故D正确.故选AD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.lg (-)= .
【答案】 lg 2
【解析】 因为===,
===,
所以lg (-)=lg (-)=lg =lg =lg 2.
13.里氏震级ML的计算公式为ML=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 倍.
【答案】 6 10 000
【解析】 由题意得,此次地震的震级ML=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,
则9=lg A1-lg A0=lg ,则A1=109A0,
5=lg A2-lg A0=lg ,则A2=105A0,所以=104.
故9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000 倍.
14.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为 时,log2a· log2(2b)取得最大值.
【答案】 4
【解析】 因为a>0,b>0,ab=8,所以a=,
所以 log2a·log2(2b)=log2· log2(2b)=(3-log2b)·(1+ log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=
-(log2b-1)2+4,
故当b=2时,log2a· log2(2b)有最大值4,此时a==4.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算下列各式的值:
(1)+;
(2)+-2π0+;
(3)log3+lg 25+lg 4+.
【解】 (1)+=|-3|+|-2|=3-+-2=1.
(2)+-2π0+=+-2+=+-2+=1.
(3)log3+lg 25+lg 4+log3+lg (25×4)+3=log3+lg 100+3=-+2+3=.
16.(本小题满分15分)
已知集合A={x,xy,lg (xy)},集合B={0,|x|,y},若A=B,求 log8(x2+y2)的值.
【解】 根据集合中元素的互异性,x≠0且y≠0,则xy≠0,
又因为A=B,所以lg (xy)=0,即xy=1.①
所以xy=y,②
或xy=|x|,③
由①②联立得x=y=1,与集合元素的互异性矛盾,舍去;
由①③联立得x=y=1(舍去)或x=y=-1,符合题意.
此时 log8(x2+y2)=log82=.
17.(本小题满分15分)
已知P=80.25×+-(-2 026)0,Q=2log32-log3+log38.
(1)分别求P和Q;
(2)若2a=5b=m,且+=Q,求m.
【解】 (1)P=80.25×+-(-2 026)0=+-1=2+-1=,
Q=2log32-log3+log38=log3(4÷×8)=log39=2.
(2)因为2a=5b=m>0,所以a=log2m,b=log5m,
由换底公式得=logm2,=logm5,
则+=logm2+logm5=logm10,
由于+=Q,故logm10=2,
所以m=.
18.(本小题满分17分)
(1)解方程:lg 2x=3lg x-3.
(2)解方程:lo(2x)=4.
(3)设a是非零实数,已知a-a-1=1,求的值.
【解】 (1)由题意可得x>0,lg 2x=3lg x-3=lg x3-lg 1 000=lg ,
则2x=,所以x2=2 000,故x=20.
(2)由题意得x>0且x≠1,因为lo(2x)=4,
所以=2x,即x2-2x=0,得x=2.
(3)因为a-a-1=1,所以=a2+a-2-2=1,所以a2+a-2=3,
又a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=2(a+a-1),
a4-a-4=(a2-a-2)(a2+a-2)=(a-a-1)(a+a-1)·(a2+a-2)=3(a+a-1),
所以==-.
19.(本小题满分17分)
已知loga3=m,loga2=n(a>0且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若m+n=log32+1,解关于x的不等式tx2-(at+1)x+6-a<0(其中t∈R).
【解】 (1)由loga3=m,loga2=n,得am=3,an=2,
所以am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)因为m+n=loga3+loga2=loga6,log32+1=log32+log33=log36,
又m+n=log32+1,所以loga6=log36,解得a=3,
不等式tx2-(at+1)x+6-a<0,即tx2-(3t+1)x+3<0.
①当t=0时,不等式为-x+3<0,解得x>3,不等式的解集为{x|x>3};
②当t≠0时,tx2-(3t+1)x+3<0变形为(tx-1)(x-3)<0,
令f(x)=(tx-1)(x-3),
当t<0时,<3,二次函数f(x)的图象开口向下,不等式的解集为{x|x<或x>3};
当03,二次函数f(x)的图象开口向上,不等式的解集为{x|3当t=时,二次函数的图象开口向上,不等式的解集为;
当t>时,<3,二次函数的图象开口向上,不等式的解集为{x|综上可知,当t<0时,不等式的解集为{x|x<或x<3};
当t=0时,不等式的解集为{x|x>3};
当0当t=时,不等式的解集为;
当t>时,不等式的解集为{x|
