第1章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x>1},B={x|-1
[A]{x|x>-1} [B]{x|x<2}
[C]{x|-1【答案】 A
【解析】 因为A={x|x>1},B={x|-1-1}.故选A.
2.设集合A={x|-2[A]{2} [B]{4,5}
[C]{3,4} [D]{2,3}
【答案】 B
【解析】 因为A={x|-2因为B={2,3,4,5},所以( RA)∩B={4,5}.故选B.
3.已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N=( )
[A]{0,1} [B]{0,-1}
[C]{0} [D]{1}
【答案】 C
【解析】 因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,解得a=0.
此时M∩N={0}.故选C.
4.已知集合A={a,a2-2a,1},B={2a+b,1,3},若A=B,则a-b=( )
[A]-2 [B]2 [C]-6 [D]6
【答案】 A
【解析】 集合A={a,a2-2a,1},B={2a+b,1,3},
若A=B,则或
解得或
当a=3,b=-3时,A={3,3,1},与集合元素的互异性矛盾,舍去;
当a=-1,b=1时,A={-1,3,1},B={-1,1,3},符合题意,此时a-b=-2.故选A.
5.已知集合M={x|x=-,k∈Z},N={y|y=±,k∈Z},则( )
[A]M=N [B]M N
[C]M N [D]M∩N=
【答案】 A
【解析】 因为N={y|y=±,k∈Z}={y|y=,k∈Z},
且4k+3=4(k+1)-1,4k-3=4(k-1)+1,k∈Z,
所以N={y|y=或,k∈Z}={y|y=,n∈Z}.
因为M={x|x=-,k∈∈Z},
当k=2n,n∈Z时,M={x|x=,n∈Z},
当k=2n+1,n∈Z时,M={x|x=,n∈Z},
所以M=N. 故选A.
6.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )
[A]无数个 [B]3
[C]2 [D]1
【答案】 C
【解析】 把y=x2代入x+y=1得x+x2=1,即x2+x-1=0,由于Δ=1+4=5>0,因此直线x+y=1与抛物线y=x2的交点为2个,所以集合A∩B的元素个数为2.故选C.
7.已知集合P,Q均为R的子集,且( RQ)∪P=R,则( RP)∩Q等于( )
[A] [B] RP [C]Q [D]R
【答案】 A
【解析】因为( RQ)∪P=R,
所以Q P,如图所示,
所以( RP)∩Q= .故选A.
8.设全集U=R,集合A={x|4[A](-∞,1] [B](-∞,]
[C][4,] [D](-∞,1]∪[4,]
【答案】 D
【解析】 A={x|4因为A∪B=A,所以B A,
当B= 时,B A,此时2+a≥1+2a,得a≤1,
当B≠ 时,由B A得得4≤a≤,
故a的取值范围是(-∞,1]∪[4,].故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={0,1,2},B={2,4},C={-1,3},则( )
[A]集合A的真子集个数是7
[B]A∪B={0,1,2,4}
[C]( UA)∩( UC)=
[D]B UC
【答案】 ABD
【解析】 对于A,集合A的元素个数为3,则集合A的真子集个数是23-1=7,A正确;
对于B,因为A={0,1,2},B={2,4},则A∪B={0,1,2,4},B正确;
对于C,因为全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={0,1,2},C={-1,3},所以 UA={-1,3,4},
UC={0,1,2,4},则( UA)∩( UC)={4},C错误;
对于D,因为B={2,4}, UC={0,1,2,4},所以B UC,D正确.故选ABD.
10.已知集合A={x|x2+(a+1)x+a2-4=0},B={x|x2-3x+2=0},若A∩B={1},则实数a的值为( )
[A]1 [B]-1 [C]2 [D]-2
【答案】 AD
【解析】 因为x2-3x+2=0的解集为{1,2},
所以B={1,2},又A∩B={1},所以1∈A,2 A,
所以1+(a+1)+a2-4=0,4+2(a+1)+a2-4≠0,
所以a2+a-2=0,a2+2a+2≠0,
解得a=1或a=-2.故选AD.
11.在整数集Z中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,其中k∈{0,1,2,3},记为[k],即[k]={x|x=4n+k,n∈Z},则下列说法正确的是( )
[A]2 026∈[1]
[B]-3∈[3]
[C]Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]
[D]若a-b∈[0],则整数a,b属于同一个“类”
【答案】 CD
【解析】 k∈{0,1,2,3},[k]={x|x=4n+k,n∈Z},
2 026=4×506+2,即2 026∈[2],而[1]∩[2]= ,因此2 026 [1],A错误;
-3=4×(-1)+1,即-3∈[1],而[1]∩[3]= ,因此-3 [3],B错误;
任意一整数除以4,所得余数只能为0或1或2或3,即Z ([0]∪[1]∪[2]∪[3]),
反之,集合[0]∪[1]∪[2]∪[3]中任一数都是整数,即([0]∪[1]∪[2]∪[3]) Z,
所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3],C正确;
a,b∈Z,不妨令a=4n1+k1,b=4n2+k2,n1,n2∈Z,k1,k2∈{0,1,2,3},
则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2),因为a-b∈[0],所以k1-k2=0,即k1=k2,因此整数a,b属于同一个“类”,D正确.故选CD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设集合A={0,m,m2-5m+4},且4∈A,则实数m的值为 .
【答案】 5
【解析】 因为4∈A,所以m=4或m2-5m+4=4,解得m=4或m=0或m=5.
当m=4时,A={0,m,m2-5m+4}={0,4,0},与集合元素的互异性相矛盾,不符合题意;
当m=0时,A={0,0,4},与集合元素的互异性相矛盾,不符合题意;
当m=5时,A={0,5,4},符合题意.
所以实数m的值为5.
13.设A,B是非空集合,定义:A×B={x|x∈A∪B且x A∩B}.已知A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},
则A×B= .
【答案】 {x|0≤x≤1,或x>2}
【解析】 因为A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},
所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1因为A×B={x|x∈A∪B且x A∩B},
所以A×B={x|0≤x≤1,或x>2}.
14.已知集合M={1,2},集合N={x|x2-ax+3a-5=0},若M∪N=M,则实数a的取值集合为 .
【答案】 {a|2≤a<10}
【解析】 因为M∪N=M,所以N M.
当N= 时,Δ=a2-4(3a-5)<0,解得2当N={1}时,解得a=2;
当N={2}时,无解;
当N={1,2}时,无解.
综上所述,实数a的取值集合为{a|2≤a<10}.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知集合A={x|3≤x<10},B={x|1<3x-5<16}.
(1)求A∪B;
(2)求( RA)∩B.
【解】 (1)因为A={x|3≤x<10},B={x|1<3x-5<16}={x|2所以A∪B={x|2(2)由题意得 RA={x|x<3,或x≥10},
所以( RA)∩B={x|216.(本小题满分15分)
已知全集U={小于10的正整数},A U,B U,且( UA)∩B={1,8},A∩B={2,3},( UA)∩( UB)=
{4,6,9}.
(1)求集合A和B;
(2)求( RU)∪[ Z(A∩B)].(其中R为实数集,Z为整数集)
【解】 (1)利用Venn图,将各个集合表示如下:
据图可以写出A={2,3,5,7},B={1,2,3,8}.
(2)因为A∩B={2,3},所以 Z(A∩B)={x|x≠2,且x≠3,x∈Z},
又 RU={x|x≠1,2,3,4,5,6,7,8,9,x∈R},所以( RU)∪[ Z(A∩B)]= R(A∩B)={x|x≠2,且x≠3,x∈R}.
17.(本小题满分15分)
已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B= ,求a的取值范围.
【解】 集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},A∩B= ,
若A= ,即2a>a+3,解得a>3,满足题意;
若A≠ ,则解得-≤a≤2.
综上所述,a的取值范围为{a|-≤a≤2,或a>3}.
18.(本小题满分17分)
已知集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0,a∈R},B={x|x2-2x+1=0}.
(1)若B A,求a的值;
(2)求A∪B.
【解】 (1)因为B={x|x2-2x+1=0}={1},
又B A,所以1∈A,即12-(a+2)×1+2a=0,解得a=1.
(2)A={x|x2-(a+2)x+2a=0,a∈R}={x|(x-2)·(x-a)=0,a∈R}.
当a=2时,A={2},A∪B={1,2};
当a≠2时,A={2,a},
若a=1,则A∪B={1,2},
若a≠1,则A∪B={1,2,a}.
综上,当a=1或a=2时,A∪B={1,2};当a≠1且a≠2时,A∪B={1,2,a}.
19.(本小题满分17分)
我们知道,如果集合A S,那么S的子集A的补集为 SA={x|x∈S,且x A}.类似地,对于任意两个非空集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x B}叫作集合A的B的“差集”,记作A-B.例如,
A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8}.据此,试回答下列问题:
已知集合A={x|x2-x-12≤0},集合B={x|1-2m≤x≤m-2}.
(1)当m=2时,求A-B;
(2)若C={x|1≤x≤5},B (A-C),求实数m的取值范围.
【解】 (1)由题意得A={x|-3≤x≤4},B={x|-3≤x≤0},所以A-B={x|0(2)因为A-C={x|-3≤x<1},B (A-C),
当B= 时,1-2m>m-2,所以m<1;
当B≠ 时,所以1≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2}.章末复习提升
网络构建
知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.任何一个集合都至少有两个子集.( × )
2.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × )
3.若{x2,1}={0,1},则x=0或1.( × )
4.{x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
5.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立.( √ )
6.若A∩B=A∩C,则B=C.( × )
题型一 集合的基本概念
[例1](1)已知集合A={1,2,3},B={3,5},则集合C={x|x=2a-b,a∈A,b∈B}中的元素个数为( )
[A]3 [B]4 [C]5 [D]6
(2)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为 .
【答案】 (1)B (2)3或1
【解析】 (1)由题意,x=2a-b,当a=1,b=3时,x=2a-b=-1,
当a=1,b=5时,x=2a-b=-3,
当a=2,b=3时,x=2a-b=1,
当a=2,b=5时,x=2a-b=-1,
当a=3,b=3时,x=2a-b=3,
当a=3,b=5时,x=2a-b=1.由集合中元素满足互异性,得C={-3,-1,1,3}.故选B.
(2)当m+2=5时,m=3,M={1,5,13},符合题意.
当m2+4=5时,m=1或m=-1.若m=1,M={1,3,5},符合题意;若m=-1,则m+2=1,不满足集合中元素的互异性,故m=3或m=1.
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[跟踪训练] 已知m∈R,集合A={x|m【答案】 (,]∪{2}
【解析】 因为集合A={x|m所以1<3m-1-m≤3,解得1当1则3<3m-1≤4,解得当m=2时,A={x|2综上所述,实数m的取值范围是(,]∪{2}.
题型二 集合间的基本关系
[例2](1)下列每组集合是相等集合的是( )
[A]A={x||x|≤2,x∈N},B={x||x|≤2,x∈Z}
[B]A={(x,y)|y=x},B={x|y=x}
[C]A={x|y=x},B={x|y=}
[D]A={x|x>0},B={y|y>0}
(2)已知集合A={x|m-1≤x≤2m-1},B=[1,5],若A B,则实数m的取值范围是 .
【答案】 (1)D (2)(-∞,0)∪[2,3]
【解析】 (1)对于A,A={x||x|≤2,x∈N}={0,1,2},B={x||x|≤2,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},故A≠B,
所以A错误;
对于B,A={(x,y)|y=x}为点集,B={x|y=x}为数集,故A≠B,所以B错误;
对于C,A={x|y=x}=R,B={x|y=}={x|x≠0},故A≠B,所以C错误;
对于D,数集A={x|x>0}和数集B={y|y>0}元素一样,故A=B,所以D正确.故选D.
(2)当A= 时,满足A B,此时只需m-1>2m-1,即m<0;
当A≠ 时,则可得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围是(-∞,0)∪[2,3].
(1) :空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况,否则会造成
漏解.
(2)端点值:已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将条件转化为元素或区间端点值间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴分析法解决此类问题.
提醒:求参数的取值范围时,要注意等号是否能取到.
[跟踪训练] (1) 已知集合A={x|-1则a的取值范围是( )
[A]{a|-[C]{a|-≤a<0} [D]{a|-≤a≤0}
(2)已知 ≠A Z,对于k∈A,k-1 A且k+1 A,则称k为A的“孤立元”.给定集合A={x|-1[A]5 [B]7 [C]13 [D]15
【答案】 (1)D (2)C
【解析】(1)因为A B C,所以解得-≤a≤0.故选D.
(2)已知集合A={1,2,3,4,5},
“孤立元”为1的集合为{1},{1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5};
“孤立元”为2的集合为{2},{2,4,5};
“孤立元”为3的集合为{3};
“孤立元”为4的集合为{4},{1,2,4};
“孤立元”为5的集合为{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5}.
综上,满足题意的集合有13个.故选C.
题型三 集合的补、交、并混合运算
[例3] 已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1(A∩B)∩( UP).
【解】 将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
因为A={x|-4≤x<2},B={x|-1所以A∩B={x|-1又 UB={x|x≤-1,或x>3},
P={x},
所以( UB)∪P={x}.
又 UP={x},
所以(A∩B)∩( UP)={x|-1[变式探究1] 在本例的条件下,求( UA)∩( UP).
【解】 画出数轴,如图所示.
观察数轴可知,( UA)∩( UP)={x}.
[变式探究2] 将本例中的集合P改为{x|x≤5},且全集U=P,A,B不变,求A∪ UB.
【解】 画出数轴,如图所示.
所以A∪ UB={x|x<2,或3解答集合补、交、并综合运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助Venn图来求解.
(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算,解答过程中要注意边界问题.
题型四 利用集合的补、交、并求参数
[例4]已知集合A={x|m4}.
(1)当m=3时,求A∪( RB);
(2)若A RB,求实数m的取值范围.
【解】 (1)当m=3时,A={x|3因为B={x|x≤-5,或x>4},
所以 RB={x|-5故A∪( RB)={x|-5(2)当A= 时,m≥2m,m≤0,A RB成立;
当A≠ 时,m>0,由A RB可得解得-5≤m≤2,所以0综上,实数m的取值范围是{m|m≤2}.
与集合交、并、补运算有关的求参数问题,一般利用数轴分析法求解.同时要注意区间端点值的取舍问题.
[跟踪训练] 已知集合A={x|1m},若A∩( RB)= ,则m的取值范围为( )
[A](-∞,1] [B](-∞,2]
[C](-∞,1) [D][2,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为集合B={x|x>m},所以 RB={x|x≤m},由于A∩( RB)= ,所以m≤1.故选A.
第1章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x>1},B={x|-1[A]{x|x>-1} [B]{x|x<2}
[C]{x|-1【答案】 A
【解析】 因为A={x|x>1},B={x|-1-1}.故选A.
2.设集合A={x|-2[A]{2} [B]{4,5}
[C]{3,4} [D]{2,3}
【答案】 B
【解析】 因为A={x|-2因为B={2,3,4,5},所以( RA)∩B={4,5}.故选B.
3.已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N=( )
[A]{0,1} [B]{0,-1}
[C]{0} [D]{1}
【答案】 C
【解析】 因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,解得a=0.
此时M∩N={0}.故选C.
4.已知集合A={a,a2-2a,1},B={2a+b,1,3},若A=B,则a-b=( )
[A]-2 [B]2 [C]-6 [D]6
【答案】 A
【解析】 集合A={a,a2-2a,1},B={2a+b,1,3},
若A=B,则或
解得或
当a=3,b=-3时,A={3,3,1},与集合元素的互异性矛盾,舍去;
当a=-1,b=1时,A={-1,3,1},B={-1,1,3},符合题意,此时a-b=-2.故选A.
5.已知集合M={x|x=-,k∈Z},N={y|y=±,k∈Z},则( )
[A]M=N [B]M N
[C]M N [D]M∩N=
【答案】 A
【解析】 因为N={y|y=±,k∈Z}={y|y=,k∈Z},
且4k+3=4(k+1)-1,4k-3=4(k-1)+1,k∈Z,
所以N={y|y=或,k∈Z}={y|y=,n∈Z}.
因为M={x|x=-,k∈∈Z},
当k=2n,n∈Z时,M={x|x=,n∈Z},
当k=2n+1,n∈Z时,M={x|x=,n∈Z},
所以M=N. 故选A.
6.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )
[A]无数个 [B]3
[C]2 [D]1
【答案】 C
【解析】 把y=x2代入x+y=1得x+x2=1,即x2+x-1=0,由于Δ=1+4=5>0,因此直线x+y=1与抛物线y=x2的交点为2个,所以集合A∩B的元素个数为2.故选C.
7.已知集合P,Q均为R的子集,且( RQ)∪P=R,则( RP)∩Q等于( )
[A] [B] RP [C]Q [D]R
【答案】 A
【解析】因为( RQ)∪P=R,
所以Q P,如图所示,
所以( RP)∩Q= .故选A.
8.设全集U=R,集合A={x|4[A](-∞,1] [B](-∞,]
[C][4,] [D](-∞,1]∪[4,]
【答案】 D
【解析】 A={x|4因为A∪B=A,所以B A,
当B= 时,B A,此时2+a≥1+2a,得a≤1,
当B≠ 时,由B A得得4≤a≤,
故a的取值范围是(-∞,1]∪[4,].故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={0,1,2},B={2,4},C={-1,3},则( )
[A]集合A的真子集个数是7
[B]A∪B={0,1,2,4}
[C]( UA)∩( UC)=
[D]B UC
【答案】 ABD
【解析】 对于A,集合A的元素个数为3,则集合A的真子集个数是23-1=7,A正确;
对于B,因为A={0,1,2},B={2,4},则A∪B={0,1,2,4},B正确;
对于C,因为全集U={-1,0,1,2,3,4},集合A={0,1,2},C={-1,3},所以 UA={-1,3,4},
UC={0,1,2,4},则( UA)∩( UC)={4},C错误;
对于D,因为B={2,4}, UC={0,1,2,4},所以B UC,D正确.故选ABD.
10.已知集合A={x|x2+(a+1)x+a2-4=0},B={x|x2-3x+2=0},若A∩B={1},则实数a的值为( )
[A]1 [B]-1 [C]2 [D]-2
【答案】 AD
【解析】 因为x2-3x+2=0的解集为{1,2},
所以B={1,2},又A∩B={1},所以1∈A,2 A,
所以1+(a+1)+a2-4=0,4+2(a+1)+a2-4≠0,
所以a2+a-2=0,a2+2a+2≠0,
解得a=1或a=-2.故选AD.
11.在整数集Z中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,其中k∈{0,1,2,3},记为[k],即[k]={x|x=4n+k,n∈Z},则下列说法正确的是( )
[A]2 026∈[1]
[B]-3∈[3]
[C]Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]
[D]若a-b∈[0],则整数a,b属于同一个“类”
【答案】 CD
【解析】 k∈{0,1,2,3},[k]={x|x=4n+k,n∈Z},
2 026=4×506+2,即2 026∈[2],而[1]∩[2]= ,因此2 026 [1],A错误;
-3=4×(-1)+1,即-3∈[1],而[1]∩[3]= ,因此-3 [3],B错误;
任意一整数除以4,所得余数只能为0或1或2或3,即Z ([0]∪[1]∪[2]∪[3]),
反之,集合[0]∪[1]∪[2]∪[3]中任一数都是整数,即([0]∪[1]∪[2]∪[3]) Z,
所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3],C正确;
a,b∈Z,不妨令a=4n1+k1,b=4n2+k2,n1,n2∈Z,k1,k2∈{0,1,2,3},
则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2),因为a-b∈[0],所以k1-k2=0,即k1=k2,因此整数a,b属于同一个“类”,D正确.故选CD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设集合A={0,m,m2-5m+4},且4∈A,则实数m的值为 .
【答案】 5
【解析】 因为4∈A,所以m=4或m2-5m+4=4,解得m=4或m=0或m=5.
当m=4时,A={0,m,m2-5m+4}={0,4,0},与集合元素的互异性相矛盾,不符合题意;
当m=0时,A={0,0,4},与集合元素的互异性相矛盾,不符合题意;
当m=5时,A={0,5,4},符合题意.
所以实数m的值为5.
13.设A,B是非空集合,定义:A×B={x|x∈A∪B且x A∩B}.已知A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},
则A×B= .
【答案】 {x|0≤x≤1,或x>2}
【解析】 因为A={x|0≤x≤2},B={x|x>1},
所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1因为A×B={x|x∈A∪B且x A∩B},
所以A×B={x|0≤x≤1,或x>2}.
14.已知集合M={1,2},集合N={x|x2-ax+3a-5=0},若M∪N=M,则实数a的取值集合为 .
【答案】 {a|2≤a<10}
【解析】 因为M∪N=M,所以N M.
当N= 时,Δ=a2-4(3a-5)<0,解得2当N={1}时,解得a=2;
当N={2}时,无解;
当N={1,2}时,无解.
综上所述,实数a的取值集合为{a|2≤a<10}.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知集合A={x|3≤x<10},B={x|1<3x-5<16}.
(1)求A∪B;
(2)求( RA)∩B.
【解】 (1)因为A={x|3≤x<10},B={x|1<3x-5<16}={x|2所以A∪B={x|2(2)由题意得 RA={x|x<3,或x≥10},
所以( RA)∩B={x|216.(本小题满分15分)
已知全集U={小于10的正整数},A U,B U,且( UA)∩B={1,8},A∩B={2,3},( UA)∩( UB)=
{4,6,9}.
(1)求集合A和B;
(2)求( RU)∪[ Z(A∩B)].(其中R为实数集,Z为整数集)
【解】 (1)利用Venn图,将各个集合表示如下:
据图可以写出A={2,3,5,7},B={1,2,3,8}.
(2)因为A∩B={2,3},所以 Z(A∩B)={x|x≠2,且x≠3,x∈Z},
又 RU={x|x≠1,2,3,4,5,6,7,8,9,x∈R},所以( RU)∪[ Z(A∩B)]= R(A∩B)={x|x≠2,且x≠3,x∈R}.
17.(本小题满分15分)
已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B= ,求a的取值范围.
【解】 集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},A∩B= ,
若A= ,即2a>a+3,解得a>3,满足题意;
若A≠ ,则解得-≤a≤2.
综上所述,a的取值范围为{a|-≤a≤2,或a>3}.
18.(本小题满分17分)
已知集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0,a∈R},B={x|x2-2x+1=0}.
(1)若B A,求a的值;
(2)求A∪B.
【解】 (1)因为B={x|x2-2x+1=0}={1},
又B A,所以1∈A,即12-(a+2)×1+2a=0,解得a=1.
(2)A={x|x2-(a+2)x+2a=0,a∈R}={x|(x-2)·(x-a)=0,a∈R}.
当a=2时,A={2},A∪B={1,2};
当a≠2时,A={2,a},
若a=1,则A∪B={1,2},
若a≠1,则A∪B={1,2,a}.
综上,当a=1或a=2时,A∪B={1,2};当a≠1且a≠2时,A∪B={1,2,a}.
19.(本小题满分17分)
我们知道,如果集合A S,那么S的子集A的补集为 SA={x|x∈S,且x A}.类似地,对于任意两个非空集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x B}叫作集合A的B的“差集”,记作A-B.例如,
A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8}.据此,试回答下列问题:
已知集合A={x|x2-x-12≤0},集合B={x|1-2m≤x≤m-2}.
(1)当m=2时,求A-B;
(2)若C={x|1≤x≤5},B (A-C),求实数m的取值范围.
【解】 (1)由题意得A={x|-3≤x≤4},B={x|-3≤x≤0},所以A-B={x|0(2)因为A-C={x|-3≤x<1},B (A-C),
当B= 时,1-2m>m-2,所以m<1;
当B≠ 时,所以1≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2}.(共24张PPT)
章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.任何一个集合都至少有两个子集.( )
2.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
3.若{x2,1}={0,1},则x=0或1.( )
4.{x|x≤1}={t|t≤1}.( )
5.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
6.若A∩B=A∩C,则B=C.( )
×
×
×
√
√
×
核心题型突破
[例1](1)已知集合A={1,2,3},B={3,5},则集合C={x|x=2a-b,a∈A,b∈B}中的元素个数为( )
[A]3 [B]4 [C]5 [D]6
题型一 集合的基本概念
B
【解析】 (1)由题意,x=2a-b,当a=1,b=3时,x=2a-b=-1,
当a=1,b=5时,x=2a-b=-3,
当a=2,b=3时,x=2a-b=1,
当a=2,b=5时,x=2a-b=-1,
当a=3,b=3时,x=2a-b=3,
当a=3,b=5时,x=2a-b=1.由集合中元素满足互异性,得C={-3,-1,1,3}.故选B.
(2)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为 .
【解析】 (2)当m+2=5时,m=3,M={1,5,13},符合题意.
当m2+4=5时,m=1或m=-1.若m=1,M={1,3,5},符合题意;若m=-1,则m+2=1,不满足集合中元素的互异性,故m=3或m=1.
3或1
·规律方法·
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[跟踪训练] 已知m∈R,集合A={x|m取值范围是 .
[例2](1)下列每组集合是相等集合的是( )
[A]A={x||x|≤2,x∈N},B={x||x|≤2,x∈Z}
[B]A={(x,y)|y=x},B={x|y=x}
题型二 集合间的基本关系
D
(2)已知集合A={x|m-1≤x≤2m-1},B=[1,5],若A B,则实数m的取值范围是
.
(-∞,0)∪[2,3]
(1) :空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)端点值:已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将条件转化为元素或区间端点值间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴分析法解决此类问题.
提醒:求参数的取值范围时,要注意等号是否能取到.
·规律方法·
[跟踪训练] (1) 已知集合A={x|-1D
(2)已知 ≠A Z,对于k∈A,k-1 A且k+1 A,则称k为A的“孤立元”.给定集合A={x|-1[A]5 [B]7 [C]13 [D]15
C
【解析】(2)已知集合A={1,2,3,4,5},
“孤立元”为1的集合为{1},{1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5};
“孤立元”为2的集合为{2},{2,4,5};
“孤立元”为3的集合为{3};
“孤立元”为4的集合为{4},{1,2,4};
“孤立元”为5的集合为{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5}.
综上,满足题意的集合有13个.故选C.
题型三 集合的补、交、并混合运算
【解】 将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
[变式探究1] 在本例的条件下,求( UA)∩( UP).
[变式探究2] 将本例中的集合P改为{x|x≤5},且全集U=P,A,B不变,求A∪ UB.
【解】 画出数轴,如图所示.
所以A∪ UB={x|x<2,或3解答集合补、交、并综合运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助Venn图来求解.
(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算,解答过程中要注意边界问题.
·规律方法·
题型四 利用集合的补、交、并求参数
[例4]已知集合A={x|m4}.
(1)当m=3时,求A∪( RB);
【解】 (1)当m=3时,A={x|3因为B={x|x≤-5,或x>4},
所以 RB={x|-5故A∪( RB)={x|-5(2)若A RB,求实数m的取值范围.
与集合交、并、补运算有关的求参数问题,一般利用数轴分析法求解.同时要注意区间端点值的取舍问题.
·规律方法·
[跟踪训练] 已知集合A={x|1m},若A∩( RB)= ,则m的取值范围为( )
[A](-∞,1] [B](-∞,2]
[C](-∞,1) [D][2,+∞)
A
【解析】 因为集合B={x|x>m},所以 RB={x|x≤m},由于A∩( RB)= ,所以m≤1.故选A.