第3章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|2x2+x-6≤0},B={x|<0},则A∪B等于( )
[A]{x|-2≤x<1} [B]{x|-2≤x≤1}
[C]{x|-3
【答案】 C
【解析】 A={x|2x2+x-6≤0}={x|-2≤x≤},
B={x|<0}={x|-32.若不相等的两个正实数a,b满足a+b=4,且+>t恒成立,则实数t的取值范围是( )
[A](-∞,1] [B](1,+∞)
[C](-∞,2] [D](2,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为a+b=4≥2,当且仅当a=b=2 时,等号成立,
又因为正实数a,b不相等,所以ab<4,+==>1,所以t≤1.故选A.
3.已知a>b,且ab≠0,c∈R,则下列不等式中一定成立的是( )
[A]a2>b2 [B]<
[C]≥ [D]>
【答案】 D
【解析】 当a=1,b=-2时,1>-2,而12<(-2)2=4,>,且无意义,故A,B,C错误;
因为c2+1>0,所以>,D正确.故选D.
4.若x>0,则y=(1-x)(8-)的最大值是( )
[A]-2 [B]0 [C]1 [D]2
【答案】 D
【解析】 y=(1-x)(8-)=10-(8x+)≤10-2=2,当且仅当x=时,等号成立.
所以y=(1-x)(8-)的最大值是2.故选D.
5.设A=+(m,n为互不相等的正实数),B=-x2+4x-2,则A与B的大小关系是( )
[A]A>B [B]A≥B [C]A【答案】 A
【解析】 由题知m,n为互不相等的正实数,则≠,所以A=+>2=2,
B=-x2+4x-2=-(x-2)2+2≤2,当x=2时,Bmax=2,所以A>B.故选A.
6.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是( )
[A](-5,-4]∪[4,+∞)
[B](-5,-4]
[C](-5,-4)
[D](-5,-4)∪(4,+∞)
【答案】 B
【解析】 根据题意,二次函数y=x2+(m-2)x+5-m的图象与x轴的两个交点都在(2,0)的右侧,如图,根据图象可得
即
解得-57.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-4[A][6,+∞) [B](-∞,6)
[C](6,+∞) [D](-∞,-6]
【答案】 D
【解析】 由不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-4由根与系数的关系可得即可得b=3a,c=-4a,
所以===4a+=-(-4a+)≤-2=-6,
当且仅当-4a=,即a=-时,等号成立,
即可得∈(-∞,-6].故选D.
8.已知x>0,y>0,且+=,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
[A](-4,6) [B](-3,0)
[C](-4,1) [D](1,3)
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,且+=,
所以x+2+y=(x+2+y)(+)=(1+++1)≥(2+2)=6,
当且仅当=,即y=3,x=1时,等号成立,
所以x+y≥4,
因为x+y>m2+3m恒成立,所以m2+3m<4,
即(m-1)(m+4)<0,解得-4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
[A]不等式4x2-5x+1>0的解集是{x|x>或x<1}
[B]不等式2x2-x-6≤0的解集是{x|x≤-或x≥2}
[C]若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是
[D]若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是{x|q【答案】 CD
【解析】 对于A,4x2-5x+1>0,即(x-1)(4x-1)>0,解得x<或x>1,故A错误;
对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,解得-≤x≤2,故B错误;
对于C,若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,
当a=0时,21<0是不可能成立的,
所以只能而该不等式组无解,所以a的取值范围是 ,故C正确;
对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,
从而解得p=1,q=-,
而当p=1,q=-时,一元二次不等式2x2+x-3<0可化为(x-1)(2x+3)<0,解得-10.已知x1,x2是方程m(x-1)(x+2)-1=0的两个根,其中x10的解集是{x|x1[A]x1+x2+1=0 [B]-2[C]x1x2+2>0 [D]|x1-x2|>3
【答案】 ABC
【解析】 不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集是{x|x1且x1,x2是一元二次方程mx2+mx-2m-1=0的两个根,
所以x1+x2=-1,x1·x2==-2->-2,
所以x1+x2+1=0,x1·x2+2>0,故A,C正确;
又|x1-x2|==<3,故D错误;
又方程m(x-1)(x+2)=0的根是1和-2,且不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集为(x1,x2),所以-211.已知正数a,b满足4a+b+ab=5,则下列结论正确的是( )
[A]ab的最大值为1
[B]4a+b的最小值为4
[C]16a2+b2的最小值为9
[D]+的最小值为
【答案】 ABD
【解析】 由正数a,b满足4a+b+ab=5,可得4a+b=5-ab≥4,解得0<≤1,即ab≤1,
当且仅当4a=b,即a=,b=2时,等号成立,故A正确;
由正数a,b满足4a+b+ab=5,可得4a+b-5=-×4ab≥-×,解得4a+b≥4或4a+b≤-20(舍去),当且仅当4a=b,即a=,b=2时,等号成立,故B正确;
16a2+b2=(4a+b)2-8ab=(5-ab)2-8ab=(ab-9)2-56,由A选项的分析知ab≤1,
又由二次函数的单调性知(ab-9)2-56≥(1-9)2-56=8,
即当ab=1时,16a2+b2的最小值为8,故C错误;
由4a+b+ab=5可得4a+4+b+ab=9,即(a+1)(b+4)=9,所以==+,
所以+=++≥2+=,当且仅当=,即b=3,a=时,等号成立,故D正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若-1【答案】 {t|-【解析】 设t=2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得x=,y=-,
则t=2a+3b=(a+b)-(a-b),
而由-1又由2所以--2<(a+b)-(a-b)<-1,
即-<2a+3b<,可得-故t的取值范围为{t|-13.已知某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件;若每件提价1元,则每天卖出的件数将减少1件,为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售价的取值范围是 .
【答案】 [45,65]
【解析】 设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40+x)元,
则每天出售衬衫的净收入为(40+x-30)(40-x)=(-x2+30x+400)元,
由题意可知,-x2+30x+400≥525,
整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,
所以每件衬衫的售价的取值范围是[45,65].
14.设m为实数,若二次函数y=x2-x+m在区间(-∞,1)上有两个零点,则m的取值范围是
.
【答案】 (0,)
【解析】 二次函数y=x2-x+m图象的对称轴为直线x=,且开口向上,
因为二次函数y=x2-x+m在区间(-∞,1)上有两个零点,
所以方程x2-x+m=0在区间(-∞,1)上有两个不同的根,
记方程x2-x+m=0的两根分别为x1,x2,
则
解得0四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知a>b>1.
(1)证明:<;
(2)若a+b=5,求+的最小值.
(1)【证明】 因为-==,
又a>b>1,所以b-a<0,(a-1)(b-1)>0,
则<0,从而<.
(2)【解】 因为a+b=5,所以+=[(a-1)+(b+1)](+)=[5++],
又a>b>1,所以+≥4,
当且仅当a=,b=时,等号成立,
故+的最小值为.
16.(本小题满分15分)
已知函数y=ax2+bx+18,y>0的解集为{x|-3(1)求该函数解析式;
(2)当x<-1时,求的最小值.
【解】 (1)因为函数y=ax2+bx+18,y>0的解集为{x|-3所以方程ax2+bx+18=0的两个根分别是-3,2,且a<0,
则有解得
所以y=-3x2-3x+18.
(2)==-3×=3(-x-)=3[-(x+1)-+1],
由x<-1,则x+1<0,即-(x+1)>0,
根据基本不等式有-(x+1)-≥2,
当且仅当x+1=,即x=-2时,等号成立,
所以当x=-2时,的最小值为9.
17.(本小题满分15分)
某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析,由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销,每辆单车的营运累计收入y(单位:元)与营运天数x(x∈N*)满足y=-x2+58x-800.
(1)为保证营运累计收入不为负,求每辆单车最多营运的天数;
(2)每辆单车营运多少天,才能使每天的平均营运收入最大
【解】 (1)由题意可知y≥0,即-x2+58x-800≥0,x2-116x+1 600≤0,(x-16)(x-100)≤0,解得16≤x≤100(x∈N*),
所以每辆单车最多营运100天.
(2)由题意可知x∈N*,
=-x+58-=-(x+)+58≤-2+58=18,
当且仅当x=,即x=40时,等号成立,
故每辆单车营运40天时,才能使每天的平均营运收入最大.
18.(本小题满分17分)
设a,b,c是实数,函数y=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=-5,函数y=ax2+bx+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,求c的取值范围;
(2)若函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,求关于x的不等式y>2ax的解集.
【解】 (1)当a=1,b=-5时,y=x2-5x+c,
因为y=x2-5x+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,又>0,所以
即c∈(0,),故c的取值范围为(0,).
(2)因为函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,
所以a≠0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,则所以
①当a>0时,由y>2ax得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+>0,所以x2-3x-2>0,解得x<或x>,
故不等式y>2ax的解集为{x∈R|x<或x>};
②当a<0时,由y>2ax得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+<0,所以x2-3x-2<0,解得故不等式y>2ax的解集为{x∈R|综上所述,当a>0时,不等式的解集为{x∈R|x<或x>};
当a<0时,不等式的解集为{x∈R|19.(本小题满分17分)
对于二次函数y=ax2+bx+c,若存在x0∈R,使a+bx0+c=x0成立,则称x0为函数y=ax2+bx+c的“不动点”.已知函数y=mx2+(n-1)x+n-8(m≠0).
(1)当m=1,n=0时,求函数y的“不动点”;
(2)若对任意实数n,函数y恒有两个相异的“不动点”,求实数m的取值范围.
【解】 (1)当m=1,n=0时,y=x2-x-8,
设x0为“不动点”,因此-x0-8=x0,解得x0=-2或x0=4,所以-2,4为函数y的“不动点”.
(2)因为y恒有两个“不动点”,
即方程mx2+(n-1)x+n-8=x恒有两个不等实根,
整理为mx2+(n-2)x+n-8=0,
所以m≠0且Δ=(n-2)2-4m(n-8)>0恒成立,
即对于任意n∈R,n2-(4+4m)n+32m+4>0恒成立.
则Δ′=(4+4m)2-4(32m+4)<0,解得0所以m的取值范围为(0,6).章末复习提升
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知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.m不小于-1,则m>-1.( × )
2.a>b a2>b2.( × )
3.若a,b同号,则a+b≥2.( × )
4.若ab>0,则+>.( × )
5.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
6.若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|xx2},则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )
题型一 数或式比较大小问题
[例1] 已知a【解】 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)
=(a-b)(a-c)(b-c).
因为a所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.
所以a2b+b2c+c2a数或式比较大小的方法
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较,往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形,直观比较大小.
[跟踪训练] 设a>b>0,比较与的大小.
【解】 作差有-===,
因为a>b>0,所以>0,则>.
题型二 不等式的性质及应用
[例2] (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则( )
[A]4≤a+2b≤11 [B]-1≤b-2a≤3
[C]3≤a2b≤16 [D]≤≤
(2)(多选)若x>y>z,且x+2y+z=0,则( )
[A]x>0 [B]z<0
[C]xy>yz [D]<
【答案】 (1)BD (2)ABD
【解析】 (1)由1≤a≤2,3≤b≤5,得7≤a+2b≤12,A选项错误;
由1≤a≤2,得-4≤-2a≤-2,而3≤b≤5,故-1≤b-2a≤3,B选项正确;
由1≤a≤2,3≤b≤5,得1≤a2≤4,故3≤a2b≤20,C选项错误;
由3≤b≤5,得≤≤,而1≤a≤2,则≤≤,D选项正确.故选BD.
(2)对于A,由x>y>z且x+2y+z=0,得x+2y+z0,x>0,A正确;
对于B,x+2y+z>z+2z+z=4z,所以4z<0,z<0,B正确;
对于C,取x=1,y=0,z=-1,则xy=yz,C错误;
对于D,由x>y>z得0,因为z<0,所以<,D正确.故选ABD.
应用时容易出错的不等式的性质
(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.若 a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,cb-d.
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;若a>b>0,0.
(3)左右同正不等式:两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.若 a>b>0,则an>bn(n∈N*).
(4)若ab>0,a>b,则<,若ab<0,a>b,则 >.
[跟踪训练] (1)(多选)如果a,b,c满足c[A]ab>ac [B]c(b-a)>0
[C]cb2(2)已知-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3,则5x+2y的取值范围是( )
[A][2,7] [B][-3,8]
[C][-2,6] [D][-3,9]
【答案】(1)ABD (2)D
【解析】(1)因为c0.
A成立,因为cac;
B成立,因为b0;
C不一定成立,当b=0时,cb2D成立,因为c0,所以ac(a-c)<0.故选ABD.
(2)设5x+2y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y,
所以解得即可得5x+2y=3(x+y)+(2x-y),
因为-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3,所以-3≤5x+2y=3(x+y)+(2x-y)≤9.故选D.
题型三 利用基本不等式求最值
[例3] (1)若实数x>2y>0,则+的最小值为( )
[A]2 [B]2-1
[C]2+1 [D]2+2
(2)(多选)已知正数a,b满足2a+b=2,下列说法正确的是( )
[A]ab的最大值为1
[B]+的最小值为
[C]4a2+b2的最小值为2
[D]+的最小值为2+4
【答案】 (1)D (2)BCD
【解析】 (1)+=+=++2≥2+2=2+2,
当且仅当(x-2y)2=3y2,即x=(2+)y时,等号成立.故选D.
(2)由题意知,正数a,b满足2a+b=2,
对于A,2=2a+b≥2,解得ab≤,当且仅当b=2a=1时,等号成立,A错误;
对于B,+=(2a+b)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当b=a=时,等号成立,B正确;
对于C,因为4a2+b2≥2×2ab,所以4a2+b2+4a2+b2≥4a2+2×2ab+b2=(2a+b)2,即4a2+b2≥=2,当且仅当b=2a=1时,等号成立,C正确;
对于D,+=+=4++≥4+2=4+2,当且仅当=,即a=b=时,等号成立,D正确.故选BCD.
利用基本不等式求最值的方法
一般用a+b≥2(a>0,b>0)解“定积求和,和最小”问题,用ab≤()2解“定和求积,积最大”问题.
[跟踪训练] (1)(多选)下列结论正确的是( )
[A]当x>0时,+≥2
[B]当x>2时,x+的最小值是2
[C]当x>0,y>0时,+≥2
[D]当x<2时,y=x-1+的最小值为3
(2)已知正数a,b满足ab=1,则T=(a+1)2+(b+1)2的最小值为( )
[A]4 [B]6 [C]8 [D]16
【答案】 (1)AC (2)C
【解析】 (1)对于A,由基本不等式可得+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故A正确;
对于B,由基本不等式可得x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,而x>2,故等号不成立,故x+的最小值不是2,故B错误;
对于C,由基本不等式可得+≥2=2,当且仅当x=y时,等号成立,故C正确;
对于D,取x=-5,则x-1+=-6-<3,故y=x-1+的最小值不为3,故D错误.故选AC.
(2)因为T=a2+b2+2(a+b)+2≥2ab+4+2=8,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以T的最小值为8. 故选C.
题型四 一元二次不等式及其应用
[例4] 已知a,b∈R,关于x的不等式≤0.
(1)若b=a+2,且不等式对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当b=a时,解关于x的不等式.(解集用a表示)
【解】 (1)若b=a+2,且不等式≤0对一切x∈R恒成立,
又x2+2x+3>0恒成立,
所以ax2-ax-2≤0恒成立,
当a=0时,-2≤0恒成立,符合题意;
当a≠0时,原不等式等价为解得-8≤a<0.
综上,实数a的取值范围为[-8,0].
(2)当b=a时,因为x2+2x+3>0恒成立,
不等式≤0可化为ax2-(a-2)x-2≤0,即(ax+2)(x-1)≤0,
若a=0,解得x≤1,
若a>0,不等式可化为(x+)(x-1)≤0,
解得-≤x≤1,
若a<0,不等式可化为(x+)(x-1)≥0,
当-2当a=-2时,x∈R;
当a<-2时,解得x≥1或x≤-.
综上,当a=0时,解集为{x|x≤1};
当a>0时,解集为{x|-≤x≤1};
当-2当a=-2时,解集为R;
当a<-2时,解集为{x|x≥1或x≤-}.
对于不等式恒成立求参数取值范围问题常见类型及解法有以下几种:
(1)变更主元法.根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作
主元.
(2)分离参数法.将参数分离后转化为求解最值问题.
(3)数形结合法.利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.
[跟踪训练] (1)若集合A={x|x2-ax+2<0}= ,则实数a的取值范围是 .
(2)若不等式ax2-ax+a-1<0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (1){a|-2≤a≤2} (2)(-∞,0]
【解析】(1)由集合A={x|x2-ax+2<0}= ,知不等式x2-ax+2<0无解,
所以Δ=(-a)2-4×1×2≤0,解得-2≤a≤2,所以实数a的取值范围是{a|-2≤a≤2}.
(2)当a=0时,-1<0,符合题意,所以a=0;
当a≠0时,只需解得a<0.
综上,实数a的取值范围为(-∞,0].
题型五 一元二次不等式与基本不等式的实际应用
[例5] 某自来水厂拟安装一种新的净水设备,以降低自来水的使用量.经测算,这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:m2)成正比,比例系数为0.2,预计安装后该自来水厂需缴纳的总水费C(单位:万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C=(x>0),将该自来水厂的净水设备购置费与安装后需缴纳的水费合计为y(单位:万元).
(1)要使y不超过11.2万元,求设备占地面积x的取值范围;
(2)设备占地面积x为多少平方米时,y的值最小,并求出此最小值.
【解】 (1)由题意得y=0.2x+(x>0),
令y≤11.2,即0.2x+≤11.2,
整理得x2-51x+620≤0,即(x-20)(x-31)≤0,
解得20≤x≤31,
所以设备占地面积x的取值范围为[20,31].
(2)因为y=0.2x+=+-1≥2-1=2-1=11,
当且仅当=,即x=25时,等号成立,
所以设备占地面积x为25 m2时,y的值最小,最小值为11万元.
不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模、数学运算的核心素养.
[跟踪训练] 某单位决定在内部投资156 000元建一个长方体的功能用房,其高度3 m,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用塑钢,每平方米400元,两侧墙砌砖,每平方米造价450元,地面和顶部每平方米造价均为600元,设正面长为x m,每侧砖墙长均为y m.
(1)写出x与y的关系式;
(2)求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少 此时正面长应设计为多少米
【解】 (1)由题意得3x×400+2×3y×450+2xy×600=156 000,
化简得4x+9y+4xy=520,
所以y=(0(2)因为4x+9y≥2=12,当且仅当4x=9y时,等号成立,
所以520=4x+9y+4xy≥12+4xy,即xy+3-130≤0,
所以(+13)(-10)≤0,解得0<≤10,
所以功能用房占地面积S=xy∈(0,100],
即功能用房占地面积S的最大允许值是100 m2,
此时4x=9y且xy=100,即x=15,y=,故此时正面长应设计为15 m.
第3章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|2x2+x-6≤0},B={x|<0},则A∪B等于( )
[A]{x|-2≤x<1} [B]{x|-2≤x≤1}
[C]{x|-3【答案】 C
【解析】 A={x|2x2+x-6≤0}={x|-2≤x≤},
B={x|<0}={x|-32.若不相等的两个正实数a,b满足a+b=4,且+>t恒成立,则实数t的取值范围是( )
[A](-∞,1] [B](1,+∞)
[C](-∞,2] [D](2,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为a+b=4≥2,当且仅当a=b=2 时,等号成立,
又因为正实数a,b不相等,所以ab<4,+==>1,所以t≤1.故选A.
3.已知a>b,且ab≠0,c∈R,则下列不等式中一定成立的是( )
[A]a2>b2 [B]<
[C]≥ [D]>
【答案】 D
【解析】 当a=1,b=-2时,1>-2,而12<(-2)2=4,>,且无意义,故A,B,C错误;
因为c2+1>0,所以>,D正确.故选D.
4.若x>0,则y=(1-x)(8-)的最大值是( )
[A]-2 [B]0 [C]1 [D]2
【答案】 D
【解析】 y=(1-x)(8-)=10-(8x+)≤10-2=2,当且仅当x=时,等号成立.
所以y=(1-x)(8-)的最大值是2.故选D.
5.设A=+(m,n为互不相等的正实数),B=-x2+4x-2,则A与B的大小关系是( )
[A]A>B [B]A≥B [C]A【答案】 A
【解析】 由题知m,n为互不相等的正实数,则≠,所以A=+>2=2,
B=-x2+4x-2=-(x-2)2+2≤2,当x=2时,Bmax=2,所以A>B.故选A.
6.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是( )
[A](-5,-4]∪[4,+∞)
[B](-5,-4]
[C](-5,-4)
[D](-5,-4)∪(4,+∞)
【答案】 B
【解析】 根据题意,二次函数y=x2+(m-2)x+5-m的图象与x轴的两个交点都在(2,0)的右侧,如图,根据图象可得
即
解得-57.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-4[A][6,+∞) [B](-∞,6)
[C](6,+∞) [D](-∞,-6]
【答案】 D
【解析】 由不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-4由根与系数的关系可得即可得b=3a,c=-4a,
所以===4a+=-(-4a+)≤-2=-6,
当且仅当-4a=,即a=-时,等号成立,
即可得∈(-∞,-6].故选D.
8.已知x>0,y>0,且+=,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
[A](-4,6) [B](-3,0)
[C](-4,1) [D](1,3)
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,且+=,
所以x+2+y=(x+2+y)(+)=(1+++1)≥(2+2)=6,
当且仅当=,即y=3,x=1时,等号成立,
所以x+y≥4,
因为x+y>m2+3m恒成立,所以m2+3m<4,
即(m-1)(m+4)<0,解得-4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
[A]不等式4x2-5x+1>0的解集是{x|x>或x<1}
[B]不等式2x2-x-6≤0的解集是{x|x≤-或x≥2}
[C]若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是
[D]若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是{x|q【答案】 CD
【解析】 对于A,4x2-5x+1>0,即(x-1)(4x-1)>0,解得x<或x>1,故A错误;
对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,解得-≤x≤2,故B错误;
对于C,若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,
当a=0时,21<0是不可能成立的,
所以只能而该不等式组无解,所以a的取值范围是 ,故C正确;
对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根,
从而解得p=1,q=-,
而当p=1,q=-时,一元二次不等式2x2+x-3<0可化为(x-1)(2x+3)<0,解得-10.已知x1,x2是方程m(x-1)(x+2)-1=0的两个根,其中x10的解集是{x|x1[A]x1+x2+1=0 [B]-2[C]x1x2+2>0 [D]|x1-x2|>3
【答案】 ABC
【解析】 不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集是{x|x1且x1,x2是一元二次方程mx2+mx-2m-1=0的两个根,
所以x1+x2=-1,x1·x2==-2->-2,
所以x1+x2+1=0,x1·x2+2>0,故A,C正确;
又|x1-x2|==<3,故D错误;
又方程m(x-1)(x+2)=0的根是1和-2,且不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集为(x1,x2),所以-211.已知正数a,b满足4a+b+ab=5,则下列结论正确的是( )
[A]ab的最大值为1
[B]4a+b的最小值为4
[C]16a2+b2的最小值为9
[D]+的最小值为
【答案】 ABD
【解析】 由正数a,b满足4a+b+ab=5,可得4a+b=5-ab≥4,解得0<≤1,即ab≤1,
当且仅当4a=b,即a=,b=2时,等号成立,故A正确;
由正数a,b满足4a+b+ab=5,可得4a+b-5=-×4ab≥-×,解得4a+b≥4或4a+b≤-20(舍去),当且仅当4a=b,即a=,b=2时,等号成立,故B正确;
16a2+b2=(4a+b)2-8ab=(5-ab)2-8ab=(ab-9)2-56,由A选项的分析知ab≤1,
又由二次函数的单调性知(ab-9)2-56≥(1-9)2-56=8,
即当ab=1时,16a2+b2的最小值为8,故C错误;
由4a+b+ab=5可得4a+4+b+ab=9,即(a+1)(b+4)=9,所以==+,
所以+=++≥2+=,当且仅当=,即b=3,a=时,等号成立,故D正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若-1【答案】 {t|-【解析】 设t=2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得x=,y=-,
则t=2a+3b=(a+b)-(a-b),
而由-1又由2所以--2<(a+b)-(a-b)<-1,
即-<2a+3b<,可得-故t的取值范围为{t|-13.已知某种衬衫进货价为每件30元,若以40元一件出售,则每天能卖出40件;若每件提价1元,则每天卖出的件数将减少1件,为使每天出售衬衫的净收入不低于525元,则每件衬衫的售价的取值范围是 .
【答案】 [45,65]
【解析】 设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40+x)元,
则每天出售衬衫的净收入为(40+x-30)(40-x)=(-x2+30x+400)元,
由题意可知,-x2+30x+400≥525,
整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,
所以每件衬衫的售价的取值范围是[45,65].
14.设m为实数,若二次函数y=x2-x+m在区间(-∞,1)上有两个零点,则m的取值范围是
.
【答案】 (0,)
【解析】 二次函数y=x2-x+m图象的对称轴为直线x=,且开口向上,
因为二次函数y=x2-x+m在区间(-∞,1)上有两个零点,
所以方程x2-x+m=0在区间(-∞,1)上有两个不同的根,
记方程x2-x+m=0的两根分别为x1,x2,
则
解得0四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知a>b>1.
(1)证明:<;
(2)若a+b=5,求+的最小值.
(1)【证明】 因为-==,
又a>b>1,所以b-a<0,(a-1)(b-1)>0,
则<0,从而<.
(2)【解】 因为a+b=5,所以+=[(a-1)+(b+1)](+)=[5++],
又a>b>1,所以+≥4,
当且仅当a=,b=时,等号成立,
故+的最小值为.
16.(本小题满分15分)
已知函数y=ax2+bx+18,y>0的解集为{x|-3(1)求该函数解析式;
(2)当x<-1时,求的最小值.
【解】 (1)因为函数y=ax2+bx+18,y>0的解集为{x|-3所以方程ax2+bx+18=0的两个根分别是-3,2,且a<0,
则有解得
所以y=-3x2-3x+18.
(2)==-3×=3(-x-)=3[-(x+1)-+1],
由x<-1,则x+1<0,即-(x+1)>0,
根据基本不等式有-(x+1)-≥2,
当且仅当x+1=,即x=-2时,等号成立,
所以当x=-2时,的最小值为9.
17.(本小题满分15分)
某公司购买了一批共享单车投放给市民使用.据市场分析,由于公司在共享单车成本、维修、搬运等方面的花销,每辆单车的营运累计收入y(单位:元)与营运天数x(x∈N*)满足y=-x2+58x-800.
(1)为保证营运累计收入不为负,求每辆单车最多营运的天数;
(2)每辆单车营运多少天,才能使每天的平均营运收入最大
【解】 (1)由题意可知y≥0,即-x2+58x-800≥0,x2-116x+1 600≤0,(x-16)(x-100)≤0,解得16≤x≤100(x∈N*),
所以每辆单车最多营运100天.
(2)由题意可知x∈N*,
=-x+58-=-(x+)+58≤-2+58=18,
当且仅当x=,即x=40时,等号成立,
故每辆单车营运40天时,才能使每天的平均营运收入最大.
18.(本小题满分17分)
设a,b,c是实数,函数y=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=-5,函数y=ax2+bx+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,求c的取值范围;
(2)若函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,求关于x的不等式y>2ax的解集.
【解】 (1)当a=1,b=-5时,y=x2-5x+c,
因为y=x2-5x+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,又>0,所以
即c∈(0,),故c的取值范围为(0,).
(2)因为函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,
所以a≠0,且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,则所以
①当a>0时,由y>2ax得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+>0,所以x2-3x-2>0,解得x<或x>,
故不等式y>2ax的解集为{x∈R|x<或x>};
②当a<0时,由y>2ax得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+<0,所以x2-3x-2<0,解得故不等式y>2ax的解集为{x∈R|综上所述,当a>0时,不等式的解集为{x∈R|x<或x>};
当a<0时,不等式的解集为{x∈R|19.(本小题满分17分)
对于二次函数y=ax2+bx+c,若存在x0∈R,使a+bx0+c=x0成立,则称x0为函数y=ax2+bx+c的“不动点”.已知函数y=mx2+(n-1)x+n-8(m≠0).
(1)当m=1,n=0时,求函数y的“不动点”;
(2)若对任意实数n,函数y恒有两个相异的“不动点”,求实数m的取值范围.
【解】 (1)当m=1,n=0时,y=x2-x-8,
设x0为“不动点”,因此-x0-8=x0,解得x0=-2或x0=4,所以-2,4为函数y的“不动点”.
(2)因为y恒有两个“不动点”,
即方程mx2+(n-1)x+n-8=x恒有两个不等实根,
整理为mx2+(n-2)x+n-8=0,
所以m≠0且Δ=(n-2)2-4m(n-8)>0恒成立,
即对于任意n∈R,n2-(4+4m)n+32m+4>0恒成立.
则Δ′=(4+4m)2-4(32m+4)<0,解得0所以m的取值范围为(0,6).(共43张PPT)
章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.m不小于-1,则m>-1.( )
2.a>b a2>b2.( )
×
×
×
×
5.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
( )
6.若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|xx2},则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )
×
√
核心题型突破
题型一 数或式比较大小问题
[例1] 已知a【解】 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)
=(a-b)(a-c)(b-c).
因为a所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.
所以a2b+b2c+c2a·规律方法·
数或式比较大小的方法
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较,往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形,直观比较大小.
题型二 不等式的性质及应用
[例2] (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则( )
BD
(2)(多选)若x>y>z,且x+2y+z=0,则( )
ABD
应用时容易出错的不等式的性质
(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.若 a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,cb-d.
·规律方法·
(3)左右同正不等式:两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.若 a>b>0,则an>bn(n∈N*).
·规律方法·
[跟踪训练] (1)(多选)如果a,b,c满足c[A]ab>ac [B]c(b-a)>0
[C]cb2ABD
【解析】(1)因为c0.
A成立,因为cac;
B成立,因为b0;
C不一定成立,当b=0时,cb2D成立,因为c0,所以ac(a-c)<0.故选ABD.
(2)已知-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3,则5x+2y的取值范围是( )
[A][2,7] [B][-3,8]
[C][-2,6] [D][-3,9]
D
题型三 利用基本不等式求最值
D
(2)(多选)已知正数a,b满足2a+b=2,下列说法正确的是( )
BCD
利用基本不等式求最值的方法
·规律方法·
[跟踪训练] (1)(多选)下列结论正确的是( )
AC
(2)已知正数a,b满足ab=1,则T=(a+1)2+(b+1)2的最小值为( )
[A]4 [B]6 [C]8 [D]16
C
题型四 一元二次不等式及其应用
(1)若b=a+2,且不等式对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当b=a时,解关于x的不等式.(解集用a表示)
对于不等式恒成立求参数取值范围问题常见类型及解法有以下几种:
(1)变更主元法.根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法.将参数分离后转化为求解最值问题.
(3)数形结合法.利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直
观化.
·规律方法·
[跟踪训练] (1)若集合A={x|x2-ax+2<0}= ,则实数a的取值范围是
.
(2)若不等式ax2-ax+a-1<0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 .
(-∞,0]
题型五 一元二次不等式与基本不等式的实际应用
(1)要使y不超过11.2万元,求设备占地面积x的取值范围;
(2)设备占地面积x为多少平方米时,y的值最小,并求出此最小值.
不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模、数学运算的核心素养.
·规律方法·
[跟踪训练] 某单位决定在内部投资156 000元建一个长方体的功能用房,其高度3 m,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用塑钢,每平方米400元,两侧墙砌砖,每平方米造价450元,地面和顶部每平方米造价均为600元,设正面长为x m,每侧砖墙长均为y m.
(1)写出x与y的关系式;
(2)求出功能用房占地面积S的最大允许值是多少 此时正面长应设计为
多少米