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主干知识回顾
『网络构建』
『知识辨析』
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.第二象限角大于第一象限角.( )
2.终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.( )
4.1 rad的角比1°的角要大.( )
5.若α的终边与x轴负半轴重合,则tan α不存在.( )
6.若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.( )
×
√
√
√
×
×
√
8.任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称.( )
9.正弦、余弦函数y=sin x和y=cos x的图象不超出直线y=-1与y=1所夹的区域.( )
10.因为sin(45°+90°)=sin 45°,所以90°是函数y=sin x的一个周期.( )
√
√
×
12.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象.( )
×
×
核心题型突破
题型一 任意角三角函数的定义
[例1] (1)已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin α+cos α的值是
.
·规律方法·
(1)利用定义求三角函数值的两种方法.
·规律方法·
②先由直线与单位圆相交求出交点坐标,再利用正弦、余弦、正切函数的定义,求出相应的三角函数值.
(2)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.
已知一个角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
C
(2)已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则α等于( )
C
题型二 同角三角函数的基本关系与诱导公式
(1)化简f(α);
(1)同角三角函数基本关系式的应用方法.
·规律方法·
②关系式的逆用与变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,
(sin α+cos α)2=(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
③sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式或含有sin2α,cos2α及sin α·cos α的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”求解.
(2)用诱导公式化简求值的方法.
·规律方法·
②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,清除条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
·规律方法·
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
题型三 三角函数的图象
(1)求此函数的解析式;
(2)分析该函数的图象是如何通过y=sin x的图象变换得来的.
由图象或部分图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数.
①A:由最大值、最小值来确定A.
②ω:通过求周期T来确定ω.
③φ:利用已知点列方程求出.
·规律方法·
(1)求f(x)的解析式;
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象所对应的函数为偶函数
题型四 三角函数的性质
(1)写出f(x)的表达式;
(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间;
(1)求三角函数周期的方法.
①利用周期函数的定义.
·规律方法·
③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出函数图象,结合图象进行判断.
(2)求三角函数单调区间的两种方法.
①换元法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.
②图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升的区间为增区间,图象下降的区间为减区间,因此画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.
提醒:求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
·规律方法·
(3)三角函数的对称性、奇偶性.
①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心.
·规律方法·
BD
题型五 匀速圆周运动的数学模型
80
因为t∈[0,240],所以当k=-1时,t∈[0,10);
当k=0时,t∈(90,130);
当k=1时,t∈(210,240].
由10+(130-90)+(240-210)=80,
可得盛水筒M位于水面以下的时间有80 s.
面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程.
·规律方法·
[跟踪训练] (多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内作周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系y=f(t)=Asin(ωt-φ)
(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则( )
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知识辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
1.第二象限角大于第一象限角.( × )
2.终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.( √ )
3.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的.( √ )
4.1 rad的角比1°的角要大.( √ )
5.若α的终边与x轴负半轴重合,则tan α不存在.( × )
6.若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.( × )
7.对任意角α,sin2+cos2=1都成立.( √ )
8.任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称.( √ )
9.正弦、余弦函数y=sin x和y=cos x的图象不超出直线y=-1与y=1所夹的区域.( √ )
10.因为sin(45°+90°)=sin 45°,所以90°是函数y=sin x的一个周期.( × )
11.正弦函数y=sin x在每一个闭区间[-+kπ,+kπ] (k∈Z)上都单调递增.( × )
12.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象.( × )
题型一 任意角三角函数的定义
[例1] (1)已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin α+cos α的值是 .
(2)函数y=+的定义域是 .
【答案】 (1)或-
(2){ x,k∈Z}
【解析】 (1)r=|OP|==5|m|.
当m>0时,sin α===,cos α===-,所以2sin α+cos α=.
当m<0时,sin α===-,cos α===,所以2sin α+cos α=-.
故2sin α+cos α的值是或-.
(2)由得
如图,结合三角函数线知,
解得2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数的定义域是{x,k∈Z}.
(1)利用定义求三角函数值的两种方法.
①取角α的终边上任意一点P(a,b)(原点除外),则对应的角α的正弦值sin α=,余弦值cos α=,正切值tan α=.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
②先由直线与单位圆相交求出交点坐标,再利用正弦、余弦、正切函数的定义,求出相应的三角函数值.
(2)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.
已知一个角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
[跟踪训练](1)若sin αtan α<0,且<0,则角α是( )
[A]第一象限角 [B]第二象限角
[C]第三象限角 [D]第四象限角
(2)已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则α等于( )
[A]2 [B]-2
[C]2- [D]-2
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角.
由<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角,故α为第三象限角.故选C.
(2)因为锐角α终边上一点P的坐标为(2sin 2,-2cos 2),所以tan α===
=tan(2-),所以α=2-.故选C.
题型二 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[例2] 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
【解】 (1)f(α)==sin α·cos α.
(2)由f(α)=sin α·cos α=可知,
(cos α-sin α)2=cos2α-2sin α·cos α+sin2α=1-2sin α·cos α=1-2×=.
又因为<α<,
所以cos α所以cos α-sin α=-.
(3)因为α=-=-6×2π+,
所以f(-) =sin (-)·cos (-)
=sin(-6×2π+)·cos(-6×2π+)
=sin ·cos =×=.
(1)同角三角函数基本关系式的应用方法.
①利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的转化,利用=tan α可以实现角α弦切互化.
②关系式的逆用与变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,(sin α+cos α)2=
(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
③sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式或含有sin2α,cos2α及sin α·cos α的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”求解.
(2)用诱导公式化简求值的方法.
①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出角的特点,将角化成2kπ±α,π±α,
±α,π±α(或k·±α,k∈Z)的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化简.
②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,清除条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
[跟踪训练] 已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别为sin θ,cos θ,θ∈(0,2π).求:
(1)+;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
【解】 由根与系数的关系,
得sin θ+cos θ=,sin θcos θ=.
(1)原式=+=+=-=sin θ+cos θ=.
(2)由sin θ+cos θ=,
两边平方可得1+2sin θcos θ=,
把sin θcos θ=代入得1+2·=1+,
所以m=.
(3)由m=可解方程2x2-(+1)x+=0,
得两根分别为和.
所以或
因为θ∈(0,2π),所以θ=或.
题型三 三角函数的图象
[例3] 如图所示是函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象.
(1)求此函数的解析式;
(2)分析该函数的图象是如何通过y=sin x的图象变换得来的.
【解】 (1)由题图知,
A==,k==-1,
T=2×(-)=π,所以ω==2.
所以y=sin(2x+φ)-1.
当x=时,2×+φ=+2kπ,k∈Z,
又因为|φ|<,所以φ=.
所以函数解析式为y=sin(2x+)-1.
(2)把y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,
然后图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,
得到y=sin(2x+)的图象,
再让图象上每个点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的,
得到y=sin(2x+)的图象,
最后把函数y=sin(2x+)的图象向下平移1个单位长度,
得到y=sin(2x+)-1的图象.
由图象或部分图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数.
①A:由最大值、最小值来确定A.
②ω:通过求周期T来确定ω.
③φ:利用已知点列方程求出.
[跟踪训练] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象所对应的函数为
偶函数
【解】 (1)由函数图象知A=3,
=×(4π-)=5π,故ω=.
由f(x)=3sin(x+φ)过点(,0),
得3sin(+φ)=0,
又|φ|<,故φ=-,
所以f(x)=3sin(x-).
(2)由f(x+m)=3sin[(x+m)-]
=3sin(x+m-)为偶函数(m>0),
知m-=kπ+,k∈Z,
即m=kπ+,k∈Z.
因为m>0,所以mmin=.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象所对应的函数是偶函数.
题型四 三角函数的性质
[例4] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0,0<φ<)的最小正周期为π,f()=+1,且f(x)的最大值为3.
(1)写出f(x)的表达式;
(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间;
(3)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)因为T=π,所以ω==2.
因为f(x)的最大值为3,所以A=2.
所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.
因为f()=+1,
所以2sin(+φ)+1=+1,所以cos φ=.
因为0<φ<,所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+)+1.
(2)由f(x)=2sin(2x+)+1,
令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),
所以对称中心为(-,1)(k∈Z).
由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以对称轴方程为x=+(k∈Z).
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(3)当0≤x≤时,≤2x+≤,
所以-≤sin(2x+)≤1,
所以f(x)在[0,]上的最大值为3,最小值为0.
(1)求三角函数周期的方法.
①利用周期函数的定义.
②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出函数图象,结合图象进行判断.
(2)求三角函数单调区间的两种方法.
①换元法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.
②图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升的区间为增区间,图象下降的区间为减区间,因此画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.
提醒:求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
(3)三角函数的对称性、奇偶性.
①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心.
②若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ
(k∈Z).
③若求f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
[跟踪训练](多选)已知函数f(x)=3sin(ωx+)(ω>0)图象的对称轴与对称中心的最小距离为,则下列结论正确的是( )
[A]f(x)的最小正周期为2π
[B]f(x)的图象关于(-,0)对称
[C]f(x)在(-,)上单调递减
[D]f(x)的图象关于直线x=对称
【答案】 BD
【解析】 因为f(x)图象的对称轴与对称中心的最小距离为,所以=,即T=π,选项A错误;
由T==π,得ω=2,即f(x)=3sin(2x+),因为f(-)=3sin(-+)=3sin 0=0,所以f(x)的图象关于点(-,0)对称,选项B正确;
当-所以f(x)的图象关于直线x=对称,选项D正确.故选BD.
题型五 匀速圆周运动的数学模型
[例5] 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图(1)所示.假定在水流量稳定的情况下,简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图(2),将筒车抽象为一个半径为4 m的圆,筒车按逆时针方向每旋转一周用时120 s,当t=0时,筒车上的某个盛水筒M位于点P0(2,-2)处,经过t s后运动到点P(x,y),点P的纵坐标满足y=f(t)=Asin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<).已知筒车的轴心O距离水面的高度为2 m,设盛水筒M到水面的距离为h(单位:m)(盛水筒M在水面下时,h为负数),则筒车在[0,240] s的旋转运动过程中,盛水筒M位于水面以下的时间有
s.
【答案】 80
【解析】 由题意可知A=4,由于T==120,
所以ω=.因为当t=0时,y=4sin φ=-2,
所以sin φ=-.由|φ|<,可求得φ=-,
从而f(t)=4sin(t-).
所以h=f(t)+2=4sin(t-)+2,其中t≥0.
当盛水筒M位于水面以下时,应满足h<0,
即sin(t-)<-.
可列不等式2kπ+解得90+120k因为t∈[0,240],所以当k=-1时,t∈[0,10);
当k=0时,t∈(90,130);
当k=1时,t∈(210,240].
由10+(130-90)+(240-210)=80,
可得盛水筒M位于水面以下的时间有80 s.
面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程.
[跟踪训练] (多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内作周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系y=f(t)=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则( )
[A]该单摆运动的最小正周期为3π
[B]该单摆运动的初相为
[C]当时间t=时,该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为
[D]该单摆运动在时间t∈(0,)上f(t)单调递增
【答案】 ABC
【解析】 由题图知=π-,则T=3π,故A正确;由单摆运动的振幅为2,得A=2,由3π=,解得|ω|=,又ω>0,所以ω=,所以f(t)=2sin(t-φ),又易得函数图象过点(,2),则×-φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=--2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,即f(t)=2sin(t+),故该单摆运动的初相为,故B正确;f()=2sin(×+)=2sin =,故C正确;当t∈(0,)时,由f(t)的图象知f(t)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,故D错误.故选ABC.
第7章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆的交点P(,),则sin(π-α)等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 C
【解析】 依题意sin α==,sin(π-α)=sin α=.故选C.
2.若sin α·cos α<0,则角α的终边位于( )
[A]第一或第二象限 [B]第二或第三象限
[C]第二或第四象限 [D]第三或第四象限
【答案】 C
【解析】 由sin α·cos α<0可得或 当时,角α的终边位于第四象限,当 时,角α的终边位于第二象限.故选C.
3.如图所示,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得,已知OA=0.2 m,
AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为( )
[A] m2 [B] m2
[C] m2 [D] m2
【答案】 D
【解析】 由题意知,OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,可得OD=0.2+0.3=0.5(m),可得扇形OCD的面积为S1=×0.52 m2,扇形OAB的面积为S2=×0.22 m2,所以该扇环形砖雕的面积为S=S1-S2=×(0.52-0.22)= (m2).故选D.
4.已知sin(-α)+2cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于( )
[A] [B] [C] [D]2
【答案】 A
【解析】 化简得-3cos α=sin α,则tan α=-3,
原式===.故选A.
5.下列函数中,最小正周期是π且是奇函数的是( )
[A]y=|sin x| [B]y=1-cos 2x
[C]y=-3sin 2x [D]y=1+2tan x
【答案】 C
【解析】 y=|sin x|的最小正周期为π,
且|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|,即y=|sin x|为偶函数,故A错误;
y=1-cos 2x的最小正周期为π,
且1-cos [2(-x)]=1-cos 2x,即y=1-cos 2x为偶函数,故B错误;
y=-3sin 2x的最小正周期为π,
且-3sin [2(-x)]=3sin 2x,即y=-3sin 2x为奇函数,故C正确;
y=1+2tan x的最小正周期为π,
且1+2tan(-x)=1-2tan x≠-1-2tan x,即y=1+2tan x不是奇函数,故D错误.故选C.
6.为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sin x的图象上所有的点向左平移m个单位长度或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
[A] [B] [C]π [D]2π
【答案】 A
【解析】 由题意得,将y=sin x的图象上所有的点向左平移m个单位长度或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),可得到函数y=sin(x+)的图象,则m=2k1π+,n=2k2π+,k1,k2∈N,
所以|m-n|=|2k1π+-(2k2π+)|=|2(k1-k2)π-|,k1,k2∈N,
当k1-k2=1时,|m-n|有最小值.故选A.
7.函数y=sin 2x·ln(1+)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由题意,函数定义域是{x|x≠0},又f(-x)=sin(-2x)·ln(1+) =-sin 2x·ln(1+) =-f(x),所以f(x)是奇函数,排除A,B;又当00,ln(1+) >0,即f(x)>0,排除C.故选D.
8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,若图中阴影部分的面积为,则φ等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 根据正弦型函数图象的对称性可知,阴影部分的面积等于一个长为2,宽为θ的矩形的面积,所以2θ=,即θ=,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T满足T=,则T=π,又ω>0,所以ω===2,则f(x)=sin(2x+φ),因为f() =sin(2×+φ)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.要得到函数y=sin 4x的图象,只需将函数y=cos 4x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 BC
【解析】 因为y=sin 4x=cos(4x-),所以将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=sin 4x的图象,故C成立;将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=-sin 4x的图象,故A不成立;将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=sin 4x的图象,故B成立;将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=-sin 4x的图象,故D不成立.故选BC.
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A]函数f(x)的图象关于(-,0)对称
[B]函数f(x)的图象关于直线x=-对称
[C]函数f(x)在[-,-]上单调递增
[D]该函数图象向右平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
【答案】 ABD
【解析】 由函数的图象可得A=2,周期T=4×(-)=π,所以ω===2,当x=时函数取得最大值,即f()=2sin(2×+φ)=2,所以2×+φ=2kπ+(k∈Z),则φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,得φ=,故函数f(x)=2sin(2x+).对于A,当x=-时,f(-)=2sin[2×(-)+]=0,故A正确;对于B,当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=-2,故B正确;对于C,令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+
(k∈Z),所以函数的增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),因为[-,-]不是[kπ-,kπ+](k∈Z)的子集,故C不正确;对于D,向右平移个单位长度,即f(x-)=2sin[2(x-)+]=2sin 2x,故D正确.故选ABD.
11.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如[-2.6]=-3,[4.3]=4.已知函数f(x)=cos x+|cos x|,函数g(x)=[f(x)],则下列说法中正确的有( )
[A]函数f(x)为偶函数
[B]函数f(x)的图象关于点(kπ,0)(其中k∈Z)成中心对称
[C]函数g(x)的值域是{0,1,2}
[D]方程g(x)=x有且仅有两个实数根
【答案】 AC
【解析】 对于A选项,由f(-x)=cos(-x)+|cos(-x)|=cos x+|cos x|=f(x),可得函数f(x)为偶函数,故A选项正确;对于B选项,由f(x)=cos x+|cos x|=画出函数图象如图所示,
观察图可知函数f(x)的图象不关于点(kπ,0)(其中k∈Z)成中心对称,故B选项错误;
对于C选项,观察图象可知f(x)∈[0,2],
当f(x)∈[0,1)时,g(x)=[f(x)]=0,
当f(x)∈[1,2)时,g(x)=[f(x)]=1,
当f(x)=2时,g(x)=[f(x)]=2,
所以函数g(x)的值域是{0,1,2},故C选项正确;
对于D选项,若g(x)=0,则方程g(x)=x=0,即x=0,但g(0)=[f(0)]=[2]=2,所以此时无解,
若g(x)=1,则方程g(x)=x=1,
即x=1,但g(1)=[f(1)]=[2cos 1],
因为所以g(1)=[f(1)]=[2cos 1]=1,满足题意,
若g(x)=2,则方程g(x)=x=2,即x=2,
但g(2)=[f(2)]=[0]=0,不满足题意,
所以方程g(x)=x只有一个实数根为x=1,故D选项错误.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知cos(45°+α)=,则cos(135°-α)= .
【答案】 -
【解析】 cos(135°-α)=cos[180°-(45°+α)]=-cos (45°+α)=-.
13.函数y=cos(sin x)的值域为 .
【答案】 [cos 1,1]
【解析】 令t=sin x,可得-1≤t≤1,则y=cos t,t∈[-1,1].由于y=cos t在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则ymax=cos 0=1,ymin=cos 1,故函数y=cos(sin x)的值域为[cos 1,1].
14.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)在(,π)上单调递增,则ω的最大值为 .
【答案】
【解析】 由x∈(,π),得2ωx+∈(πω+,2πω+).
因为ω>0,所以要想f(x)在(,π)上单调递增,
则需满足πω+≥-+2kπ且2πω+≤+2kπ,k∈Z,解得-+2k≤ω≤+k,k∈Z,
所以解得-因为k∈Z,所以k=0.
因为ω>0,所以0<ω≤,ω的最大值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知=3,求tan(5π-α)的值.
【解】 因为
===3,
所以sin α=-,
所以α为第三或第四象限角.
当α为第三象限角时,
cos α=-=-,
所以tan(5π-α)=-tan α=-=-;
当α为第四象限角时,cos α==,
所以tan(5π-α)=-tan α=-=.
综上,当α为第三象限角时,tan(5π-α)=-;
当α为第四象限角时,tan(5π-α)=.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1),若点(-,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,
(1)试求ω的值;
(2)如图,先列表,再作出函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象.
【解】 (1)因为点(-,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,
所以-+=kπ,k∈Z,
所以ω=-3k+,k∈Z,
因为0<ω<1,所以k=0,ω=.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(x+)+1,x∈[-π,π],
列表如下,
x+ - - 0 π
x -π - - π
f(x) 0 -1 1 3 1 0
则函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象如图所示.
17.(本小题满分15分)
设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<,0<φ<)过点(0,1),且一个周期的图象(原点O,最高点M,最低点N)如图所示.
(1)求A,φ.
(2)再从以下三个条件中任选其一,使函数f(x)唯一确定,并求f(x)的增区间.
条件①:|MN|=5;
条件②:|OM|=;
条件③:f()=0.
【解】 (1)f(x)=Asin(ωx+φ),
由题图可知,A=2,所以f(x)=2sin(ωx+φ),
因为f(x)=2sin(ωx+φ)过(0,1),
所以1=2sin φ,所以sin φ=,
又0<φ<,解得φ=,
综上所述,A=2,φ=.
(2)选择条件①,
因为|MN|=5,即|xM-xN|==3,
所以==3,得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
选择条件②,
因为|OM|=,即xM==1,得M(1,2),
所以2=2sin(ω+),所以1=sin(ω+),
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
选择条件③,
因为f()=0,即sin(+)=0,即+=kπ,
得ω=-,k∈Z,
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
18.(本小题满分17分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为45 m,最低点距离地面5 m,摩天轮上均匀地设置了36个座舱(如图②).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10 min,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过t min后游客甲距离地面的高度为h m,已知h(t)=Asin(ωt+φ)+b.(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)试求h(t)的解析式;
(2)求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15 m的时刻.
【解】 (1)h(t)min=-A+b=5且h(t)max=A+b=45,
所以A=(h(t)max-h(t)min)=20,b=(h(t)max+h(t)min)=25.
由f(0)=20sin φ+25=5,得sin φ=-1.
因为|φ|<π,所以φ=-,又ω==,
所以h(t)=20sin(t-)+25=-20cos()+25(0≤t≤10).
(2)令h(t)=20sin(t-)+25=15,
所以25-20cost=15,所以cost=.
因为0≤t≤10,所以0≤t≤2π,
所以t=或,
所以t=或.
所以游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15 m的时刻为第 min和
第 min.
19.(本小题满分17分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x
Acos(ωx+φ) 2 0 0 2
(1)请根据表中数据,求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=t在区间[0,]上有解,求t的取值范围;
(3)求满足不等式[f(x)-f()]·[f(x)-f(-)]>0的最小正整数解.
【解】 (1)由表中数据知A=2,由解得所以f(x)=2cos(2x-).
(2)当x∈[0,]时,2x-∈[-,],则cos(2x-)∈[-,1],
所以f(x)=2cos(2x-)在[0,]上的值域为[-,2].因为方程f(x)=t在区间[0,]上有解,所以t的取值范围为[-,2].
(3)因为f()=2cos(-)=2sin=1,f(-)=2cos(--)=2cos(-)=0,
所以不等式即[f(x)-1]·f(x)>0,解得f(x)<0或f(x)>1.
由f(x)<0得cos(2x-)<0,所以+2kπ<2x-<+2kπ(k∈Z),
所以x∈(+kπ,+kπ),k∈Z;
由f(x)>1得cos(2x-)>,所以-+2kπ<2x-<+2kπ(k∈Z),
所以x∈(-+kπ,+kπ),k∈Z.
令k=0可得不等式解集的一部分为(-,)∪(,),因此,解集中最小的正整数为2.第7章 检测试题
(限时:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆的交点P(,),则sin(π-α)等于( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 C
【解析】 依题意sin α==,sin(π-α)=sin α=.故选C.
2.若sin α·cos α<0,则角α的终边位于( )
[A]第一或第二象限 [B]第二或第三象限
[C]第二或第四象限 [D]第三或第四象限
【答案】 C
【解析】 由sin α·cos α<0可得或 当时,角α的终边位于第四象限,当 时,角α的终边位于第二象限.故选C.
3.如图所示,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得,已知OA=0.2 m,
AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为( )
[A] m2 [B] m2
[C] m2 [D] m2
【答案】 D
【解析】 由题意知,OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,可得OD=0.2+0.3=0.5(m),可得扇形OCD的面积为S1=×0.52 m2,扇形OAB的面积为S2=×0.22 m2,所以该扇环形砖雕的面积为S=S1-S2=×(0.52-0.22)= (m2).故选D.
4.已知sin(-α)+2cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于( )
[A] [B] [C] [D]2
【答案】 A
【解析】 化简得-3cos α=sin α,则tan α=-3,
原式===.故选A.
5.下列函数中,最小正周期是π且是奇函数的是( )
[A]y=|sin x| [B]y=1-cos 2x
[C]y=-3sin 2x [D]y=1+2tan x
【答案】 C
【解析】 y=|sin x|的最小正周期为π,
且|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|,即y=|sin x|为偶函数,故A错误;
y=1-cos 2x的最小正周期为π,
且1-cos [2(-x)]=1-cos 2x,即y=1-cos 2x为偶函数,故B错误;
y=-3sin 2x的最小正周期为π,
且-3sin [2(-x)]=3sin 2x,即y=-3sin 2x为奇函数,故C正确;
y=1+2tan x的最小正周期为π,
且1+2tan(-x)=1-2tan x≠-1-2tan x,即y=1+2tan x不是奇函数,故D错误.故选C.
6.为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sin x的图象上所有的点向左平移m个单位长度或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
[A] [B] [C]π [D]2π
【答案】 A
【解析】 由题意得,将y=sin x的图象上所有的点向左平移m个单位长度或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),可得到函数y=sin(x+)的图象,则m=2k1π+,n=2k2π+,k1,k2∈N,
所以|m-n|=|2k1π+-(2k2π+)|=|2(k1-k2)π-|,k1,k2∈N,
当k1-k2=1时,|m-n|有最小值.故选A.
7.函数y=sin 2x·ln(1+)的图象大致是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由题意,函数定义域是{x|x≠0},又f(-x)=sin(-2x)·ln(1+) =-sin 2x·ln(1+) =-f(x),所以f(x)是奇函数,排除A,B;又当00,ln(1+) >0,即f(x)>0,排除C.故选D.
8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,若图中阴影部分的面积为,则φ等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 根据正弦型函数图象的对称性可知,阴影部分的面积等于一个长为2,宽为θ的矩形的面积,所以2θ=,即θ=,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T满足T=,则T=π,又ω>0,所以ω===2,则f(x)=sin(2x+φ),因为f() =sin(2×+φ)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.要得到函数y=sin 4x的图象,只需将函数y=cos 4x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 BC
【解析】 因为y=sin 4x=cos(4x-),所以将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=sin 4x的图象,故C成立;将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=-sin 4x的图象,故A不成立;将函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度,得到y=cos[4(x+)]=cos(4x+)=sin 4x的图象,故B成立;将函数y=cos 4x的图象向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)]=cos(4x-)=-sin 4x的图象,故D不成立.故选BC.
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
[A]函数f(x)的图象关于(-,0)对称
[B]函数f(x)的图象关于直线x=-对称
[C]函数f(x)在[-,-]上单调递增
[D]该函数图象向右平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
【答案】 ABD
【解析】 由函数的图象可得A=2,周期T=4×(-)=π,所以ω===2,当x=时函数取得最大值,即f()=2sin(2×+φ)=2,所以2×+φ=2kπ+(k∈Z),则φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<,得φ=,故函数f(x)=2sin(2x+).对于A,当x=-时,f(-)=2sin[2×(-)+]=0,故A正确;对于B,当x=-时,
f(-)=2sin[2×(-)+]=-2,故B正确;对于C,令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+
(k∈Z),所以函数的增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),因为[-,-]不是[kπ-,kπ+](k∈Z)的子集,故C不正确;对于D,向右平移个单位长度,即f(x-)=2sin[2(x-)+]=2sin 2x,故D正确.故选ABD.
11.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如[-2.6]=-3,[4.3]=4.已知函数f(x)=cos x+|cos x|,函数g(x)=[f(x)],则下列说法中正确的有( )
[A]函数f(x)为偶函数
[B]函数f(x)的图象关于点(kπ,0)(其中k∈Z)成中心对称
[C]函数g(x)的值域是{0,1,2}
[D]方程g(x)=x有且仅有两个实数根
【答案】 AC
【解析】 对于A选项,由f(-x)=cos(-x)+|cos(-x)|=cos x+|cos x|=f(x),可得函数f(x)为偶函数,故A选项正确;对于B选项,由f(x)=cos x+|cos x|=画出函数图象如图所示,
观察图可知函数f(x)的图象不关于点(kπ,0)(其中k∈Z)成中心对称,故B选项错误;
对于C选项,观察图象可知f(x)∈[0,2],
当f(x)∈[0,1)时,g(x)=[f(x)]=0,
当f(x)∈[1,2)时,g(x)=[f(x)]=1,
当f(x)=2时,g(x)=[f(x)]=2,
所以函数g(x)的值域是{0,1,2},故C选项正确;
对于D选项,若g(x)=0,则方程g(x)=x=0,即x=0,但g(0)=[f(0)]=[2]=2,所以此时无解,
若g(x)=1,则方程g(x)=x=1,
即x=1,但g(1)=[f(1)]=[2cos 1],
因为所以g(1)=[f(1)]=[2cos 1]=1,满足题意,
若g(x)=2,则方程g(x)=x=2,即x=2,
但g(2)=[f(2)]=[0]=0,不满足题意,
所以方程g(x)=x只有一个实数根为x=1,故D选项错误.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知cos(45°+α)=,则cos(135°-α)= .
【答案】 -
【解析】 cos(135°-α)=cos[180°-(45°+α)]=-cos (45°+α)=-.
13.函数y=cos(sin x)的值域为 .
【答案】 [cos 1,1]
【解析】 令t=sin x,可得-1≤t≤1,则y=cos t,t∈[-1,1].由于y=cos t在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,则ymax=cos 0=1,ymin=cos 1,故函数y=cos(sin x)的值域为[cos 1,1].
14.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0)在(,π)上单调递增,则ω的最大值为 .
【答案】
【解析】 由x∈(,π),得2ωx+∈(πω+,2πω+).
因为ω>0,所以要想f(x)在(,π)上单调递增,
则需满足πω+≥-+2kπ且2πω+≤+2kπ,k∈Z,解得-+2k≤ω≤+k,k∈Z,
所以解得-因为k∈Z,所以k=0.
因为ω>0,所以0<ω≤,ω的最大值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知=3,求tan(5π-α)的值.
【解】 因为
===3,
所以sin α=-,
所以α为第三或第四象限角.
当α为第三象限角时,
cos α=-=-,
所以tan(5π-α)=-tan α=-=-;
当α为第四象限角时,cos α==,
所以tan(5π-α)=-tan α=-=.
综上,当α为第三象限角时,tan(5π-α)=-;
当α为第四象限角时,tan(5π-α)=.
16.(本小题满分15分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1),若点(-,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,
(1)试求ω的值;
(2)如图,先列表,再作出函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象.
【解】 (1)因为点(-,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,
所以-+=kπ,k∈Z,
所以ω=-3k+,k∈Z,
因为0<ω<1,所以k=0,ω=.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(x+)+1,x∈[-π,π],
列表如下,
x+ - - 0 π
x -π - - π
f(x) 0 -1 1 3 1 0
则函数f(x)在区间x∈[-π,π]上的图象如图所示.
17.(本小题满分15分)
设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<,0<φ<)过点(0,1),且一个周期的图象(原点O,最高点M,最低点N)如图所示.
(1)求A,φ.
(2)再从以下三个条件中任选其一,使函数f(x)唯一确定,并求f(x)的增区间.
条件①:|MN|=5;
条件②:|OM|=;
条件③:f()=0.
【解】 (1)f(x)=Asin(ωx+φ),
由题图可知,A=2,所以f(x)=2sin(ωx+φ),
因为f(x)=2sin(ωx+φ)过(0,1),
所以1=2sin φ,所以sin φ=,
又0<φ<,解得φ=,
综上所述,A=2,φ=.
(2)选择条件①,
因为|MN|=5,即|xM-xN|==3,
所以==3,得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
选择条件②,
因为|OM|=,即xM==1,得M(1,2),
所以2=2sin(ω+),所以1=sin(ω+),
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
选择条件③,
因为f()=0,即sin(+)=0,即+=kπ,
得ω=-,k∈Z,
由0<ω<,解得ω=,
故f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
有-2+6k≤x≤1+6k,k∈Z,
所以f(x)的增区间为[-2+6k,1+6k],k∈Z.
18.(本小题满分17分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为45 m,最低点距离地面5 m,摩天轮上均匀地设置了36个座舱(如图②).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10 min,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过t min后游客甲距离地面的高度为h m,已知h(t)=Asin(ωt+φ)+b.(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)试求h(t)的解析式;
(2)求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15 m的时刻.
【解】 (1)h(t)min=-A+b=5且h(t)max=A+b=45,
所以A=(h(t)max-h(t)min)=20,b=(h(t)max+h(t)min)=25.
由f(0)=20sin φ+25=5,得sin φ=-1.
因为|φ|<π,所以φ=-,又ω==,
所以h(t)=20sin(t-)+25=-20cos()+25(0≤t≤10).
(2)令h(t)=20sin(t-)+25=15,
所以25-20cost=15,所以cost=.
因为0≤t≤10,所以0≤t≤2π,
所以t=或,
所以t=或.
所以游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15 m的时刻为第 min和
第 min.
19.(本小题满分17分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x
Acos(ωx+φ) 2 0 0 2
(1)请根据表中数据,求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=t在区间[0,]上有解,求t的取值范围;
(3)求满足不等式[f(x)-f()]·[f(x)-f(-)]>0的最小正整数解.
【解】 (1)由表中数据知A=2,由解得所以f(x)=2cos(2x-).
(2)当x∈[0,]时,2x-∈[-,],则cos(2x-)∈[-,1],
所以f(x)=2cos(2x-)在[0,]上的值域为[-,2].因为方程f(x)=t在区间[0,]上有解,所以t的取值范围为[-,2].
(3)因为f()=2cos(-)=2sin=1,f(-)=2cos(--)=2cos(-)=0,
所以不等式即[f(x)-1]·f(x)>0,解得f(x)<0或f(x)>1.
由f(x)<0得cos(2x-)<0,所以+2kπ<2x-<+2kπ(k∈Z),
所以x∈(+kπ,+kπ),k∈Z;
由f(x)>1得cos(2x-)>,所以-+2kπ<2x-<+2kπ(k∈Z),
所以x∈(-+kπ,+kπ),k∈Z.
令k=0可得不等式解集的一部分为(-,)∪(,),因此,解集中最小的正整数为2.
