(共35张PPT)
章末复习提升
主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( )
2.因为a0=1(a>0,a≠1),所以函数y=ax的图象恒过点(0,1).( )
3.函数y=ax(a>0,a≠1)的最小值为0.( )
4.指数函数y=ax(a>0,a≠1)不具备奇偶性.( )
5.若a2>a3,则0
×
√
×
√
×
6.若2a<2b,则a7.函数y=log3(x+1)的定义域为(0,+∞).( )
8.对数函数的图象一定在y轴的右侧.( )
9.当a>1时,若0√
×
√
√
×
核心题型突破
题型一 幂函数及其图象与性质
BD
·规律方法·
幂函数的图象与性质
概念 幂函数y=xα(α为常数)
α>0 α<0
图象与性质 图象过点(0,0)和点(1,1) 图象都过点(1,1)
在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,+∞)上单调递增 在第一象限内,函数值随x的增大而减少,即在(0,+∞)上单调递减
在第一象限内,当α>1时,图象下凸;当0<α<1时,图象上凸 在第一象限内,图象都下凸
(1)α是奇数时,幂函数为奇函数;α是偶数时,幂函数是偶函数;
(2)幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内,必出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内
(-1,4)
题型二 指数函数、对数函数的图象及其应用
[例2] (1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列选项正确的是( )
[A]a>1
[B]b>1
[C]2b-a<1
[D]g(x)=bx-a的图象不经过第四象限
BD
【解析】 (1)对于A,由题图可知函数f(x)单调递减,则01,故B正确;对于C,由
-1<-a<0,得b-a>0,由y=2x在R上是增函数,得2b-a>20=1,故C错误;对于D,由b>1,00,故D正确.故选BD.
(2)已知函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则f(3)= .
9
【解析】 (2)对于函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1),令x-1=1,可得x=2,此时y=loga1+4=4,所以函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1)的图象恒过定点P(2,4),因为函数y=f(x)为幂函数,设f(x)=xn,其中n为常数,则f(2)=2n=4,解得n=2,所以f(x)=x2,故f(3)=32=9.
(1)指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. (2)迅速准确地画出指数型、对数型函数的图象是求解上述问题的关键,这就要弄清它们与指数函数、对数函数的关系,选择恰当的平移、对称等变换方法,作出它们的图象.
·规律方法·
B
【解析】 函数f(x)单调递增,且过定点(0,1+a),当01时,1+a>2,即f(x)与y轴交点的纵坐标大于2,此时g(x)过定点(1,0)且在(0,+∞)上单调递增,符合的选项为B.故选B.
题型三 比较大小问题
A
D
比较大小的常用方法
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”,
“大于或等于0且小于或等于1”,“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.
·规律方法·
[跟踪训练] (1)三个数a=0.42,b=log20.3,c=20.6之间的大小关系是( )
[A]a[C]bC
(2)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )
[A]a>2b [B]a<2b
[C]a>b2 [D]aB
题型四 解简单的指数或对数方程或不等式
C
(2)已知函数f(x)=log2(x+1),若0利用指数函数或对数函数的性质,解简单的指数或对数的方程或不等式,最基本的方法是:先利用幂的运算性质或对数的运算性质,化为同底数幂或对数,再利用指数函数或对数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.
提醒:对底数含有参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意自变量的取值范围,以免出现增根.
·规律方法·
(-3,1)
(2)不等式log2(4x-3)>x+1的解集是 .
(log23,+∞)
题型五 与指数、对数函数有关的复合函数的单调性
C
解决与指数函数或对数函数有关的复合函数的单调性问题时,根据“同增异减”以及指数函数或对数函数的性质,通过不等式(组)求解.
·规律方法·
(-∞,0]
(0,2]章末复习提升
网络构建
知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).( × )
2.因为a0=1(a>0,a≠1),所以函数y=ax的图象恒过点(0,1).( √ )
3.函数y=ax(a>0,a≠1)的最小值为0.( × )
4.指数函数y=ax(a>0,a≠1)不具备奇偶性.( √ )
5.若a2>a3,则06.若2a<2b,则a7.函数y=log3(x+1)的定义域为(0,+∞).( × )
8.对数函数的图象一定在y轴的右侧.( √ )
9.当a>1时,若010.函数y=lox与y=logax(a>0,a≠1)的图象关于y轴对称.( × )
题型一 幂函数及其图象与性质
[例1] (多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则( )
[A]函数f(x)为减函数
[B]函数f(x)的值域为(0,+∞)
[C]函数f(x)为奇函数
[D]若0【答案】 BD
【解析】 设f(x)=xα,将(2,)代入,得2α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2,其图象如图所示,
可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且值域为(0,+∞),故A错误,B正确;
函数f(x)=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),则f(x)为偶函数,故C错误;
若0因为0故f()-=<0,
即f()<,故D正确.故选BD.
幂函数的图象与性质
幂函数y=xα(α为常数)
α>0 α<0
图象过点(0,0)和点(1,1) 图象都过点(1,1)
在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,+∞)上单调递增 在第一象限内,函数值随x的增大而减少,即在(0,+∞)上单调递减
在第一象限内,当α>1时,图象下凸;当0<α<1时,图象上凸 在第一象限内,图象都下凸
(1)α是奇数时,幂函数为奇函数;α是偶数时,幂函数是偶函数; (2)幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内,必出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内
[跟踪训练]已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,实数a满足<,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-1,4)
【解析】 因为幂函数f(x)=(p∈N*)在(0,+∞)上单调递减,
所以p2-2p-3<0,解得-1因为p∈N*,所以p=1或p=2.
当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件;
当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,
则不等式(a2-1<(3a+3等价于(a2-1<(3a+3,
因为y=在R上为增函数,
所以a2-1<3a+3,解得-1题型二 指数函数、对数函数的图象及其应用
[例2] (1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列选项正确的是( )
[A]a>1
[B]b>1
[C]2b-a<1
[D]g(x)=bx-a的图象不经过第四象限
(2)已知函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则f(3)= .
【答案】 (1)BD (2)9
【解析】 (1)对于A,由题图可知函数f(x)单调递减,则0f(0)=a0-b=1-b,由题图可得1-b<0,解得b>1,故B正确;对于C,由-1<-a<0,得b-a>0,由y=2x在R上是增函数,得2b-a>20=1,故C错误;对于D,由b>1,00,故D正确.故选BD.
(2)对于函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1),令x-1=1,可得x=2,此时y=loga1+4=4,所以函数y=loga(x-1)+4(a>0,a≠1)的图象恒过定点P(2,4),因为函数y=f(x)为幂函数,设f(x)=xn,其中n为常数,则f(2)=2n=4,解得n=2,所以f(x)=x2,故f(3)=32=9.
(1)指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.
(2)迅速准确地画出指数型、对数型函数的图象是求解上述问题的关键,这就要弄清它们与指数函数、对数函数的关系,选择恰当的平移、对称等变换方法,作出它们的图象.
[跟踪训练]函数f(x)=3x+a与函数g(x)=logax(a>0,a≠1)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)单调递增,且过定点(0,1+a),当01时,1+a>2,即f(x)与y轴交点的纵坐标大于2,此时g(x)过定点(1,0)且在(0,+∞)上单调递增,符合的选项为B.故选B.
题型三 比较大小问题
[例3] (1)设a=30.5,b=,c=log32,则( )
[A]a>b>c [B]c>a>b
[C]a>c>b [D]b>a>c
(2)若ea+πb≥e-b+π-a,则下列结论一定成立的是( )
[A]a+b≤0 [B]a-b≥0
[C]a-b≤0 [D]a+b≥0
【答案】 (1)A (2)D
【解析】 (1)因为y=3x是R上的增函数,所以30.5>30.4=>1,即a>b>1;又y=log3x是(0,+∞)上的增函数,所以log32b>c.故选A.
(2)因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,(*)
令f(x)=ex-π-x,因为y=ex和y=-()x都是R上的增函数,故f(x)是R上的增函数,(*)式即为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D.
比较大小的常用方法
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”,“大于或等于0且小于或等于1”,“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.
[跟踪训练] (1)三个数a=0.42,b=log20.3,c=20.6之间的大小关系是( )
[A]a[C]b(2)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )
[A]a>2b [B]a<2b
[C]a>b2 [D]a【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)函数y=0.4x是R上的减函数,而2>1,则0函数y=2x是R上的增函数,而0<0.6,c=20.6>1,
函数y=log2x是(0,+∞)上的增函数,而0<0.3<1,则b=log20.3<0,
于是得b(2)由指数和对数的运算性质可得
2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.
令f(x)=2x+log2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log2(2b),
所以2a+log2a<22b+log2(2b),即f(a)题型四 解简单的指数或对数方程或不等式
[例4] (1)已知函数f(x)=则使f(x)=2的x的集合是( )
[A]{4} [B]{1,4}
[C]{,4} [D]{1,,4}
(2)已知函数f(x)=log2(x+1),若0【答案】 (1)C (2)(0,)
【解析】 (1)当x≤0时,f(x)=2x=2,所以x=1不满足题意;
当x>0时,f(x)=|log2x|=2,
所以log2x=2或log2x=-2,即x=4或x=,
所以f(x)=2的x的集合是{,4}.故选C.
(2)由0解得0利用指数函数或对数函数的性质,解简单的指数或对数的方程或不等式,最基本的方法是:先利用幂的运算性质或对数的运算性质,化为同底数幂或对数,再利用指数函数或对数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.
提醒:对底数含有参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意自变量的取值范围,以免出现增根.
[跟踪训练](1)若不等式<()x成立,则实数x的取值范围是 .
(2)不等式log2(4x-3)>x+1的解集是 .
【答案】 (1)(-3,1) (2)(log23,+∞)
【解析】 (1)不等式<()x <5-x,因为y=5x为R上的增函数,
所以x2+x-3<-x,即x2+2x-3<0,
解得-3所以实数x的取值范围是(-3,1).
(2)由题意得4x-3>0,即x>log23,log2(4x-3)>x+1,
即log2(4x-3)>log22x+1,
所以4x-3>2·2x,故(2x)2-2·2x-3>0,
所以(2x+1)(2x-3)>0,
即2x>3,所以x∈(log23,+∞)
题型五 与指数、对数函数有关的复合函数的单调性
[例5] (1)函数f(x)=ln (x2-ax-3)在(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
[A](-∞,2] [B](-∞,2)
[C](-∞,-2] [D](-∞,-2)
(2)函数y=()(-3≤x≤1)的值域是 .
【答案】 (1)C (2)[()9,39]
【解析】 (1)令t(x)=x2-ax-3,二次函数图象的对称轴方程为x=a,由复合函数的单调性可知,a≤1.又x2-ax-3>0在(1,+∞)上恒成立,所以1-a-3≥0,即-2-a≥0,所以解得a≤-2.故选C.
(2)设t=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9,则y=()t.
因为-3≤x≤1,所以当x=-2时,t有最大值9;当x=1时,t有最小值-9,所以-9≤t≤9.
由函数y=()t在定义域上是减函数,得原函数的值域是[()9,39].
解决与指数函数或对数函数有关的复合函数的单调性问题时,根据“同增异减”以及指数函数或对数函数的性质,通过不等式(组)求解.
[跟踪训练]已知函数f(x)=(),则f(x)的增区间为 ,值域为 .
【答案】 (-∞,0] (0,2]
【解析】 令x2-2x≥0,解得x≥2或x≤0,所以f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞),函数y=x2-2x=x(x-2)在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.令t=-1,则其在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,又y=()t为减函数,故f(x)的增区间为(-∞,0].因为t=-1,所以t≥-1,所以()t∈(0,2],故f(x)的值域为(0,2].
第6章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
[A]y= [B]y=x-1
[C]y=x2 [D]y=x
【答案】 C
【解析】 A选项,函数y=的定义域为[0,+∞),所以函数y=是非奇非偶函数,排除A;
B选项,幂函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,排除B;
C选项,幂函数y=x2的定义域为R,(-x)2=x2,所以函数y=x2是偶函数,又由幂函数的性质可得,幂函数y=x2在(0,+∞)上单调递增,故C正确;
D选项,易知幂函数y=x是奇函数,排除D.故选C.
2.函数f(x)=+lg (5-3x)的定义域是( )
[A][0,) [B][0,]
[C][1,) [D][1,]
【答案】 C
【解析】 由得即1≤x<.故选C.
3.函数y=f(x)的图象与g(x)=log2x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(-2)=( )
[A]-1 [B]1
[C]- [D]
【答案】 D
【解析】 由y=f(x)的图象与g(x)=log2x的图象关于直线y=x对称,可知f(x)与g(x)互为反函数.令log2x=-2,得x=,即f(-2)=.故选D.
4.要使f(x)=()x+1+t的图象不经过第一象限,则t的取值范围是( )
[A][-1,+∞) [B](-∞,-]
[C][-,+∞) [D](-∞,-1]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=()x+1+t的图象与y轴的交点坐标为(0,+t),且为减函数,要使f(x)的图象不经过第一象限,则+t≤0,解得t≤-.故选B.
5.已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围为( )
[A](-∞,0) [B](-,+∞)
[C](-,0) [D][0,)
【答案】 D
【解析】 由题意f(x)=(a+)x在(-∞,1]上单调递减,所以06.已知a=log40.2,b=log0.40.2,c=0.40.2,则( )
[A]a[C]b【答案】 A
【解析】 由对数函数的单调性可知,a=log40.2log0.40.4=1,由指数函数的单调性可知,07.已知定义在{x|x≠0}上的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=2x,则满足f(x)=f()的所有x的值的和等于( )
[A]-5 [B]5
[C]-10 [D]10
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x,令x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x,所以f(x)=f(-x)=2-x,所以f(x)=当x>0时,f(x)=2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,因为f(x)=f(),所以x=或x=-,解得x=1或x=-6或x=-3或x=-2,所以1-2-3-6=-10.故选C.
8.已知函数f(x)=log3(x+)-+1,若f(2a-1)+f(a2-2)≤0,则实数a的取值范围是( )
[A][-3,1] [B][-2,1]
[C](0,1] [D][0,1]
【答案】 A
【解析】 由题可知x∈R且f(-x)=log3(-x+)-+1,所以f(x)+f(-x)=log3(x+)+
log3(-x+)--+2=log3(-x2+x2+1)--+2=0,所以f(x)=-f(-x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,即f(x)为奇函数.因为函数y=x+与y=3x+1在(0,+∞)上均单调递增,所以y=log3(x+)与y=-在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(0)=0,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)在R上单调递增,不等式f(2a-1)+f(a2-2)≤0等价于f(2a-1)≤-f(a2-2)=f(2-a2),因为f(x)在R上单调递增,所以2a-1≤2-a2,解得-3≤a≤1.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.关于幂函数f(x)=x-3,下列结论正确的是( )
[A]f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
[B]f(x)的值域为R
[C]f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
[D]f(x)的图象关于点(0,0)对称
【答案】 ACD
【解析】 对于选项A,因为f(x)=x-3=,所以x≠0,得到f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以选项A正确;
对于选项B,由f(x)=知f(x)≠0,所以选项B错误;
对于选项C,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1,因为x1,x2∈(0,+∞),且x10,·>0,(x2+x1)2+>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以选项C正确;
对于选项D,因为定义域关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以选项D正确.故选ACD.
10.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系y=at(a>0,a≠1)(t≥0)的图象.则下列说法正确的是( )
[A]每月减少的有害物质的量都相等
[B]第4个月时,剩留量就会低于
[C]有害物质每月的衰减率为
[D]有害物质每月的衰减率为
【答案】 BC
【解析】 因为y=at的图象经过点(2,),
所以=a2, 解得a=,所以y=()t,
所以1月到2月减少的有害物质的量为-=,2月到3月减少的有害物质的量为-=,故每月减少的有害物质的量都相等是错误的,故A错误;
当t=4时,有害物质的剩留量y=<,故B正确;
有害物质每月的衰减率为1-=,故C正确,D错误.故选BC.
11.已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D,值域为M,则下列说法正确的是( )
[A]若D=R,则M≠R
[B]对任意m∈R,使得f(-5)=f(-7)
[C]对任意m∈R,f(x)的图象恒过一定点
[D]若f(x)在(-∞,3)上单调递减,则m的取值范围是{6}
【答案】 ACD
【解析】 对于A,要使定义域为R,只需x2-mx+m+3>0恒成立,所以判别式m2-4(m+3)<0,所以真数x2-mx+m+3不能取遍所有正实数,所以M≠R,故A正确;对于B,若f(-5)=f(-7),则log2[(-5)2-(-5)m+m+3]=log2[(-7)2-(-7)m+m+3],整理得log2(28+6m)=log2(52+8m),得此时m∈ ,故B错误;对于C,x2-mx+m+3=x2+3+m(1-x),因为与m无关,所以1-x=0,x=1,y=log24=2,所以f(x)的图象过定点(1,2),故C正确;对于D,若f(x)在(-∞,3)上单调递减,只需函数t(x)=x2-mx+m+3在(-∞,3)上单调递减,且t(3)≥0,即 解得m=6,故D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若f(x)=为R上的奇函数,则实数a的值为 .
【答案】
【解析】 因为f(x)=为R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,所以a=.
13.已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则a的取值范围是 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即解得a>.
14.已知函数f(x)=4x+(k+1)·2x+1,x∈R的图象与x轴无公共点,则实数k的取值范围是 .
【答案】 (-3,+∞)
【解析】 f(x)=4x+(k+1)·2x+1=+(k+1)·2x+1,x∈R,令2x=t>0,则f(x)=g(t)=t2+(k+1)t+1,由题可知g(t)在t>0时与横轴无公共点,则t2+(k+1)t+1>0对t>0恒成立,即k>-(t+)-1对t>0恒成立,因为t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立,所以-(t+)-1≤-3,所以k>-3.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)满足f(3x)=x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(f(x))<1.
【解】 (1)令3x=t>0,则x=log3t,
则f(t)=log3t,t>0,故f(x)=log3x,x>0.
(2)因为f(3)=log33=1,
所以不等式f(f(x))<1等价于f(f(x))因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以0故不等式的解集为(1,27).
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=log2(2x-1),g(x)=log2(x+1).
(1)求f(),g(0)的值;
(2)若f(x)≤g(x),试求x的取值范围.
【解】 (1)f()=log2(2×-1)=log22=1,
g(0)=log2(0+1)=0.
(2)若f(x)≤g(x),
即log2(2x-1)≤log2(x+1),
即0<2x-1≤x+1,
解得所以x的取值范围为(,2].
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=().
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2) x∈R,f(x)≤恒成立,求a的取值范围.
【解】 (1)当a=-2时,f(x)=(),
令t=x2+4x+3,则y=()t,
因为t=x2+4x+3的增区间为(-2,+∞),
减区间为(-∞,-2),
y=()t为减函数,
所以f(x)=()的增区间为(-∞,-2),减区间为(-2,+∞).
(2)由题知 x∈R,f(x)≤恒成立,
所以f(x)=()≤()2,
所以x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0恒成立,
所以Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
18.(本小题满分17分)
若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减.
(1)求实数m的值.
(2)若函数g(x)=x-f(x),且x∈(0,+∞).
①判断函数g(x)的单调性,并证明;
②求使不等式g(2t-1)【解】 (1)由题意知m2-3m+3=1,
解得m=1或m=2.
当m=1时,幂函数y=x-1,
此时幂函数在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
当m=2时,幂函数y=x4,
此时幂函数在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
所以实数m的值为1.
(2)①g(x)=x-f(x)=x-,
g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.证明如下:
任取0则g(x1)-g(x2)=(x1-)-(x2-)=(x1-x2)-(-)=(x1-x2)(1+),
由00,
则g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)故g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
②由①知,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
又由g(2t-1)19.(本小题满分17分)
已知定义域为R的奇函数f(x)=1-,a∈R.
(1)求a的值;
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数;
(3)若存在x∈[,3]使f(x+)≤f(kx+4)成立,求实数k的取值范围.
(1)【解】 因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即1-=-(1-),
所以+=2,
即+=2恒成立,解得a=2.
(2)【证明】 由(1)知,f(x)=1-,
任取x1,x2∈R且x1则f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=-=,
由x1>0,
则+1>0,+1>0,-<0,
所以f(x1)-f(x2)=<0,
即f(x1)所以函数f(x)=1-在R上是增函数.
(3)【解】 由(2)知,x+≤kx+4,
整理得k≥()2-+1在x∈[,3]上有解.
令t=,由x∈[,3],得t∈[,3],
设h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3,
则函数h(t)的对称轴方程为t=2,
所以当t=2时,函数h(t)取得最小值-3.
所以k≥-3,即k的取值范围为[-3,+∞).第6章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
[A]y= [B]y=x-1
[C]y=x2 [D]y=x
【答案】 C
【解析】 A选项,函数y=的定义域为[0,+∞),所以函数y=是非奇非偶函数,排除A;
B选项,幂函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,排除B;
C选项,幂函数y=x2的定义域为R,(-x)2=x2,所以函数y=x2是偶函数,又由幂函数的性质可得,幂函数y=x2在(0,+∞)上单调递增,故C正确;
D选项,易知幂函数y=x是奇函数,排除D.故选C.
2.函数f(x)=+lg (5-3x)的定义域是( )
[A][0,) [B][0,]
[C][1,) [D][1,]
【答案】 C
【解析】 由得即1≤x<.故选C.
3.函数y=f(x)的图象与g(x)=log2x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(-2)=( )
[A]-1 [B]1
[C]- [D]
【答案】 D
【解析】 由y=f(x)的图象与g(x)=log2x的图象关于直线y=x对称,可知f(x)与g(x)互为反函数.令log2x=-2,得x=,即f(-2)=.故选D.
4.要使f(x)=()x+1+t的图象不经过第一象限,则t的取值范围是( )
[A][-1,+∞) [B](-∞,-]
[C][-,+∞) [D](-∞,-1]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=()x+1+t的图象与y轴的交点坐标为(0,+t),且为减函数,要使f(x)的图象不经过第一象限,则+t≤0,解得t≤-.故选B.
5.已知函数f(x)=在R上单调递减,则实数a的取值范围为( )
[A](-∞,0) [B](-,+∞)
[C](-,0) [D][0,)
【答案】 D
【解析】 由题意f(x)=(a+)x在(-∞,1]上单调递减,所以06.已知a=log40.2,b=log0.40.2,c=0.40.2,则( )
[A]a[C]b【答案】 A
【解析】 由对数函数的单调性可知,a=log40.2log0.40.4=1,由指数函数的单调性可知,07.已知定义在{x|x≠0}上的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=2x,则满足f(x)=f()的所有x的值的和等于( )
[A]-5 [B]5
[C]-10 [D]10
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x,令x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x,所以f(x)=f(-x)=2-x,所以f(x)=当x>0时,f(x)=2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,因为f(x)=f(),所以x=或x=-,解得x=1或x=-6或x=-3或x=-2,所以1-2-3-6=-10.故选C.
8.已知函数f(x)=log3(x+)-+1,若f(2a-1)+f(a2-2)≤0,则实数a的取值范围是( )
[A][-3,1] [B][-2,1]
[C](0,1] [D][0,1]
【答案】 A
【解析】 由题可知x∈R且f(-x)=log3(-x+)-+1,所以f(x)+f(-x)=log3(x+)+
log3(-x+)--+2=log3(-x2+x2+1)--+2=0,所以f(x)=-f(-x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,即f(x)为奇函数.因为函数y=x+与y=3x+1在(0,+∞)上均单调递增,所以y=log3(x+)与y=-在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(0)=0,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)在R上单调递增,不等式f(2a-1)+f(a2-2)≤0等价于f(2a-1)≤-f(a2-2)=f(2-a2),因为f(x)在R上单调递增,所以2a-1≤2-a2,解得-3≤a≤1.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.关于幂函数f(x)=x-3,下列结论正确的是( )
[A]f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
[B]f(x)的值域为R
[C]f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
[D]f(x)的图象关于点(0,0)对称
【答案】 ACD
【解析】 对于选项A,因为f(x)=x-3=,所以x≠0,得到f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以选项A正确;
对于选项B,由f(x)=知f(x)≠0,所以选项B错误;
对于选项C,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1,因为x1,x2∈(0,+∞),且x10,·>0,(x2+x1)2+>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以选项C正确;
对于选项D,因为定义域关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以选项D正确.故选ACD.
10.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系y=at(a>0,a≠1)(t≥0)的图象.则下列说法正确的是( )
[A]每月减少的有害物质的量都相等
[B]第4个月时,剩留量就会低于
[C]有害物质每月的衰减率为
[D]有害物质每月的衰减率为
【答案】 BC
【解析】 因为y=at的图象经过点(2,),
所以=a2, 解得a=,所以y=()t,
所以1月到2月减少的有害物质的量为-=,2月到3月减少的有害物质的量为-=,故每月减少的有害物质的量都相等是错误的,故A错误;
当t=4时,有害物质的剩留量y=<,故B正确;
有害物质每月的衰减率为1-=,故C正确,D错误.故选BC.
11.已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D,值域为M,则下列说法正确的是( )
[A]若D=R,则M≠R
[B]对任意m∈R,使得f(-5)=f(-7)
[C]对任意m∈R,f(x)的图象恒过一定点
[D]若f(x)在(-∞,3)上单调递减,则m的取值范围是{6}
【答案】 ACD
【解析】 对于A,要使定义域为R,只需x2-mx+m+3>0恒成立,所以判别式m2-4(m+3)<0,所以真数x2-mx+m+3不能取遍所有正实数,所以M≠R,故A正确;对于B,若f(-5)=f(-7),则log2[(-5)2-(-5)m+m+3]=log2[(-7)2-(-7)m+m+3],整理得log2(28+6m)=log2(52+8m),得此时m∈ ,故B错误;对于C,x2-mx+m+3=x2+3+m(1-x),因为与m无关,所以1-x=0,x=1,y=log24=2,所以f(x)的图象过定点(1,2),故C正确;对于D,若f(x)在(-∞,3)上单调递减,只需函数t(x)=x2-mx+m+3在(-∞,3)上单调递减,且t(3)≥0,即 解得m=6,故D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若f(x)=为R上的奇函数,则实数a的值为 .
【答案】
【解析】 因为f(x)=为R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,所以a=.
13.已知a>0,若函数f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则a的取值范围是 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 要使f(x)=log3(ax2-x)在[3,4]上单调递增,则y=ax2-x在[3,4]上单调递增,且y=ax2-x>0恒成立,即解得a>.
14.已知函数f(x)=4x+(k+1)·2x+1,x∈R的图象与x轴无公共点,则实数k的取值范围是 .
【答案】 (-3,+∞)
【解析】 f(x)=4x+(k+1)·2x+1=+(k+1)·2x+1,x∈R,令2x=t>0,则f(x)=g(t)=t2+(k+1)t+1,由题可知g(t)在t>0时与横轴无公共点,则t2+(k+1)t+1>0对t>0恒成立,即k>-(t+)-1对t>0恒成立,因为t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立,所以-(t+)-1≤-3,所以k>-3.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)满足f(3x)=x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(f(x))<1.
【解】 (1)令3x=t>0,则x=log3t,
则f(t)=log3t,t>0,故f(x)=log3x,x>0.
(2)因为f(3)=log33=1,
所以不等式f(f(x))<1等价于f(f(x))因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以0故不等式的解集为(1,27).
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=log2(2x-1),g(x)=log2(x+1).
(1)求f(),g(0)的值;
(2)若f(x)≤g(x),试求x的取值范围.
【解】 (1)f()=log2(2×-1)=log22=1,
g(0)=log2(0+1)=0.
(2)若f(x)≤g(x),
即log2(2x-1)≤log2(x+1),
即0<2x-1≤x+1,
解得所以x的取值范围为(,2].
17.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=().
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2) x∈R,f(x)≤恒成立,求a的取值范围.
【解】 (1)当a=-2时,f(x)=(),
令t=x2+4x+3,则y=()t,
因为t=x2+4x+3的增区间为(-2,+∞),
减区间为(-∞,-2),
y=()t为减函数,
所以f(x)=()的增区间为(-∞,-2),减区间为(-2,+∞).
(2)由题知 x∈R,f(x)≤恒成立,
所以f(x)=()≤()2,
所以x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0恒成立,
所以Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
18.(本小题满分17分)
若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减.
(1)求实数m的值.
(2)若函数g(x)=x-f(x),且x∈(0,+∞).
①判断函数g(x)的单调性,并证明;
②求使不等式g(2t-1)【解】 (1)由题意知m2-3m+3=1,
解得m=1或m=2.
当m=1时,幂函数y=x-1,
此时幂函数在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
当m=2时,幂函数y=x4,
此时幂函数在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
所以实数m的值为1.
(2)①g(x)=x-f(x)=x-,
g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.证明如下:
任取0则g(x1)-g(x2)=(x1-)-(x2-)=(x1-x2)-(-)=(x1-x2)(1+),
由00,
则g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)故g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
②由①知,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
又由g(2t-1)19.(本小题满分17分)
已知定义域为R的奇函数f(x)=1-,a∈R.
(1)求a的值;
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数;
(3)若存在x∈[,3]使f(x+)≤f(kx+4)成立,求实数k的取值范围.
(1)【解】 因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即1-=-(1-),
所以+=2,
即+=2恒成立,解得a=2.
(2)【证明】 由(1)知,f(x)=1-,
任取x1,x2∈R且x1则f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=-=,
由x1>0,
则+1>0,+1>0,-<0,
所以f(x1)-f(x2)=<0,
即f(x1)所以函数f(x)=1-在R上是增函数.
(3)【解】 由(2)知,x+≤kx+4,
整理得k≥()2-+1在x∈[,3]上有解.
令t=,由x∈[,3],得t∈[,3],
设h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3,
则函数h(t)的对称轴方程为t=2,
所以当t=2时,函数h(t)取得最小值-3.
所以k≥-3,即k的取值范围为[-3,+∞).